03. Raíz sexta de 2, resuelta por método de Newton Raphson
Summary
TLDREste vídeo enseña cómo calcular la raíz sexta de 2 con precisión de 8 decimales usando el método de Newton-Raphson. Se explica el proceso paso a paso, comenzando con la función f(x) = x^6 - 2 y buscando el valor de x que haga que f(x) = 0. Se sugiere una primera aproximación de x=1 y seguidamente se aplica la fórmula de Newton-Raphson repetidamente hasta obtener una solución estable con 8 cifras decimales. Además, se motiva a los espectadores a intentar resolver otros problemas similares y se les anima a interactuar con el canal.
Takeaways
- 🔢 El vídeo enseña cómo calcular la raíz sexta de 2 con una precisión de 8 decimales.
- 📚 Se utiliza el método de Newton-Raphson para encontrar la aproximación.
- 📐 Se recomienda ver videos anteriores para comprender mejor este método.
- 🔍 Se define una función f(x) = x^6 - 2 para encontrar la raíz sexta de 2.
- 📉 Se calcula la derivada de la función f(x) = 6x^5 para el método de Newton-Raphson.
- 📌 Se sugiere que la primera aproximación puede ser x = 1 o x = 2.
- 🔄 Se aplica la fórmula de Newton-Raphson repetidamente para mejorar la aproximación.
- 🔄 Se obtiene x2, x3, x4, x5, x6 y x7 hasta que los decimales se mantienen fijos.
- 📊 Se enfatiza que el método de Newton-Raphson es útil para resolver ecuaciones donde se busca la intersección de funciones.
- 👍 Se anima a los espectadores a intentar el procedimiento por sí mismos y se invita a suscribirse y compartir el contenido.
Q & A
¿Qué método se utiliza en el vídeo para calcular la raíz sexta de 2 con 8 cifras decimales de precisión?
-Se utiliza el método de Newton-Raphson para calcular la raíz sexta de 2 con la precisión requerida.
¿Cuál es la función f(x) que se usa en el método de Newton-Raphson para encontrar la raíz sexta de 2?
-La función f(x) utilizada es f(x) = x^6 - 2, donde se busca el valor de x que haga que f(x) sea igual a 0.
¿Cómo se determina la derivada de la función f(x) = x^6 - 2 para aplicar el método de Newton-Raphson?
-La derivada de la función f(x) = x^6 - 2 es f'(x) = 6x^5.
¿Cuál es la primera aproximación de x que se toma en el vídeo para calcular la raíz sexta de 2?
-La primera aproximación de x que se toma es 1.
¿Cuál es la fórmula que se aplica repetidamente en el método de Newton-Raphson para mejorar la aproximación de x?
-La fórmula aplicada repetidamente es x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n).
¿Cuál es el resultado de f(1) en la función f(x) = x^6 - 2?
-El resultado de f(1) es 1^6 - 2, que es -1.
¿Cuál es el resultado de f(2) en la función f(x) = x^6 - 2?
-El resultado de f(2) es 2^6 - 2, que es 64 - 2, dando como resultado 62.
¿Dónde debe estar el resultado de la raíz sexta de 2 si se prueba con valores entre 1 y 2?
-El resultado de la raíz sexta de 2 debe estar entre 1 y 2, ya que 1^6 = 1 y 2^6 = 64, y se busca un número cuya sexta potencia sea 2.
¿Cuál es la importancia de que los últimos decimales se queden fijos en el proceso de Newton-Raphson?
-La importancia de que los últimos decimales se queden fijos indica que ya se ha alcanzado una aproximación con la precisión deseada, en este caso, 8 cifras decimales.
¿Cómo se puede generalizar el método de Newton-Raphson para resolver otras ecuaciones no necesariamente exponenciales?
-El método de Newton-Raphson puede generalizarse para resolver otras ecuaciones al seguir el mismo procedimiento: pasar todos los términos al lado izquierdo para que quede igual a 0, calcular la derivada, elegir una primera aproximación y aplicar repetidamente la fórmula hasta alcanzar la precisión deseada.
Outlines
📐 Introducción al Método de Newton-Raphson
En este primer párrafo, se presenta el método de Newton-Raphson para calcular la raíz sexta de 2 con una precisión de 8 decimales. Se explica que el método implica encontrar un valor de x que satisface la ecuación f(x) = 0, donde f(x) = x^6 - 2. Se sugiere que la raíz sexta de 2 debe estar entre 1 y 2, y se toma como primera aproximación x1 = 1. Se procede a calcular la segunda aproximación, x2, utilizando la fórmula del método de Newton-Raphson y calculando la derivada de f(x), que es 6x^5. Se sustituye x1 en la fórmula y se lleva a cabo el cálculo para obtener x2, que es una mejor aproximación a la raíz sexta de 2.
🔍 Proceso Iterativo y Aplicaciones del Método de Newton-Raphson
Este segundo párrafo describe el proceso iterativo del método de Newton-Raphson para refinar la aproximación de la raíz sexta de 2. Se continúa con la obtención de x3, x4, x5 y x6, observando que a medida que se aplican las iteraciones, los decimales se mantienen fijos, lo que indica que se ha alcanzado la precisión deseada de 8 cifras decimales. Además, se menciona que el método de Newton-Raphson es útil para resolver otras ecuaciones y encontrar intersecciones entre funciones, como se ilustra con la ecuación 4 - x^2. Se anima a los espectadores a intentar el procedimiento por sí mismos y se les invita a ver el siguiente vídeo para un procedimiento completo. Finalmente, se agradece el apoyo de los espectadores y se les pide que den like, se suscriban y compartan los videos.
Mindmap
Keywords
💡Método de Newton-Raphson
💡Raíz sexta
💡Exactitud
💡Función f(x)
💡Derivada
💡Aproximación
💡Iteración
💡Redondeo
💡Intersección de funciones
💡Pasión
Highlights
Objetivo del vídeo: Calcular una aproximación para la raíz sexta de 2 con 8 cifras decimales de exactitud.
Método utilizado: Método de Newton-Raphson para encontrar la raíz.
Función f(x) utilizada: f(x) = x^6 - 2, donde buscamos x tal que f(x) = 0.
Primera aproximación de x: 1, basada en que la raíz sexta de 2 está entre 1 y 2.
Proceso de iteración para mejorar la aproximación de x utilizando la fórmula de Newton-Raphson.
Cálculo de la derivada de la función f(x) = 6x^5.
Aplicación de la fórmula de Newton-Raphson con la primera aproximación x1 = 1.
Resultado de la segunda aproximación x2, calculada a partir de x1.
Continuación del proceso para obtener la tercera aproximación x3.
Obtención de la cuarta aproximación x4, mostrando una convergencia en los primeros decimales.
Cálculo de la quinta aproximación x5, donde los primeros cuatro decimales son iguales a los de x4.
Seisava aproximación x6, donde ya no hay cambios en los decimales, indicando una aproximación estable.
Séptima aproximación x7, confirmando la estabilidad de los decimales y la precisión requerida.
Conclusión de que la aproximación alcanza 8 cifras decimales de exactitud.
Invitación a los espectadores a verificar los resultados y aplicar el método en otros problemas.
Aplicación del método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones con funciones exponenciales.
Sugerencia de intentar resolver una ecuación con 4 cifras decimales de exactitud.
Gracias y apoyo a los espectadores que han apoyado el canal.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a calcular una
aproximación para la raíz sexta de 2 que
tenga una exactitud de 8 cifras
decimales y vamos a hacerlo aplicando el
método de newton rap son vamos a hacer
algo similar a lo que hemos visto en los
vídeos anteriores si no han visto los
vídeos anteriores los invito a que los
vean para que entiendan mucho mejor este
vídeo en primer lugar recordemos que el
método de newton rap son consiste en
aplicar esta fórmula de aquí y para
aplicar esta fórmula necesitamos tener
una función f x para la cual estamos
nosotros interesados en encontrar el
valor en el cual la función es igual a
cero para obtener esa función en este
caso lo que vamos a hacer en primer
lugar es llamarle x a la raíz extra de 2
que lo que queremos encontrar queremos
calcular el valor de x a partir de aquí
vamos a elevar al exponente 6 la equis
para quitar la raíz sexta de 2 es decir
la raíz sexta se pasa como exponente 6
de la x finalmente este 2
aquí lo pasamos restando al lado
izquierdo porque recordemos que del lado
derecho nos debe quedar igual a 0
así que esta de aquí va a ser nuestra
función
fx es x sexta menos 2 y queremos
encontrar el valor de x para el cual
esta función sea igual a cero bueno lo
primero que tenemos que hacer entonces
es obtener una aproximación para esta
función y eso podemos hacerlo
sustituyendo algunos valores para x en
este caso por ejemplo si sustituimos x
igual a 1 obtenemos que f de 1 es 1 a la
sexta menos 2 lo cual nos da menos 1 y
si sustituimos x igualados obtenemos que
f de 2 es igual a 2 a la sexta menos 2
que nos da como resultado 62 también
podríamos haber buscado una aproximación
directamente desde la raíz extra de 2 lo
que nosotros estamos buscando es un
número que elevado a la sexta nos dé
igual a 2
entonces si intentamos con el 11 a la
sexta nos da 1 mientras que 2 a la sexta
ya se pasa por lo tanto el resultado
debe estar entre 1 y 2
bueno vamos a tomar entonces como
primera aproximación el 1 también
podríamos tomar el 2 como primera
aproximación pero en este caso tal vez
tendríamos que hacer algunas iteraciones
más o sea es un poquito más largo del
procedimiento pero también podríamos
intentarlo con esa aproximación
yo voy a intentarlo con x 1 igual a 1
como primera aproximación ahora buscamos
una mejor aproximación que vamos a
llamar x2
utilizando esta fórmula de aquí para
usar esta fórmula lo que podemos hacer o
lo que tenemos que hacer en este caso es
calcular primero la derivada de la
función así que derivamos y nos queda 6x
quinta que es la derivada de x sexta
ahora vamos a sustituir en esta fórmula
las funciones es decir vamos a cambiar
estas x x x n en la parte de arriba
colocamos fx n que es x n a la sexta
menos 2 y en la parte de abajo 6x n a la
quinta en los vídeos anteriores también
lo que había mostrado que podemos hacer
es k
jugar por separado las funciones y
directamente sustituir aquí los valores
pero en este caso lo voy a hacer de esta
otra manera directamente sustituir aquí
las funciones pero considerando que en
lugar de x debemos colocar x n para
obtener x 2 cada x n la ponemos como x 1
de esta manera y ahora sustituimos el
valor de x 1 aquí entonces nos queda uno
menos 1 a la sexta menos 2 sobre 6 x 1 a
la quinta y ahora hay que hacer estas
operaciones 1 a la sexta es uno menos 2
nos queda menos 11 a la quinta es 1 por
6 nos queda 6 luego aquí menos x menos
da más y 1 entre seis que era 0.1 66 así
hasta completar ocho decimales así que
el último redondeamos y lo ponemos como
7 y ahora sumamos estas cantidades y nos
queda este valor de aquí
este es nuestro x2 la segunda
aproximación de la misma manera vamos a
obtener ahora una mejor aproximación que
es x 3 cambiando ahora cada equis n por
x 2 y nos queda entonces esto de aquí
sustituimos el valor por lo que tenemos
que hacer toda esta operación y
finalmente obtenemos este resultado que
es x 3 seguimos de esta manera ahora
para obtener x 4 y obtendremos este
resultado de aquí aquí ya los invito a
que ustedes verifiquen que este es el
resultado que se obtiene y continuando
de esta manera obtenemos después x 5 que
es este valor de aquí el cual se parece
mucho a x 4 fíjense que los primeros
cuatro decimales son iguales pero ya los
demás cambian así que ahora calculamos x
6 y vemos que ahora ya no cambia ningún
decimal así que si luego calculamos x 7
nos quedan todos los decimales iguales
de nuevo y entonces como se queda ya el
resultado fijo en este valor significa
que hemos obtenido ya una aproximación
con 8 cifras decimales porque si no
fueran estas 8 cifras exactas
entonces seguirían ocurriendo cambios
como acá arriba pero bueno ya tenemos
entonces la solución que es esta de aquí
con 8 cifras decimales
mediante el método de newton rap song
también podemos resolver otras
ecuaciones en las cuales hay otro tipo
de funciones como en este caso que
tenemos una función exponencial tenemos
que resolver esta ecuación con cuatro
cifras decimales ea la equis igual a 4
menos x cuadrada geométricamente esto
significa encontrar la intersección de
la gráfica de la x con la intersección
de la parábola 4 - x cuadrada entonces
el método de newton repsol es un buen
método que sirve para calcular
intersección entre funciones los invito
a que ustedes intenten hacerlo realmente
el procedimiento es el mismo primero
pasar todos los términos al lado
izquierdo para que quede igual a 0 luego
esa va a ser nuestra función luego hay
que calcular la derivada considerar una
primera aproximación y luego ir
aplicando la fórmula una y otra vez
hasta obtener un resultado que se quede
fijo en cuatro cifras decimales bueno
los invito a que intenten hacerlo y en
el siguiente vídeo les muestro el
procedimiento completo para que
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vídeo apóyame regalando me un like
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vídeos y también quiero agradecer
a todas las personas que me han apoyado
a través de pasión muchas gracias a
todos por su gran apoyo
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