Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem

Summary

El video explora el problema de Basilea, una suma infinita de inversos de números cuadrados que converge al cuadrado de pi dividido por 6, una relación descubierta por Euler. Se utiliza una metáfora de faros en una línea numérica para representar la suma y se introduce el teorema de la inversa de Pitágoras para transformar un faro en dos, manteniendo la luminosidad percibida. A través de esta técnica y la creciente complejidad geométrica, se demuestra que la suma de los inversos de los cuadrados de los números enteros positivos es igual a pi cuadrado dividido por 6, revelando una conexión sorprendente entre la geometría y la serie matemática.

Takeaways

• 🔵 El problema de Basilea, planteado hace 90 años, fue resuelto por Euler, quien descubrió que la suma de los inversos de los números cuadrados se acerca a π² dividido por 6.
• 🌐 La relación entre la suma y π es sorprendente, ya que usualmente no se ve a π elevado al cuadrado en contextos no relacionados con círculos.
• 🏙️ La demostración alternativa presentada en el video utiliza una representación física de la suma a través de la intensidad de luz de faros (linternas) colocados en los enteros positivos.
• 💡 La intensidad percibida de los faros se reduce según la ley inversa del cuadrado de la distancia, lo que es aplicable no solo a la luz sino a otras formas de energía que se propagan desde un punto.
• 📐 La transformación de un faro en dos utilizando el teorema de Pitágoras invertido es clave para manipular la configuración de los faros sin cambiar la intensidad total percibida.
• 🌟 La suma de la intensidad de los faros se puede reorganizar en un patrón que se asemeja a la suma a lo largo del borde de un círculo infinitamente grande, lo que lleva a la conexión con π.
• 🔄 El proceso iterativo de duplicar el tamaño del círculo y transformar cada faro en dos nuevos, mantiene constante la intensidad percibida y la distribución uniforme de los faros.
• 🔢 La suma de los inversos de los cuadrados de los números enteros positivos impares conduce a una serie infinita que se relaciona con π²/4, una aproximación a la solución del problema de Basilea.
• 🚫 La suma original del problema de Basilea incluye todos los números naturales positivos, no solo los impares, lo que requiere ajustes adicionales para alcanzar la solución final.
• 🎥 El video fue escrito y animado por Ben Hambricht, un nuevo miembro del equipo de 3Blue1Brown, con apoyo de los patrocinadores en Patreon.

Q & A

¿Qué serie infinita se resuelve en el problema de Basilea?

La serie infinita que se resuelve en el problema de Basilea es la suma de los inversos de los números cuadrados, es decir, 1 más 1/4 más 1/9 más 1/16 y así sucesivamente.

¿Cuál fue la contribución de Euler al problema de Basilea?

Euler resolvió el problema de Basilea después de 90 años de ser planteado, encontrando que la suma de la serie infinita se acerca a π² dividido por 6.

¿Por qué se llama el problema de Basilea 'basilea problem'?

El problema de Basilea se llama así en honor a Euler, cuyo pueblo natal era Basilea.

¿Qué es la ley del inverso cuadrado y cómo se relaciona con la luz?

La ley del inverso cuadrado es un fenómeno tridimensional que se da cuando una cantidad se propaga uniformemente desde un punto fuente, como la luz, el sonido o la energía de una señal de radio. La luz disminuye su brillo proporcionalmente a la inversa del cuadrado de la distancia, lo que significa que si la distancia se duplica, el área impactada por la luz se cuadra, y por lo tanto, la cantidad de luz recibida disminuirá a la cuarta parte.

¿Qué es el teorema de Pitágoras inverso mencionado en el guion?

El teorema de Pitágoras inverso es una relación que se da en el contexto de la geometría esférica y se refiere a la igualdad entre la suma de las recíprocas de las distancias cuadradas de dos puntos y la recíproca de la distancia cuadrada del tercer punto, que es 1/a² + 1/b² = 1/h².

¿Cómo se utiliza la idea de los faros en el guion para representar la serie infinita del problema de Basilea?

En el guion, los faros son utilizados como una representación física de los términos de la serie infinita del problema de Basilea, donde el brillo aparente de cada faro corresponde a los términos de la serie, y la suma total del brillo es igual a la solución del problema.

¿Qué es la 'ángulo sólido' y cómo se relaciona con la luz?

El ángulo sólido es la proporción de una esfera que cubre una figura vista desde un punto dado. En el guion, se relaciona con la luz al considerar la cantidad de luz que impacta en una pantalla o sensor, lo que se relaciona con el ángulo que la luz cubre en ambas direcciones perpendiculares a la fuente de luz.

¿Cómo se justifica la igualdad de brillo entre un faro y dos faros en el guion?

La igualdad de brillo entre un faro y dos faros se justifica utilizando la idea de que la luz de un faro puede 'reformarse' en dos faros nuevos de tal manera que el ángulo de los rayos de luz que impactan en una pantalla es el mismo, lo que mantiene la cantidad de luz recibida igual.

¿Cómo se relaciona la solución del problema de Basilea con la geometría circular?

La solución del problema de Basilea se relaciona con la geometría circular al considerar la suma a lo largo de un número lineal infinito, lo que se asemeja a sumar a lo largo del borde de una circunferencia infinitamente grande, donde la suma de los inversos de los cuadrados de los números corresponde a la suma a lo largo de la circunferencia.

¿Cómo se transforma la suma sobre los números enteros positivos en la suma sobre los números enteros positivos impares para resolver el problema de Basilea?

Para transformar la suma sobre los números enteros positivos en la suma sobre los números enteros positivos impares, se multiplica la suma por 4/3, ya que la suma de los recíprocos de los números pares es una cuarta parte de la suma total, y la suma de los recíprocos de los números impares es tres cuartas partes de la suma total.