¿Qué es el cálculo?
Summary
TLDREl guion del video explora la importancia fundamental del cálculo en la vida moderna, desde la tecnología hasta la producción industrial y la ciencia. Se narra la historia de cómo Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el cálculo para entender fenómenos como la gravedad y las órbitas elípticas de los planetas. El cálculo, con sus herramientas de derivadas e integrales, permite modelar y predecir cambios en el tiempo, siendo esencial para el diseño de estructuras, la economía y la biología. El video destaca cómo el cálculo ha transformado nuestra comprensión del mundo y es una herramienta clave para resolver problemas complejos.
Takeaways
- 😲 La tecnología es tan omnipresente en nuestras vidas que es difícil imaginar un mundo sin ella.
- 📚 El cálculo, nacido aproximadamente hace 300 años, es una de las ramas más fascinantes y fundamentales de las matemáticas.
- 🧐 Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, dos grandes pensadores, descubrieron el cálculo por separado a finales del siglo 17.
- 🌍 La tecnología moderna depende en gran medida del cálculo para operar y desarrollarse.
- 🌌 Kepler descubrió las leyes del movimiento planetario, pero no pudo explicar por qué los planetas se mueven de esa manera.
- 🍎 Newton utilizó la idea de la gravedad, que hace que las manzanas caigan, para explicar el movimiento planetario.
- 🔗 La segunda ley de Newton establece que la fuerza ejercida sobre un cuerpo es igual a su masa multiplicada por la aceleración.
- 📉 El cálculo permite entender cambios y procesos en un intervalo de tiempo indefinido, algo crucial para describir trayectorias y movimientos.
- 🚀 El cálculo fue esencial para Newton para demostrar que las órbitas planetarias son elípticas y para encontrar fórmulas para la posición de los planetas en cualquier momento.
- 🔄 El cálculo no solo se utiliza para el estudio de los cuerpos celestes, sino también para entender fenómenos que cambian con el tiempo y las relaciones entre variables.
- 📈 Las derivadas, una herramienta del cálculo, nos ayudan a entender la velocidad y la aceleración, mientras que las integrales nos permiten calcular áreas bajo curvas y modelar fenómenos en el tiempo.
Q & A
¿Qué revolución peculiar se menciona en las matemáticas que ocurrió hace aproximadamente 300 años?
-Se refiere a la revolución del cálculo, una de las ramas más fascinantes de las matemáticas, que fue esencial para el desarrollo de la tecnología moderna.
¿Quiénes fueron los grandes pensadores que contribuyeron a la creación del cálculo?
-Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, quienes descubrieron el cálculo por separado a finales del siglo 17.
¿Qué fenómeno descubrió Johannes Kepler que influenció en la teoría de la gravedad de Newton?
-Kepler descubrió que las órbitas de los planetas y cometas alrededor del sol tienen la forma de una elipse y que hay una relación precisa entre la distancia de un planeta al sol y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa.
¿Cómo describe Newton la fuerza de gravedad entre dos cuerpos?
-La fuerza de gravedad entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas y inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ellos.
¿Cuál es la segunda ley de Newton y qué implica?
-La segunda ley de Newton establece que la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es equivalente al producto de su masa por su aceleración.
¿Por qué necesitaba Newton un método para comprender los cambios en un intervalo de tiempo indefinido?
-Necesitaba un método para entender cómo los movimientos de los cuerpos celestes, como las órbitas elípticas, se desarrollan a lo largo de un período de tiempo más largo, más allá de un instante específico.
¿Cómo ayudó el cálculo a Newton a demostrar que las órbitas de los planetas son elípticas?
-El cálculo permitió a Newton obtener fórmulas para encontrar la posición de los planetas en el espacio en cualquier momento, lo que le ayudó a demostrar que las órbitas son elípticas.
¿Qué son las funciones y cómo se relacionan con el cálculo?
-Las funciones son relaciones matemáticas entre variables, y el cálculo es la herramienta que permite entender el comportamiento de estas funciones y sus variaciones en el tiempo.
¿Qué es una derivada en el contexto del cálculo y qué revela?
-Una derivada es una herramienta fundamental del cálculo que mide la tasa de cambio de una función en un punto específico, revelando información como la velocidad o la aceleración.
¿Qué es el proceso inverso a la derivación en el cálculo y cómo se relaciona con el área bajo una curva?
-El proceso inverso a la derivación es la integral, que permite calcular el área bajo la curva de una función, lo que se utiliza para encontrar la distancia recorrida a partir de la velocidad, por ejemplo.
¿Cómo se relaciona el cálculo con la ecología y el estudio de poblaciones de animales?
-El cálculo se utiliza para modelar y resolver ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de poblaciones de animales en el tiempo, lo que es crucial para la gestión de ecosistemas y la conservación de las especies.
¿Por qué es el cálculo considerado una herramienta matemática indispensable para la industria y la ciencia?
-El cálculo es esencial para diseñar y optimizar procesos industriales, así como para entender y predecir fenómenos físicos, biológicos y económicos, permitiendo el desarrollo tecnológico y el avance científico.
Outlines
😲 La Revolución del Cálculo y su Impacto en la Tecnología
Este párrafo introduce la importancia de la tecnología en nuestra vida y hace una analogía histórica con la Revolución Industrial que ocurrió hace aproximadamente 300 años, pero en el ámbito de las matemáticas. Se centra en el Cálculo, una rama de las matemáticas fundamental para el avance tecnológico, y menciona a Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz como sus principales fundadores. El párrafo también establece la conexión entre el Cálculo y los movimientos celestes, con un enfoque en el trabajo de Johannes Kepler y la explicación de Newton sobre la gravedad y sus leyes matemáticas.
📚 El Cálculo como Habilidad para Estudiar Fenómenos en el Tiempo
El segundo párrafo explora cómo el Cálculo permite modelar y entender fenómenos que varían con el tiempo, como el vuelo de un proyectil. Se discute cómo, desde la Edad Media, se han buscado maneras matemáticas de describir fenómenos naturales, y cómo las funciones matemáticas son esenciales para representar relaciones entre variables. El párrafo también utiliza el ejemplo de una gráfica para ilustrar cómo el Cálculo nos ayuda a entender el comportamiento de estas funciones a través de su 'psicología matemática'.
🛣️ La Derivada como Herramienta para Medir la Velocidad y la Aceleración
Este apartado se enfoca en la derivada, una herramienta fundamental del Cálculo que permite medir la velocidad y la aceleración a través del análisis de la inclinación de una gráfica. Utiliza el ejemplo de un coche en movimiento para explicar cómo la derivada de la distancia recorrida con respecto al tiempo nos da la velocidad, y la segunda derivada nos proporciona la aceleración. El párrafo también muestra cómo la derivada puede ser utilizada para entender fenómenos a lo largo de un período de tiempo más largo, como las órbitas de los planetas.
📉 La Integral como Proceso Inverso a la Derivada
El cuarto párrafo introduce el concepto de integral como el proceso inverso a la derivada, es decir, como una forma de calcular áreas bajo curvas, lo que nos permite determinar distancias a partir de la velocidad. Se describe cómo Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo integral para sumar un infinito de pequeños rectángulos para encontrar áreas, y cómo esto se relaciona con el cálculo del área recorrida por un objeto en movimiento, como un coche.
🔗 El Cálculo en la Ciencia y la Industria
Este párrafo destaca el papel crucial del Cálculo en la ciencia y la industria. Se menciona cómo las ecuaciones diferenciales, derivadas de las leyes de Newton, son resueltas utilizando derivadas e integrales para entender fenómenos como las órbitas elípticas de los planetas. Además, se discute cómo el Cálculo es esencial en la ingeniería y la producción industrial, permitiendo el diseño y optimización de una amplia gama de productos y estructuras.
🌿 El Cálculo en las Ciencias del Comportamiento y de la Vida
El sexto y último párrafo ilustra cómo el Cálculo no solo es importante para las ciencias físicas, sino también para las ciencias del comportamiento y de la vida. Se da un ejemplo de cómo los biólogos utilizan ecuaciones diferenciales para modelar y entender la dinámica de poblaciones de animales en ecosistemas, y cómo estas herramientas matemáticas son esenciales para la conservación de las especies. El párrafo concluye destacando la importancia del Cálculo en una variedad de campos académicos y profesionales.
🎵 Conclusión Musical sobre la Importancia del Cálculo
Este elemento del script no contiene información narrativa sino simplemente una marca de música, indicando un cambio de sección o una pausa en la presentación. No se requiere un resumen o título para este tipo de contenido.
Mindmap
Keywords
💡Revolución matemática
💡Cálculo
💡Isaac Newton
💡Órbita elíptica
💡Fórmula de Newton
💡Derivada
💡Integral
💡Ecuaciones diferenciales
💡Fenómenos cambiantes
💡Modelos matemáticos
Highlights
La tecnología es esencial en nuestra vida y difícilmente podemos imaginar un mundo sin ella.
La revolución en las matemáticas conocida como el cálculo fue fundamental para el desarrollo tecnológico.
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron el cálculo por separado a finales del siglo 17.
Johannes Kepler descubrió las propiedades de las órbitas elípticas de los planetas.
Newton utilizó la idea de la gravedad para explicar los movimientos planetarios.
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza, masa y aceleración de un cuerpo.
El cálculo permite entender cambios y procesos en un intervalo de tiempo indefinido.
Newton demostró que las órbitas de los planetas son elípticas utilizando el cálculo.
El cálculo ayuda a estudiar fenómenos que cambian en el tiempo y donde una variable depende de otra.
Las funciones matemáticas son fundamentales para describir relaciones entre variables.
El cálculo de derivadas nos permite entender la velocidad y la aceleración de los movimientos.
Las integrales son el proceso inverso a la derivación y nos ayudan a calcular áreas bajo curvas.
Las ecuaciones diferenciales son esenciales para entender fenómenos que cambian con el tiempo.
El desarrollo del cálculo ha permitido diseñar máquinas y edificaciones que antes eran impensables.
El cálculo es crucial en la industria para maximizar y minimizar variables en el diseño de productos.
La unión del cálculo con la ciencia es fundamental para entender fenómenos físicos y biológicos.
Los matemáticos han formalizado el cálculo y desarrollado técnicas para estudiar funciones complejas.
El cálculo ha dado lugar a nuevas ramas de las matemáticas como los sistemas dinámicos y la geometría diferencial.
El cálculo es una herramienta indispensable para cualquier carrera universitaria.
Transcripts
00:00[Música]
00:04y
00:10i
00:16no
00:25estamos tan acostumbrados a la
00:27tecnología que muy difícilmente podemos
00:29pensar en nuestras vidas sin ella
00:32imaginemos por ejemplo cómo sería
00:33nuestro mundo sin los aparatos
00:35electrónicos sin las comunicaciones sin
00:38la producción industrial a gran escala
00:40de alimentos muebles y hasta ropa
00:45pues así sería nuestro mundo muy similar
00:47a éste a no sé por qué hace
00:49aproximadamente 300 años se forjó una
00:51revolución muy peculiar en las
00:53matemáticas fue tan peculiar que
00:56solamente hizo falta la existencia de
00:58esto
00:59a esa revolución en las matemáticas les
01:01llamamos el cálculo y cuando digo
01:03cálculo no me refiero a lo que dicen
01:05algunas personas de vamos a hacer unos
01:07cálculos no el cálculo es una de las
01:10ramas más fascinantes de las matemáticas
01:12y debemos existencia de los grandes
01:14pensadores isaac newton y 'virgen
01:18leading quienes a finales del siglo 17
01:20cada quien por su parte lo descubrió
01:23actualmente toda la tecnología depende
01:27del cálculo pero lo que realmente
01:29preocupaba a newton y laynce nix no era
01:31lo que tenían a su alrededor
01:34sino más bien
01:36las cosas
01:39de allá arriba
01:43newton nació en 1643 unas cuantas
01:47décadas después de que el astrónomo
01:49alemán johannes kepler descubriera que
01:51las órbitas que recorren los planetas y
01:53cometas alrededor del sol tienen la
01:56forma de una elipse que barren áreas
01:59iguales en tiempos iguales y que hay una
02:02relación precisa entre la distancia de
02:04un planeta al sol y el tiempo en que
02:07tarda en dar una vuelta completa
02:10estos hallazgos eran sorprendentes pero
02:13kepler nunca pudo entender por qué los
02:16planetas se movían alrededor del sol de
02:18esa manera
02:19newton tenía en mente una explicación de
02:21este fenómeno para ello partió de la
02:24idea de que los movimientos olímpicos de
02:26los planetas dependen del mismo fenómeno
02:28que hace que las manzanas se caigan de
02:30los árboles la gravedad
02:33[Música]
02:39newton es famoso justamente porque
02:41descubrió que la gravedad es la fuerza
02:43de atracción que experimentan todos los
02:44cuerpos de la misma manera y lo
02:46describió con esta fórmula que no hay
02:48que tenerle mucho miedo porque lo que
02:49nos explica lo siguiente la fuerza de
02:52gravedad entre dos cuerpos por ejemplo
02:54la tierra y el sol es proporcional al
02:57producto de sus masas esto quiere decir
02:59que entre más grandes sean estos cuerpos
03:02mayor será la atracción que haya entre
03:04ellos e inversamente proporcional al
03:07cuadrado de la distancia que hay entre
03:08ellos lo que significa que entre mayor
03:11distancia entre estos cuerpos la
03:13atracción entre ellos va a ser menor
03:15newton también descubrió que la fuerza
03:18que se ejerce sobre un cuerpo es
03:20equivalente al producto de su masa por
03:24su aceleración esta es la famosa segunda
03:27ley de newton
03:29con toda esta fórmula con toda esta
03:32fórmula newton estaba seguro que por ahí
03:34estaba el secreto de la órbita elíptica
03:37anteriormente descrita por kepler pero
03:40el problema es que la ley de la gravedad
03:43nos habla o nos describe la fuerza de
03:46atracción entre dos cuerpos pero en un
03:47instante preciso en un momento
03:50determinado y las órbitas elípticas son
03:54el resultado de algo que ocurre en un
03:56intervalo de tiempo más amplio digamos
03:59por ejemplo el que ocupa un planeta en
04:02darle una vuelta completa al sol a que
04:05newton le faltaba algo que no existe en
04:06ese momento le faltaba un método para
04:09poder comprender los cambios o procesos
04:11que tiene un fenómeno en un intervalo de
04:14tiempo digamos indefinido a partir
04:19de un momento específico o definido como
04:23esto
04:25y lo sorprendente es que lo encontró ese
04:29método es precisamente el cálculo con el
04:32cálculo newton no sólo pudo demostrar
04:34porque las órbitas de los planetas son
04:35elipses y los círculos sino también
04:38obtener fórmulas para encontrar la
04:40posición de los planetas en el espacio
04:42en cualquier momento fórmulas que por
04:44cierto seguimos usando para determinar
04:46la posición de nuestros satélites
04:48artificiales
04:50lo maravilloso de todo esto es que
04:52newton se dio cuenta de que el cálculo
04:54no solamente nos sirve para estudiar los
04:56movimientos de los cuerpos celestes sino
04:58que nos ayuda a estudiar matemáticamente
05:00todos los fenómenos que cambian en el
05:02tiempo y más aún todos los fenómenos en
05:05donde una variable depende de otra
05:12piensen en el vuelo de un proyecto por
05:14ejemplo una flecha
05:17desde tiempos muy antiguos se sabe que
05:19la distancia que pueda alcanzar una
05:21flecha depende de muchos factores uno de
05:24ellos es por supuesto el tiempo de vuelo
05:26pero también su peso la atención del
05:29arco y la velocidad del plano
05:33a partir del renacimiento se empezó a
05:35pensar que esas relaciones pueden
05:36ponerse en términos matemáticos por
05:39ejemplo es claro que uno de los factores
05:41que determinan la distancia que recorre
05:43cualquier proyectil y hace una flecha o
05:45un óvalo de cañón es el ángulo de
05:47disparo
05:50resulta claro que la distancia está
05:51relacionada con el ángulo del cañón a
05:54una relación como esta los matemáticos
05:55la llamamos funciones en este caso
05:58decimos que la distancia es una función
06:00del ángulo de disparo la relación entre
06:03el ángulo de disparo y la distancia no
06:06es tan trivial
06:06de hecho los matemáticos tardaron mucho
06:09tiempo en encontrar la forma matemática
06:11de recta para describir la trayectoria
06:13de una pala de cañón
06:15podemos observar muchas funciones a
06:18nuestro alrededor
06:19por ejemplo la velocidad con la cual
06:21gira una patinadora está en función de
06:23la posición de sus brazos está cuando
06:25salió en el mercado el precio de
06:27cualquier producto depende de la oferta
06:29y la demanda
06:30y así podríamos infinitamente donde algo
06:34cambio y hay una dependencia entre
06:37variables el matemático descubre
06:39funciones
06:41el mundo está repleto de funciones entre
06:43variables y el cálculo trata
06:45precisamente de entender estas funciones
06:48y su comportamiento digamos que es como
06:51la psicología de las matemáticas
06:57así como las personas tenemos días
06:59buenos y los malos
07:01y las funciones que tienen variaciones
07:07[Música]
07:10existen pasos donde las funciones tienen
07:12manchas
07:16hoy
07:20y como a veces hay máximos
07:23también el niño
07:25también existen funciones que sin
07:27importar nada permanecen constantes en
07:31fin las funciones que encontramos en la
07:33naturaleza son tan variadas como el
07:35comportamiento de las personas
07:37el cálculo es la herramienta que nos
07:39permite clasificarlas y entenderlas
07:44para entender cómo funcionan las
07:46herramientas del cálculo conviene
07:48representar las funciones entre
07:49variables
07:51en una gráfica el valor de una función
07:54se representa con una
07:57todos hemos visto una ratita alguna vez
07:59está por ejemplo representa la
08:01temperatura promedio del cuerpo durante
08:03el día está el crecimiento de la
08:06población mundial en el último siglo y
08:08está la temperatura promedio de la
08:10superficie terrestre desde 1864 para
08:14hacer una gráfica necesitamos que una
08:16variable cambie en función de otra por
08:18ejemplo un carro en movimiento un carro
08:21tiene que frenar y acelerar cambiar de
08:24dirección y todo eso provoca continuos
08:27cambios porque no se suben al auto
08:34con este coche podemos hacer los
08:36movimientos básicos como acelerar
08:41sin problema usamos este vehículo para
08:44ver cómo se construye una gráfica
08:46graphic haremos la distancia que recorre
08:48el coche en función del tiempo
08:51[Música]
09:04[Música]
09:07observen que la novela gráfica siempre
09:10es ascendente porque a veces
09:16cuando el coche mientras hago una curva
09:18tiene que frenar es tocándolo trocito de
09:21una forma de la gracia
09:23y después cuando el coche entre en una
09:26recta vuelve a acelerar y la gráfica
09:29cambia de forma
09:33en las rectas la distancia recorrida
09:35aumenta rápidamente y en la gráfica
09:38vemos este aumento en la pendiente de la
09:40curva que se inclina más hacia arriba
09:43pero en las curvas la reducción de
09:45velocidad hace que la inclinación de la
09:47línea sea menor
09:54si bien esta gráfica nos sirve para
09:56definir la distancia recorrida en
09:59función del tiempo la inclinación nos
10:02revela otro dato la velocidad por
10:04ejemplo aquí y aquí el auto va más
10:07rápido y aquí y aquí va más lento
10:12precisamente evaluar la inclinación de
10:15la curva en cada instante es para lo que
10:18sirve la herramienta fundamental del
10:20cálculo la derivada
10:23podemos pensar que las
10:26como cambia otra función por ejemplo
10:29hemos descubierto que la velocidad del
10:32coche está representada por la
10:33inclinación de la gráfica de la
10:35distancia que recorre para medir esta
10:37inclinación podemos dibujar una línea
10:39recta que toca la curva en cada punto
10:41que tenga la misma inclinación que ella
10:44podemos dibujar un triángulo con un lado
10:46horizontal otro vertical y el tercero
10:49sobre la entidad si mantenemos fija la
10:51base del triángulo y lo movemos a lo
10:53largo de la curva su altura va a cambiar
10:55es mayor cuando la curva está más
10:58inclinada así que la altura de esta
11:00línea es un buen indicador de la
11:02inclinación de la gracia
11:03qué les parece si gráfica mos el tamaño
11:05de esta altura así obtendremos una
11:08gráfica a partir de otra
11:10fíjense muy bien dentro de esta nueva
11:13gráfica cuando el auto va a una
11:15velocidad constante la gráfica es
11:18horizontal
11:22cuando el auto disminuye la velocidad la
11:24gráfica baja
11:29y cuando la velocidad aumenta la gráfica
11:35la nueva gráfica no es otra que la
11:37gráfica de la velocidad en una infección
11:39de tiempo
11:40la derivada de la distancia es la
11:42velocidad
11:44lo interesante es que obtuvimos la
11:47gráfica de la velocidad sin estar viendo
11:49directamente al velocímetro del auto
11:51todo a partir de la gráfica de la
11:53distancia en función del tiempo por lo
11:56que deducimos entonces que la velocidad
11:58es una derivada de la distancia pero
12:01también conocemos que la velocidad se ve
12:04alterada por el tiempo por lo tanto
12:06también se puede derivar y que obtenemos
12:08pues un dato muy importante que es la
12:11aceleración y llegamos a otra conclusión
12:14la distancia tiene dos derivadas la
12:17primera de ellas la velocidad la segunda
12:20la aceleración
12:22[Música]
12:25podemos usar las derivadas para entender
12:27matemáticamente las funciones de cosas
12:29que cambian en periodos largos de tiempo
12:31por eso cuando el minuto en desarrollo
12:34por primera vez el concepto pudo
12:36entender por fin la razón de que las
12:38órbitas de los planetas sean elitistas
12:41lo que newton hizo fue considerar su
12:43fórmula como una función y es que miren
12:45en un periodo de un año la posición del
12:48sol con respecto a los planetas cambian
12:50y por lo tanto cambio también la
12:51aceleración los cuerpos celestes nunca
12:53mantienen la misma velocidad y esto es
12:55muy notorio en los cometas que mientras
12:58están más cercanos al sol su aceleración
13:00es mayor y entre más lejanos esta
13:02aceleración disminuye y es precisamente
13:04en esta relación entre la posición de la
13:08tierra con respecto a su aceleración que
13:11newton descubre el secreto de las
13:12órbitas elípticas lo que newton hizo fue
13:16formalizar matemáticamente esta relación
13:18utilizando la derivada con la derivada
13:22newton pudo relacionar matemáticamente
13:24la posición de los planetas con su
13:26velocidad y su aceleración la derivada
13:29le permitía por ejemplo obtener la
13:31velocidad del planeta conociendo
13:33solamente la gráfica de la posición pero
13:36necesitaba una herramienta que le
13:37permitiera realizar el proceso inverso
13:39es decir obtener la posición de un
13:42planeta
13:42a partir de su velocidad
13:47la derivada la otra parte fundamental
13:49del cálculo la conocemos como interior
13:53desde afuera de un coche es fácil
13:54graficar la distancia que recorre pero
13:57si uno está adentro lo que tenemos más a
13:59la mano es el velocímetro así que lo más
14:02fácil en este caso no es gráfica la
14:04distancia sino la velocidad
14:10como podemos conocer la distancia que
14:13recorre el auto conociendo solo su
14:15velocidad lo que necesitamos es
14:18encontrar algo en esta gráfica que nos
14:20permita realizar el proceso inverso a la
14:22derivación analicemos una gráfica
14:24sencilla de la velocidad por ejemplo
14:26cuando vamos a una velocidad constante
14:29es claro que la distancia recorrida
14:31aumenta proporcionalmente al tiempo
14:34si vamos a 60 kilómetros por hora
14:36después de dos horas habremos recorrido
14:39120 kilómetros en total estos 120
14:43kilómetros los podemos visualizar como
14:45el área del rectángulo que se forma
14:47debajo de la curva de la gráfica
14:49esa relación se conserva aún cuando la
14:52velocidad varía siempre la distancia
14:54recorrida corresponde al área debajo de
14:56la curva
14:58así que si gráfica mos cómo crece esa
15:01área con el tiempo obtendremos ni más ni
15:04menos la gráfica de la distancia
15:06recorrida
15:07encontrar la función que permite
15:09calcular el área bajo la curva de una
15:11función es el proceso inverso a derivar
15:14y es precisamente la segunda pieza clave
15:17del cálculo el proceso se llama integral
15:20la función resultante la integral de la
15:23función original
15:26es muy difícil calcular directamente el
15:28área de una figura completa pero todo el
15:30mundo sabe calcular el área de un
15:32rectángulo
15:33base por altura
15:36así que una forma de encontrar un valor
15:38aproximado para el área bajo la gráfica
15:40de una función es llenarla de pequeños
15:42rectángulos y sumar sus áreas
15:45es fácil darse cuenta que mientras más
15:47angosto sean los rectángulos que
15:49pongamos bajo la curva más exacto será
15:52nuestro cálculo del área
15:54lo que encontraron newton y lightning es
15:57la manera de hacer estos rectángulos
15:59verdaderamente chiquitos que tampoco es
16:02infinita
16:07de hecho el símbolo que inventó lives
16:10para indicar la integral de una función
16:12es una s de suma y una especie de
16:15chiquita significa algo así como la suma
16:19de una infinidad de pequeño rectángulo
16:22si nos parece muy extraña la idea de
16:23sumar una infinidad de rectángulos
16:25infinitamente pequeños no se preocupen
16:28porque para newton light mix y otros
16:30matemáticos que les precedieron fue un
16:33verdadero dolor de cabeza pero dejando
16:35de lado todos los problemas filosóficos
16:37que nos plantea el cálculo si conocemos
16:40una función a través de la derivada
16:43vamos a saber cómo cambia en el tiempo y
16:45si sabemos cómo cambia en el tiempo a
16:48través de la integral vamos a saber de
16:50cuál función se trata
16:54o la derivada de la integral los
16:56científicos por fin tuvieron las
16:58herramientas necesarias para entender
16:59matemáticamente todos los fenómenos que
17:02cambian con el tiempo combinando las
17:05derivadas con las integrales
17:06transformaron muchas de las viejas
17:08fórmulas que conocían en nuevas fórmulas
17:10que podrían estudiarse por medio del
17:12cálculo
17:14pues aquí está de nuevo la fórmula de
17:16newton recuerden aquí tenemos la
17:18distancia aquí tenemos la aceleración
17:20que hay que recordar
17:25una derivada de la velocidad en función
17:29del tiempo la que a su vez
17:33es una derivada
17:36de la distancia
17:41en función del tiempo y bueno pues
17:44obtenemos una ecuación que aparentemente
17:46es muy compleja tenemos de este lado a
17:49la distancia solita y acá la tenemos
17:51como una segunda derivada a este tipo de
17:54ecuaciones se les llama ecuaciones
17:56diferenciales
17:58las ecuaciones diferenciales son
18:00parecidas a las ecuaciones entre
18:02variables que aprendemos en la
18:03secundaria pero la incógnita no es un
18:06número sino una función por eso resolver
18:09ecuaciones diferenciales es muy difícil
18:11una vez que newton convirtió su fórmula
18:13en una ecuación diferencial cómo
18:15resolverla utilizando las dos
18:17herramientas básicas del cálculo y
18:19llegar a la conclusión de que la forma
18:21de la órbita de un planeta que gira
18:23alrededor del sol impulsado por la
18:25fuerza de gravedad necesariamente tiene
18:27que ser dada por una ecuación como ésta
18:31es la ecuación de una figura cónica es
18:34decir una hipérbola parábola o elipse
18:37pero las hipérboles y parábolas son
18:40abiertas es decir describen órbitas de
18:43cuerpos que una sola vez es cercana al
18:44sol y después se alejan para siempre
18:46como este no es el caso de los planetas
18:49y los cometas conocidos newton concluyó
18:51que sus órbitas sólo pueden tener una
18:53forma la de una elipse
18:56este descubrimiento es sin duda uno de
18:58los logros más grandes de la
18:59civilización desde entonces no se puede
19:03conseguir al mundo sin el calcio
19:07la tecnología fue una de las actividades
19:09más beneficiadas con el nacimiento del
19:11cálculo del cálculo permitió diseñar
19:14nuevas máquinas significara
19:15construcciones que nadie había imaginado
19:17hoy mismo el cálculo es sin duda la
19:20herramienta matemática más importante de
19:22la industria todo lo que se produce a
19:24gran escala necesita calcular
19:27desde la construcción de un gigantesco
19:29puente capaz de soportar grandes fuerzas
19:32durante muchos años hasta el diseño de
19:35una sencilla lata de refresco
19:37qué tiene que almacenar la mayor
19:38cantidad de líquido gastando la menor
19:41cantidad de aluminio en su fabricación
19:43se empiezan a dar cuenta porque toda la
19:46producción industrial depende del
19:47cálculo como ya vimos las latas de
19:49refresco las sillas de los escritorios
19:52los teléfonos todo se diseña para
19:54maximizar algunas variables y minimizar
19:56otras y para eso se aplican las
19:58derivadas y si el cálculo es
20:01imprescindible para la industria es aún
20:03más importante para la ciencia la unión
20:06del cálculo con la ciencia es un
20:07matrimonio indivisible no se podría
20:10imaginar la física sin cálculo
20:11[Música]
20:13y la química y la economía y bueno la
20:16mala noticia para quienes no les gustan
20:18las matemáticas pero si los animales es
20:20que ni siquiera la biología se escapa
20:22del cálculo por ejemplo los biólogos que
20:25estudian las extinciones de especies a
20:26menudo tienen que entender cómo se
20:28comporta una población de animales en el
20:30tiempo
20:32si una población vive sin restricciones
20:34de alimentación la cantidad de
20:37individuos de la especie puede aumentar
20:39indefinidamente como en el caso de estas
20:42bacterias
20:45en otras palabras si tomamos la cantidad
20:48de individuos en función del tiempo su
20:50derivada será una constante multiplicada
20:52por ella misma
20:54hasta que empieza a escasear el alimento
20:57y la población decrece también de manera
20:59proporcional al número de individuos
21:02ambos fenómenos suceden con frecuencia
21:04en la naturaleza más interesante es si
21:07los animales tienen suficiente comida
21:09pero enfrentan depredadores por ejemplo
21:12aquí vemos las poblaciones de conejos y
21:15coyotes que comparten un mismo hábitat
21:17primero los coyotes se dan un atracón y
21:20los conejos disminuyen pero cuando
21:23quedan pocos conejos los depredadores
21:24empiezan a su vez a desaparecer por
21:26falta de alimento lo que permite que
21:29aumente la población de conejos y así se
21:32siguen indefinidamente esta situación
21:35puede graficar se en un plano si
21:37aceptamos que ahora en una dirección se
21:39mide la cantidad de conejos y en la otra
21:41la de coyotes la figura resultante
21:44describe el comportamiento del
21:45ecosistema de conejos y coyotes y puede
21:48modelar se con una ecuación matemática
21:49que a diferencia de las ecuaciones
21:51comunes incluye derivadas de las
21:54cantidades por lo tanto lo que tenemos
21:57es una ecuación diferencial que se puede
22:00resolver con las herramientas del
22:02cálculo la derivada y la integral
22:06resolviendo la ecuación diferencial
22:07podemos saber cómo cambia la población
22:10de conejos y coyotes en el tiempo
22:12modelos como este pero con muchas más
22:15variables se utilizan para estudiar las
22:17poblaciones de especies en ecosistemas
22:18reales y para determinar las acciones
22:21que deben de tomarse para proteger a una
22:24especie particular de la extinción
22:27en los siglos 18 19 y 20 los matemáticos
22:30formalizaron el cálculo y desarrollaron
22:33técnicas para poder estudiar las
22:34funciones cada vez más complejas que
22:37utiliza la ciencia para explicar los
22:39fenómenos físicos y biológicos dando
22:41origen a nuevas ramas de las matemáticas
22:43que surgen a partir del cálculo como los
22:45sistemas dinámicos y la geometría
22:47diferencial derivadas integrales y
22:50ecuaciones diferenciales esa es la
22:53esencia del cálculo su estudio es
22:54fascinante aunque para ser muy honesto a
22:56veces es muy difícil incluso los
22:58matemáticos seguimos estudiando seguimos
23:00investigando muchos aspectos que aún no
23:02nos quedan claros pero que no nos
23:04extraña de una herramienta que nos
23:05permite entender tantos fenómenos de
23:07nuestro entorno pero ahora que si
23:09ustedes quieren seguir cualquier carrera
23:11universitaria
23:12vale la pena aprenderlo porque
23:15mejor sigamos
23:21medicina cálculo
23:27genética
23:36astronomía cálculo
23:44duke estudios de literatura
23:48bueno ni siquiera el cálculo es perfecto
23:56entienden ahora por qué es tan
23:58importante el cálculo es la herramienta
24:01matemática que ha permitido crear
24:03nuestra tecnología y estudiar todo lo
24:06que nos rodea
24:15bien
24:56[Música]
25:38ah
25:43[Música]
Browse More Related Video
5.0 / 5 (0 votes)
