Ejemplo de espacio vectorial con producto interno: Rn

Summary

El guion ofrece una introducción al concepto de espacio vectorial con producto interno, enfocándose en el espacio R^n. Se describe cómo el producto interno habitual de R^n, conocido comúnmente como el producto escalar o punto, se calcula multiplicando y sumando los componentes correspondientes de dos vectores. El script verifica las propiedades fundamentales que definen un producto interno, como la no negativdad del producto de un vector consigo mismo y la distributividad con respecto a la suma de vectores, confirmando que R^n cumple con estas propiedades, y es por tanto un espacio vectorial con producto interno.

Takeaways

• 📚 La definición de espacio vectorial con producto interno se discute en el ejemplo de R^n, que es un espacio vectorial con un producto interno particular.
• 📐 El producto interno en R^n, conocido comúnmente como producto escalar o punto, se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos vectores.
• 🔍 Se verifica si el producto escalar en R^n cumple con las propiedades de un producto interno, como ser una función que toma dos vectores y devuelve un escalar real.
• 👉 El primer vector aplicado a sí mismo en el producto interno siempre resulta en un valor no negativo, cumpliendo con la primera propiedad.
• 🚫 El producto interno de un vector consigo mismo es cero si, y solo si, el vector es nulo, lo que verifica la segunda propiedad.
• ➕ La propiedad de distributividad del producto interno se verifica, mostrando que el producto de un vector con la suma de otros vectores es igual a la suma de los productos individuales.
• 🔁 La simetría del producto interno se demuestra, donde el producto de un vector con otro es igual al producto de este último con el primero, sin considerar el conjugado complejo debido a que se trabaja con números reales.
• 🆗 La propiedad de factorización del escalar fuera del producto interno se verifica, donde un escalar multiplicando un vector puede ser extraído del producto interno.
• 🤔 Aunque no se detalla en el script, se sugiere la necesidad de verificar la propiedad de que el producto interno de un vector por un escalar y luego con otro vector es igual a la multiplicación del escalar con el producto de los dos vectores.
• 📉 El script establece que R^n, con el producto escalar como producto interno, cumple con todas las propiedades necesarias para ser considerado un espacio vectorial con producto interno.

Q & A

¿Qué es un espacio vectorial con producto interno?

Un espacio vectorial con producto interno es un espacio en el cual se define una operación bilinear, simétrica y con valores escalares que toma dos vectores y devuelve un número real, usualmente conocido como producto escalar o producto punto.

¿Por qué es importante verificar que el producto interno cumple con ciertas propiedades?

Es importante verificar las propiedades del producto interno para asegurar que cumple con las definiciones y axiomas que lo hacen un producto interno válido, permitiendo operaciones y conceptos matemáticos como la longitud de un vector y la ortogonalidad.

¿Cuál es el primer ejemplo dado en el guion de un espacio vectorial con producto interno?

El primer ejemplo dado es el espacio R^n, donde R representa el cuerpo de los números reales y n es un entero que indica la dimensión del espacio.

¿Cómo se define el producto interno habitual de R^n en el guion?

El producto interno habitual de R^n se define como la suma de los productos de las componentes correspondientes de dos vectores, es decir, el primer componente del primer vector multiplicado por el primer componente del segundo vector, y así sucesivamente para cada componente.

¿Cuál es la primera propiedad que debe cumplir el producto interno de un vector consigo mismo?

La primera propiedad es que el producto interno de un vector consigo mismo debe ser siempre mayor o igual que 0.

¿Qué implica la segunda propiedad del producto interno de un vector consigo mismo?

La segunda propiedad implica que el producto interno de un vector consigo mismo es cero si y solo si el vector es el vector nulo.

¿Cómo se verifica la tercera propiedad del producto interno en el guion?

Se verifica la tercera propiedad al demostrar que el producto interno de un vector con la suma de otros vectores es igual al producto interno del primer vector con cada uno de los otros vectores sumados individualmente.

¿Cuál es la quinta propiedad del producto interno que se verifica en el guion?

La quinta propiedad verificada es que el producto interno de un vector con otro vector es igual al producto interno del segundo vector con el primero, manteniendo el orden de los factores.

¿Cómo se verifica la sexta propiedad del producto interno en el guion?

La sexta propiedad se verifica al demostrar que el producto interno de un vector con un escalar multiplicado por otro vector es igual a escalar multiplicado por el producto interno de los dos vectores originales.

¿Qué se demuestra con la séptima propiedad del producto interno?

La séptima propiedad demuestra que si se toma un escalar y se multiplica un vector en la segunda posición, se puede extraer el escalar del producto interno, pero tomando su conjugado complejo, lo cual en el caso de R^n no es necesario ya que estamos en el cuerpo de los reales.

Outlines

00:00

📚 Introducción al Espacio Vectorial con Producto Interno

El primer párrafo introduce el concepto de espacio vectorial con producto interno, tomando como ejemplo el espacio R^n. Se describe cómo el producto interno habitual de R^n, también conocido como producto escalar o punto, es definido a través de la multiplicación y suma de los componentes correspondientes de dos vectores. Además, se establece que este producto interno debe cumplir con ciertas propiedades para ser válido, como ser una función que toma dos vectores y devuelve un escalar real.

05:04

🔍 Verificación de las Propiedades del Producto Interno

Este párrafo se enfoca en verificar si el producto escalar de R^n cumple con las propiedades necesarias para ser considerado un producto interno. Se discuten las propiedades de no negatividad del producto de un vector consigo mismo, la condición de cero para el vector nulo, y la distributividad del producto interno con respecto a la suma de vectores. Se utiliza un vector w y un escalar alfa para demostrar que la suma de productos internos es igual a la suma de los productos internos individuales.

10:04

📐 Comprobación de la Simetría y Linealidad del Producto Interno

El tercer párrafo continúa con la verificación de las propiedades del producto interno, incluyendo la simetría del producto interno (propiedad 5) y la linealidad del producto interno con respecto a la multiplicación por un escalar (propiedad 6 y 7). Se muestra que el producto interno de un vector con otro es igual al producto interno del segundo con el primero, y que el producto interno es compatible con la multiplicación de un vector por un escalar, así como con el cambio de orden de los factores dentro del producto interno.

15:05

🎯 Conclusión sobre la Validez del Producto Interno en R^n

El último párrafo concluye que R^n es un espacio vectorial con producto interno, ya que se ha demostrado que el producto escalar satisface todas las propiedades requeridas. Se resalta que el producto escalar que se ha utilizado para la demostración es el más común y usual en R^n, y se sugiere que los espectadores ya estarían familiarizados con él, posiblemente por experiencias previas en R^2 o R^3.

Keywords

💡Espacio vectorial

Un espacio vectorial, también conocido como espacio lineal, es una estructura matemática que consiste en un conjunto de elementos llamados vectores, que se pueden sumar y escalar multiplicar por números de un cuerpo de escalares. En el video, el espacio vectorial se refiere a RN, el espacio de números reales n-dimensionales, que es el contexto en el que se define el producto interno.

💡Producto interno

El producto interno es una operación que toma dos vectores y produce un escalar. Es fundamental en la geometría y la algebra lineal, y en el video se utiliza para definir la 'dot product' o 'producto punto' en RN, que es una forma de medir la cantidad de un vector en la dirección de otro.

💡Producto escalar

El producto escalar es una forma específica de producto interno que se utiliza en física y matemáticas para calcular la proyección de un vector sobre otro. En el script, el profesor muestra cómo se calcula el producto escalar en RN, que es el producto interno habitual de este espacio.

💡Componentes de un vector

Los componentes de un vector son los números que definen su dirección y magnitud en un sistema de coordenadas. En el video, los componentes son los números que se multiplican y suman para calcular el producto interno de dos vectores en RN.

💡Vector nulo

El vector nulo es un vector cuyo todos los componentes son cero. En el contexto del video, se menciona que el producto interno de cualquier vector con él mismo es cero si y solo si el vector es el vector nulo, lo cual es una propiedad importante del producto interno.

💡Propiedades del producto interno

El video discute varias propiedades que debe cumplir el producto interno para ser válido, como ser no negativo para un vector con sí mismo, ser cero si y solo si el vector es nulo, ser distributivo, simétrico con respecto a sus argumentos, y lineal con respecto a un escalar alfa.

💡Escalar

Un escalar es un número que no tiene dirección, a diferencia de un vector que tiene dirección y magnitud. En el video, los escalares son los números reales que se multiplican por los componentes de los vectores para calcular el producto interno.

💡Distributividad

La propiedad de distributividad se refiere a la capacidad de una operación para ser aplicada a la suma de dos operandos de tal manera que se puede descomponer en la suma de las aplicaciones de la operación a cada operando individualmente. En el video, se verifica que el producto interno es distributivo con respecto a la suma de vectores.

💡Simetría

La simetría en el contexto del producto interno se refiere a la igualdad del producto interno de dos vectores independientemente del orden en que se apliquen. El script ilustra que el producto interno de un vector con otro es igual al de este último con el primero.

💡Linealidad

La linealidad es una propiedad que permite factorizar un escalar fuera de una suma o producto. En el video, se demuestra que el producto interno es lineal con respecto a un escalar, lo que significa que se puede factorizar el escalar fuera del producto interno de un vector con otro.

💡Conjugado complejo

El conjugado complejo de un número complejo es el número complejo que tiene el mismo módulo pero con signo opuesto en las partes imaginaria y real. Aunque no se utiliza directamente en el video, ya que se trabaja con números reales, se menciona como parte de la propiedad del producto interno en contextos más generales.

Highlights

Definición de espacio interior con producto interno como un primer ejemplo.

Rn es un espacio de tutorial con producto interno.

Producto interno usual de Rn es el producto escalar o producto punto.

Explicación del producto escalar en R^n como la suma de productos de componentes correspondientes.

Verificación de que el producto escalar cumple con las propiedades de un producto interno.

La función producto interno toma dos vectores y devuelve un escalar real.

La primera propiedad verificada es que el producto de un vector consigo mismo es mayor o igual que 0.

La segunda propiedad verificada es que el producto de un vector consigo mismo es cero si y solo si el vector es nulo.

La tercera propiedad verificada es la distributividad del producto interno sobre la suma de vectores.

La quinta propiedad verificada es la simetría del producto interno.

La sexta propiedad verificada es la linealidad del producto interno con respecto a un escalar.

La séptima propiedad verificada es la linealidad del producto interno con respecto a un escalar, considerando el conjugado complejo, que en Rn es trivial.

Rn se confirma como un espacio vectorial con producto interno, cumpliendo con todas las propiedades necesarias.

Importancia del producto escalar en Rn como el producto interno habitual.

La demostración detallada de las propiedades del producto interno en Rn es crucial para entender sus aplicaciones.

El producto interno permite medir ángulos y longitudes en espacios vectoriales.

La verificación de las propiedades del producto interno es un proceso educativo para comprender mejor los conceptos matemáticos.

Transcripts

ahora que ya tenemos la definición de

espacio interior con producto interno

les propongo a modo de un primer ejemplo

ver que rn es un espacio de tutorial con

producto interno y en particular el

producto interno que les quiero mostrar

hoy si bien no es el único que podemos

definir en rn más adelante que sabe a

nosotros es sí el que se toma como

producto interno habitual o usual de red

y de hecho ya lo conocerán seguramente

porque se trata del producto escalar o

producto punto que muy posiblemente

hayan calculado en r2 r3 así que

recordemos un poco cómo era esa función

supongamos que tenemos dos vectores de

rn llamemos

el rector de componentes 123 etcétera

hasta su pene y un vector v de

componentes ocurre sub 11 sub 23 el

centro hasta v sub

el producto escalar siquiera vamos a

llamar producto interno habitual de rn

se define de la siguiente forma producto

interno habitual de con v

se trata de multiplicar primera

componente de 1

con la primera componente de v

y sumarle el producto de las segundas

componentes según

dv que multiplica la segunda componente

de v y así sucesivamente le sumamos el

producto de la tercera componente del

primer vector con la tercera componente

del segundo vector y así hasta llegar a

un sub n que multiplica

n si este es el producto el producto

escalar o el producto interno habitual

de r

multiplicado componente componente y

suma de esos productos

así que yo les digo entonces que esta

función es el producto interno habitual

de rn pero vamos a probar si vamos a

verificar que efectivamente es un

producto interno

y eso lo vamos a hacer lentamente

recordando la definición que habíamos

dado y verificar que cumpla con todo lo

que nos decía esa definición y lo

primero que tendríamos que hacer es

observar que efectivamente sea una

función que nos toma dos elementos de

nuestro espacio vectorial en este caso

es crm y nos devuelve un escalar que

puede ser real o complejo pero en este

caso que estamos en el cuerpo de los

reales este deberá ser una escala real y

efectivamente esta es una función que

nos toma dos vectores de rn y nos

devuelve una escalar real si esta suma

de productos nos da una escala real de

ahí que se llamaba le solemos llamar

producto escalar

pues toma dos vectores en esta la red

así que

digo esto porque si supongamos que nos

da una función y nos preguntan si es un

producto interno quizás nos veamos

tentados a intentar verificar las

propiedades cuando quizá es obvio que

esa función no es un producto interno

supongamos que tenemos una función que

nos toma dos vectores y nos devuelve

otro vector ya había priori podríamos

decir que esta función no puede ser un

producto interno y supongamos también

que en lugar de tomar los dos vectores

nos toma solo un vector y me vuelve un

escalar por ejemplo o nos toma tres

vectores o cuatro etcétera ya a priori

podemos decir bueno esta función no

puede ser el producto interno de ningún

espacio de material y no tenemos que

empezar a verificar propiedades ni nada

por el estilo así que bien

no es observado esto si empezamos a

verificar los propiedades y para eso voy

a necesitar un tercer vector

llamémosle www3 etcétera hasta w sube y

un escalar alfa que pertenece a los

reales y una escala real

así que empecemos primera propiedad la

primera propiedad nos decía que el

producto interno de un vector consigo

mismo debía ser siempre mayor o igual

que 0

el juve pudo haber elegido otro

importante que sea de un vector

funciones y ahora queremos ver que esta

función si es si le aplicamos esta

función a un vector consigo mismo que

efectivamente resulte que siempre sea

mayor luego etc así que veamos cómo nos

quedaría si le aplicamos esta función a

un vector canciones sería el primer

componente del primer vector teníamos un

1 o la primer componente del segundo

vector también sería hoy sub una

revisión el mismo vector y eso pasaría

este

con todos los términos sería v sube 2

que multiplicados 23 multiplica

3 y así sucesivamente hasta u s n que

multiplica a eso

esto lo podemos escribir como v es un 1

al cuadrado más v sub 22 al cuadrado más

v sub 3 al cuadrado y así sucesivamente

hasta v sub n al cuadrado

así que veamos algo tenemos aquí

escalares reales que están elevados al

cuadrado

estamos una re n así que estás

componentes este son son números reales

son escalares reales así que

tenemos

escaleras reales y llevados al cuadrado

con lo que cada uno de estos términos no

podrá ser negativo

de forma que tenemos una suma de

términos que no pueden ser negativos así

que esto nos dará algo mayor o igual que

0

así que verificamos la primera propiedad

y también de aquí podemos sacar esta

desigualdad podemos sacar la segunda

propiedad la segunda nos decía que el

producto interno de un vector consigo

mismo sólo podría ser cero cuando se

tratara del vector nulo si producto

interno si lo mismo es cero si y sólo si

el vector es el vector nulo

y eso lo podemos ver aquí la única forma

de que esta suma de términos que no

pueden ser negativos sea cero es que

cada uno de estos términos sea cero y

eso sólo puede pasar si cada componente

de lector v/s es decir si el vector v es

el vector nulo de rn así que ya tenemos

verificada en realidad 1 y la 2

hagamos espacio y seguimos

vamos ahora con la propiedad número 3 la

cual nos decía que el producto interno

de por ejemplo un vector o con una suma

de vectores en este caso hubo más w era

igual al producto interno de o con v

más producto interno veo con doble

así que vamos a ver ahora si aplicándole

nuestra función la que dijimos que era

el fruto interno habitual de rn

aplicando a este par de vectores y vamos

a ver cómo nos queda y si cumple esta

propiedad así que sería primer

componente de o seríamos 1 que

multiplica a la primer componente en el

segundo vector que en este caso nuestro

segundo vector es una suma de vectores

así que nos quedaría v 1 + w sub

a esto le sumamos

el producto de las segundas componentes

que sería un sus dos que multiplica

dos más w 2 y así sucesivamente hasta

tener un sub n que multiplica a v sub n

más w sub x

bien ahora vamos a hacer distributiva

quedaría uno que multiplica a uno más

uno que multiplica aw11 más usados que

multiplica a un mes o dos más absurdos

que multiplica a en w

zurdos y así

sucesivamente hasta un sub n que

multiplica

n más uso n que multiplica a w sub

y ahora vamos a ordenar un poco estos

términos vamos a agrupar por ejemplo lo

que tiene componente de vtv que sería

este término este término y hasta llegar

a este término lo que nos quedaría por

ejemplo

uno que multiplicado es uno más un suv

dos multiplicado de sus dos y así hasta

llegar a uso n que multiplica a hueso

y ahora le sumamos si los términos que

nos quedan los que tienen componentes de

eeuu y de w que serían este este y así

hasta llegar a su m que multiplica w su

n

uno a uno más

2

y así hasta llegar a uso n que

multiplica a w

efe

y ahora veamos que la suma que tenemos

dentro de este paréntesis es

precisamente el producto interno de v

con v y esta suma es precisamente

producto interno de o con doble

así que esto lo podemos escribir como

interno de un color más producto interno

de eeuu con w

y es precisamente lo que queríamos

verificar

y nos decía que bueno es similar pero

ahora la suma de vectores la teníamos en

la primera posición por ejemplo y más v

producto interno con doble y nos decía

que esto debía ser igual al producto

inter dv con w más producto interno de v

con doble

y en el procedimiento para verificar

esta propiedad es análoga a la anterior

así que no vale la pena hacerlo de nuevo

y simplemente voy a dar como verificar

bien vamos con las 5 entonces

vamos con la propiedad 5 que nos decía

que el producto interno de un vector con

un vector v era igual a producto interno

de un sector v con el vector 1 es decir

conjuntada pero tomándonos el conjugado

complejo en este caso como estamos en en

rn si estamos en el cuerpo de los reales

esta barra de con jugadora la vamos a

obviar sí ya que el conjugado un número

real es ese propio número real

así que vamos a verificar esto entonces

tenemos un producto interno de un mentor

un conductor v ya lo vimos era un 1 x 1

2 x 2 más sus 3 multiplicas obesos 3

etcétera hasta un sub n que multiplica a

v su gente

bien que tenemos tenemos productos de

escalares reales podemos contar si

podemos cambiar el orden de estos

factores y podemos escribir obesos uno

que multiplica a uno más

v sube dos y multiplica a dos zurdos más

en v sub 3 que multiplica a un sub tres

y así hasta v psuv n que multiplica a un

súper es y esto así expresado es

exactamente producto interno de v

así que propiedad número 5 verifica

vamos con las seis las seis nos decían

en que por ejemplo si teníamos un

escalar alfa que habíamos definido al

principio este un alza que es un real

multiplicando el lector de la primera

posición por ejemplo un producto interno

con v podríamos sacar este alfa es que

escalar para fuera del producto interno

igual a alfa que multiplica el producto

interno de o con

efe

vamos a ver si esto se cumple

sería de la siguiente forma si el primer

componente del primero héctor sería alfa

por un sub 1 que multiplica la primera

componente del segundo rector lo

multiplicamos hace unos componentes

sería falso por 2 que multiplicados b

sub 2 así sucesivamente sería alfa 13

que multiplica a un 3 etc

hasta alfa que multiplica a un sub n iv

a v

este alfa ahora lo podemos sacar de

factor común y escribir alfa que

multiplica

111 más un sub 21 sub 20 hasta un sub n

que multiplica a eso

n

en esta suma que tenemos dentro del

paréntesis es producto interno de bo con

v así que podemos escribir como alfa que

multiplica al producto interno de un

cono y eso éste con eso estamos

verificando la propiedad en número 6

vamos con la número 7 que nos decía

en que si teníamos el escalar alfa

multiplicando al vector que se

encontraba en la segunda posición por

ejemplo producto interno de v con alfa

que estaba multiplicando a v

podríamos también sacar el escalar para

afuera pero tomándonos el con jugador

complejo sí es decir nos quedaría el

conjugado de alfa que multiplica al

producto interno de o con

efe

como ya dijimos estamos en el cuerpo de

los números reales así que esta barra de

conjugado podemos obviarla y bueno el

proceso el procedimiento para verificar

estas propiedades perfectamente análogo

a ai que hicimos este anteriormente así

que no vale la pena volver a hacerlo y

le voy a dar como verificada

en bien con esto entonces verificamos

que rn es un espacio electoral con

proyecto interno ya que pudimos allí

encontrar al menos una función que que

es un producto interno sí que cumple con

la definición del producto interno así

que podemos decir que rm es un espacio

editorial con producto interno y que en

particular esa función

que estábamos en el plantilla que era el

producto escalar que ya conocíamos

y efectivamente un producto interno de r