Resolver una Suma de Riemann paso a paso. #MateYisus
Summary
TLDREn este nuevo video, Jesús Grajeda enseña a aproximar una integral utilizando sumas de Riemann. Se presenta un ejercicio específico con una función f(x) = x cúbica - 6x, evaluando la integral en el intervalo [0, 3] con 6 puntos de muestra. Jesús explica el concepto de suma de Riemann y cómo calcular el delta x, evaluando la función en cada punto y sumando los resultados multiplicados por delta x para obtener una aproximación de la integral. Además, se discute cómo la carga de los rectángulos (por la izquierda o derecha) afecta la aproximación y se invita a los espectadores a explorar más sobre el tema en otros videos.
Takeaways
- 😀 Jesús Grajeda enseña cómo aproximar una integral usando sumas de Riemann en este vídeo.
- 📐 El ejercicio práctico consiste en evaluar la suma de Riemann para la función \( f(x) = x^3 - 6x \) en el intervalo [0, 3] utilizando 6 subintervalos.
- 📝 Se define la integral como el límite de la suma de Riemann cuando el número de subintervalos \( n \) tiende a infinito.
- 🔢 Se calcula \( \Delta x \) como \( \frac{b-a}{n} \), donde \( a = 0 \), \( b = 3 \), y \( n = 6 \), resultando en \( \Delta x = 0.5 \).
- 📊 Se evalúa la función \( f(x) \) en los puntos \( x_i \) que se encuentran cada \( \Delta x \) a lo largo del intervalo.
- 📈 Se calculan los valores de \( f(x) \) en los puntos \( x_i \) y se multiplican por \( \Delta x \) para obtener la suma de Riemann.
- 🧮 Se obtiene un resultado aproximado de la integral, que en este caso es negativo debido a que la función está por debajo del eje x en el intervalo considerado.
- 📉 La gráfica muestra que los rectángulos se cargan hacia el lado derecho de cada \( x_i \) para aproximar el área bajo la curva.
- 🔄 Se discute cómo el resultado de la suma de Riemann varía si se carga hacia el lado izquierdo o derecho, y se enfatiza la importancia de \( n \) tender a infinito para obtener una aproximación exacta.
- 🎓 Se invita a los espectadores a explorar más sobre la notación sigma y la aproximación de áreas bajo curvas con sumas de Riemann en otros videos.
Q & A
¿Qué es la suma de Riemann y cómo se utiliza para aproximar una integral?
-La suma de Riemann es una aproximación de una integral definida, que se calcula como el límite cuando n tiende a infinito de la suma de los productos de la función evaluada en puntos del intervalo dividido y el ancho de dicho intervalo dividido entre n.
¿Cuál es la función que se está aproximando en el script proporcionado?
-La función que se está aproximando es f(x) = x cúbica - 6x.
¿Cuáles son los puntos extremos y el número de divisiones utilizadas para la aproximación en el script?
-Los puntos extremos son a = 0 y b = 3, y se utiliza un total de n = 6 divisiones para la aproximación.
¿Cómo se define el ancho del intervalo (delta x) para la aproximación en la suma de Riemann?
-El ancho del intervalo (delta x) se define como (b - a) / n, donde b y a son los puntos extremos y n es el número de divisiones.
¿Cómo se eligen los puntos de evaluación dentro del intervalo para la suma de Riemann?
-Los puntos de evaluación se eligen de tal forma que cada uno esté a un delta x distancia del siguiente, y se evalúa la función en estos puntos.
¿Qué significa el resultado negativo que se obtiene en la aproximación y cómo se interpreta gráficamente?
-El resultado negativo indica que la aproximación incluye áreas bajo la curva que están por debajo del eje x, lo cual se interpreta como áreas negativas en el gráfico.
¿Cómo se cargan los rectángulos en la aproximación y cómo afecta esto al resultado?
-Los rectángulos se cargan hacia el lado derecho de cada punto de evaluación (x_i). Si se cargaran hacia el lado izquierdo, el valor aproximado del integral cambiaría, ya que se estaría considerando una aproximación diferente de la área bajo la curva.
¿Por qué es importante la elección de n cuando se utiliza la suma de Riemann para aproximar una integral?
-La elección de n es importante porque cuanto mayor sea n, más preciso será el resultado de la aproximación, ya que se utilizarán más rectángulos para estimar la área bajo la curva.
¿Qué es la notación sigma y cómo se relaciona con la suma de Riemann?
-La notación sigma representa la sumatoria en matemáticas, y se utiliza en la suma de Riemann para indicar la suma de los productos de la función evaluada en puntos del intervalo y el ancho del intervalo.
¿Cómo se puede mejorar la aproximación de la integral utilizando la suma de Riemann?
-La aproximación de la integral se puede mejorar aumentando el número de divisiones (n), utilizando métodos de integración más avanzados, o evaluando la función en puntos más adecuados dentro del intervalo.
Outlines
📚 Introducción a la aproximación de integrales mediante sumas de Riemann
El primer párrafo presenta el tema del video, que es el cálculo de la aproximación de una integral utilizando sumas de Riemann. Jesús Grajeda, el presentador, explica que se utilizará la función f(x) = x³ - 6x y se aproximará la integral en el intervalo [0, 3] utilizando 6 puntos de muestreo. Se menciona que se dará una breve explicación teórica y luego se procederá con el cálculo práctico. El objetivo es entender cómo se aproxima una integral a través de la suma de áreas de rectángulos, que en este caso se corresponden con las sumas de Riemann.
📉 Procedimiento para calcular la suma de Riemann y su interpretación gráfica
En el segundo párrafo se describe el proceso detallado para calcular la suma de Riemann, que se utiliza para aproximar la integral de la función dada. Se calcula el valor de Δx, que es la diferencia entre los puntos de muestreo, y se evalúa la función en cada uno de estos puntos. Luego, se multiplica cada valor de la función por Δx y se suman todos los resultados para obtener una aproximación de la integral. Se menciona que el resultado puede ser negativo debido a que la función puede estar por debajo del eje x, lo cual se refleja en el gráfico con rectángulos que representan áreas negativas. Además, se discute cómo la elección de cargar los rectángulos hacia la izquierda o derecha puede afectar el valor aproximado de la integral.
🔚 Conclusión y recomendaciones para comprender mejor el tema
El último párrafo del guión de video ofrece una conclusión y recomendaciones adicionales para el espectador. Jesús Grajeda agradece la atención y anima a suscriptores a activar la notificación para no perderse futuros contenidos. También hace una referencia a otros videos que pueden ayudar a entender mejor el concepto de sumas de Riemann y cómo se relaciona con la aproximación de áreas bajo curvas. Finalmente, se cierra el video con un mensaje motivador sobre el valor de las matemáticas y se despide a los espectadores.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Sumas de Riemann
💡Rectángulos
💡Delta x (Δx)
💡Puntos muestra (n)
💡Función
💡Aproximación
💡Límite
💡Curva
💡Área
Highlights
Introducción del video y presentación del objetivo: aproximar una integral usando sumas de Riemann.
Explicación del ejercicio propuesto: evaluar la suma de Riemann para la función f(x) = x^3 - 6x en el intervalo [0, 3] con n = 6.
Definición de la integral como límite de la suma de Riemann cuando n tiende a infinito.
Cálculo del valor de Δx para n = 6, resultando en 0.5.
Determinación de los puntos de evaluación (xi) a lo largo del intervalo [0, 3] con un paso de 0.5.
Evaluación de la función f(x) en los puntos xi y cálculo de f(xi) para cada i.
Suma de los productos f(xi) * Δx para aproximar la integral.
Resultado aproximado de la integral: -3.9375.
Discusión sobre el significado gráfico de los resultados negativos en la aproximación de la integral.
Visualización de la función y los rectángulos utilizados para la aproximación en el gráfico.
Explicación de cómo la carga de los rectángulos hacia la derecha o izquierda afecta la aproximación del área bajo la curva.
Mención de la necesidad de un límite cuando n tiende a infinito para obtener una integral exacta.
Recomendación de otros videos para comprender mejor el concepto de suma de Riemann y la aproximación de áreas bajo la curva.
Conclusión del video y llamado a la suscripción y recomendación del canal.
Mensaje final: las matemáticas son fundamentales y respaldan nuestro entendimiento.
Transcripts
hola qué tal cómo están bienvenidos a
este nuevo vídeo yo soy jesus grajeda y
en esta ocasión les voy a enseñar a
aproximar una integral usando sumas de
rima así que sin más preámbulo
comenzamos
y el ejercicio que vamos a hacer dice
evalúe la suma de rima en para f x igual
a equis cúbica menos 6x tomando como
puntos muestran los puntos extremos de
la derecha con igual a 0 b igual a 3 y n
igual a 6 los datos que nos da el
problema son tenemos que la función es x
cúbica menos 6x y te está diciendo que
va de a avn donde a vale 0 y b vale 3 te
está dando un n igual a 6 en este caso
simplemente lo que quiere decir es que
el intervalo en el que tenemos que
evaluar es de 0 a 3 y que tenemos que
hacer 6 puntos en este caso sería como
si hiciéramos 6 rectángulos para no
tener que segmentar primero la parte
teórica y después del ejercicio conforme
vaya avanzando en el ejercicio les voy a
ir diciendo la parte teórica al menos lo
que necesitan saber para poderlo
contestar para contestar el ejercicio es
necesario
la siguiente declaración la integral
desde hasta ve de una función fx de x es
igual al límite cuando n tiende a
infinito
de la sumatoria desde igual a uno hasta
n de cada uno de los fx de iu por delta
x esta definición es lo que conocemos
como la suma de rima el delta de x lo
vamos a definir de la siguiente manera
de eta de x va a ser de menos a sobre n
dado los datos del problema lo que
queremos entonces es aproximar a una
integral observe como nosotros tenemos
esta expresión o sea sabemos que la
integral desde hasta aquí nos dan aire o
sea sería de 0 a 3 de fx de x acá
tenemos a fx que es x cúbica menos 6x y
le ponemos el de x dice que eso es igual
a esta suma de arriba
en este caso como nosotros no estamos
haciéndole integral exacta no va a ser
necesario que hagamos el límite cuando n
tiende a infinito ya que nosotros
tenemos un n en este caso vale 6 es
decir nada más queremos
particiones en este caso van a ser seis
rectángulos ahorita les explico a qué me
refiero cuando digo rectángulos primero
lo que quiero es que les quede claro el
procedimiento y vamos a hacer un poquito
al revés para que después vean qué es lo
que están haciendo realmente cuando
resuelven una suma de riman
por lo tanto entonces vamos a emitir
esta parte y vamos a poner simplemente
la sumatoria desde igual a uno hasta n
pero en este caso n va a ser únicamente
hasta 6 necesitamos nada más 6 y aquí
vamos a poner al f x y entonces vamos a
poner fx y por el de eta de x que
ahorita vamos a calcular ahora vamos a
calcular a de esta de x entonces me
quedaría delta de x es igual a
desmenuzar quedamos que eran 3 y ser 13
día
3 - 0 sobre n&n vale 6
pues aquí me quedaría 36 23 sextos pues
sería simplemente 0.5 eso es lo que vale
delta de xy sé que vamos a usar acá el
delta de x lo que me dice es cada cuánto
vamos a estar evaluando a cada uno de
los x day es decir como nos dio que
directa de x será punto 5 entonces
quiere decir que yo voy a estar
evaluando al x de y cada 0.5 observer
me quedaría entonces que el x 1 va a
estar en el 0.5 mientras que el x 2
estar en punto 5.5 por ser el 1 el x3
estaría entonces en 0.50 puntos 50.5 o
sea en 1.5 recuerden van a estar
brincando cada punto 5 porque es lo que
marcó el delta de viene entonces ya
tenemos cada uno de los x de ahí que
iban a ser los valores en los cuales yo
voy a evaluar a la función y ahora lo
que vamos a hacer es evaluar a la
función en cada uno de los x de ahí es
decir vamos entonces a encontrar
efe de x 1 es decir vamos a evaluar a la
función en 0.5 quedando entonces 0.5 al
cubo 60.5 entonces vamos a ponerlo aquí
0.5 al cubo menos 6 por 0.5 y entonces
esto ya va a ser jefe de x1 y así vamos
a hacerlo con todos los demás porque eso
es lo que está viendo la fórmula me está
diciendo que es la suma desde igual a 1
o que quizás desde igual a 1 hasta 6 por
eso estamos terminando hasta el 6 de
cada uno de los fx de iu y entonces lo
único que tenemos que hacer es evaluar
cada uno de los puntos que hemos
encontrado o sea cada uno de los x de
jim aquí ya lo he hecho si observan aquí
tenemos f x 1 sería entonces
efe de punto 5 si y esto me daría menos
2.8 175 que fue meter el 0.5 en la
función ahora acá fx2 pues te iré con el
1 por eso le puse efe de 1 si yo método
el 1 aquí va a dar menos 5
con cada uno obteniendo estos valores
que tengo acá bien ya casi terminamos
ahora vamos con la parte más fácil que
es simplemente sustituir esto que
tenemos ya en la fórmula entonces nos va
a quedar que esto es igual a la suma
desde igual a uno hasta seis de cada uno
de los fx de iu por el delta x ya
sabemos que el delta x será punto 5 y ya
tenemos cada uno de los fx de iu que son
los que están acá estoy simplemente voy
a poner entonces menos 2.8 75 que fue
efe x 1 y luego siguen me las 57 bandas
de al menos cinco puntas 625 lado menos
4 revolver 0.625 y más 9 esto que
multiplica el delta xy quedamos que el
directa x
0.5 y ya nada más hacemos esta operación
y esto es lo que nos va a dar
aproximadamente esta integral al hacer
la calculadora esta operación nos
resulta menos 3.93 75 bueno aquí vamos a
cambiar este igual por un
aproximadamente igual en este caso es
aproximadamente igual lo estoy poniendo
porque es el resultado aproximado de
esta integral ya que nosotros no lo
hicimos hasta infinito si quisiéramos
que nos diera exactamente igual
tendremos que hacerlo como decía al
inicio con el límite cuando n tiende a
infinito bueno y ahora sí vamos a ver
qué es lo que acabamos de hacer porque
es que el resultado nos ha dado negativo
y qué quiere decir esto gráficamente
bien fíjense bien observen esta gráfica
que está acá en esta gráfica en gráfica
do el fx igual a equis cúbica menos 6x y
se observan tengo ahí algunos
rectángulos
estos rectángulos lo que están haciendo
es simplemente aproximar al área que se
encuentra bajo la curva pero como
nosotros tenemos una región en la que la
curva está por debajo del eje de las x
es como si las áreas fueran negativas
por eso es que nosotros tuvimos acá
algunos valores que eran negativos
observen estos de aquí eran negativos
únicamente teníamos dos positivos por
eso es que nada más hay dos rectángulos
que están por arriba y además noten que
cada uno de los rectángulos está cargado
hacia el lado derecho en cada uno de los
x de iu es decir el primer valor está en
el punto 5 o sea el valor que tiene x
ahí en esa parte del rectángulo que
sería como su altura es del punto 5 y el
siguiente hasta cuando x vale 1 y así
hasta llegar al 3 que fueron los valores
que nosotros tomamos como x d y noten
que si hubiéramos querido cargarlo hacia
el lado izquierdo entonces hubiéramos
empezado con el 0 1º 0 luego 0.5 1
1.5 y así hasta llegar hasta el 2.5
porque sería el rectángulo que estaría
cargado del lado izquierdo y no del
derecho como lo hicimos en esta ocasión
evidentemente si nosotros cargamos hacia
el lado izquierdo o hacia el lado
derecho a los valores entonces el valor
aproximado del integral va a cambiar
esto es porque realmente nosotros
estamos únicamente dando una
aproximación al aplicar a la suma de
riman de esta manera es decir nada más
dándole pocos valores para n
como les decía hace rato si nosotros lo
que queremos es que nos dé un valor
exacto de la bajo la curva nosotros
tenemos que hacer para cuando n tiende a
infinito es decir como si fueran
infinitos rectángulos para que puedan ir
entendiendo bien este tema y les quede
más claro este vídeo entonces los invito
a que vean estos dos vídeos en estos dos
vídeos primero yo te explico cómo se
trabaja con la notación sigma que es lo
de sumatorias y en él
cómo hacer para nosotros aproximar a un
área bajo la curva únicamente con
rectángulos pero hacerlo más manual o
sea paso a paso entonces te dejo estos
vídeos para que puedas irnos observando
y así puedas entender a la perfección el
siguiente vídeo en el siguiente vídeo
ahora si te voy a explicar cuando n
tienen infinito vivo esto ha sido todo
por hoy espero que te haya servido y que
te haya gustado si te gustó no olvides
suscribirte al canal y recomendárselo a
todos sus compañías no olvides de
activar la campanita es importante para
que te lleguen todas las notificaciones
bueno que no vemos en un siguiente vídeo
y nunca olvides que las matemáticas te
respaldan
chao
[Música]
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