Integración por partes ejemplo 2 | Cálculo integral - Vitual

Summary

En este video, se aborda el método de integración por partes para resolver la integral de x^3 * e^x. Se explica paso a paso cómo aplicar la fórmula de integración por partes, identificando las funciones u y dv según el método ILATE. Se derivan y se integran las funciones necesarias para resolver la integral, y luego se aplica nuevamente el método de integración por partes para simplificar el resultado. El proceso se detalla cuidadosamente, mostrando cómo obtener el resultado final, que incluye una constante de integración. Todo esto se presenta de manera clara para facilitar el aprendizaje del tema.

Takeaways

• 😀 La integral propuesta es de una función algebraica multiplicada por una exponencial, es decir, x³ * e^x.
• 😀 Para resolver la integral, se utiliza la fórmula de integración por partes: ∫u * dv = u * v - ∫v * du.
• 😀 El método I.L.A.T.E. ayuda a decidir qué función será 'u' y cuál será 'dv' en la integración por partes: Inversas, Logaritmos, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales.
• 😀 Según el método I.L.A.T.E., x³ es una función algebraica, por lo que se asigna a 'u', mientras que e^x es exponencial y se asigna a 'dv'.
• 😀 La derivada de x³ es 3x², y la integral de e^x es simplemente e^x.
• 😀 Se aplica la regla de la derivada de una potencia, y se encuentra que du = 3x² dx.
• 😀 Después de realizar los cálculos iniciales, la integral se reescribe en una forma que permite aplicar la fórmula de integración por partes.
• 😀 La integral resultante se resuelve de nuevo por partes, ya que aparece otra integral de la forma x * e^x.
• 😀 En la segunda aplicación de la fórmula, se asigna a 'u' el término x y a 'dv' e^x dx, lo que facilita su resolución.
• 😀 Al final, se simplifican las integrales resultantes, y se llega al resultado final: x³ * e^x - 2x * e^x + 2e^x + C, donde C es la constante de integración.

Q & A

¿Qué método se utiliza para resolver la integral presentada en el video?

Se utiliza el método de integración por partes, basado en la fórmula: ∫u * dv = u * v - ∫v * du.

¿Qué significa la fórmula de integración por partes?

La fórmula de integración por partes establece que la integral de un producto de dos funciones puede descomponerse en el producto de una función por su integral menos la integral de la derivada de la otra función multiplicada por la integral de la primera.

¿Qué significa el acrónimo 'ILATE' y cómo se aplica en este proceso?

El acrónimo 'ILATE' ayuda a identificar el orden de las funciones que deben ser asignadas a u y dv: I (Inversas), L (Logarítmicas), A (Algebraicas), T (Trigonométricas), E (Exponenciales). En este caso, la función x^3 es algebraica y se asigna a u, mientras que e^x es exponencial y se asigna a dv.

¿Cómo se encuentra la derivada de u, que en este caso es x^3?

La derivada de x^3 se calcula aplicando la regla de la potencia: d(x^3)/dx = 3x^2.

¿Qué pasa cuando se resuelve la integral de e^x?

La integral de e^x es una integral directa y su resultado es simplemente e^x.

¿Qué ocurre después de encontrar u, dv, du, y v en la fórmula de integración por partes?

Una vez encontrados u, dv, du y v, se sustituye en la fórmula de integración por partes para obtener la integral descompuesta, la cual involucra una nueva integral que se resuelve nuevamente por partes.

¿Qué papel juega la constante 'c' al final del proceso de integración?

La constante 'c' representa la constante de integración, que siempre se agrega al final de cualquier integral indefinida para reflejar que existen infinitas soluciones posibles a la integral.

¿Cómo se resuelve la segunda integral, que involucra e^x * x?

La segunda integral se resuelve de nuevo mediante integración por partes, asignando u = x y dv = e^x dx, y luego aplicando la fórmula de integración por partes una vez más.

¿Cuál es el resultado final de la integral en el video?

El resultado final de la integral es x^3 * e^x - 2 * x * e^x + 2 * e^x + c.

¿Qué importancia tiene entender el orden de las funciones en el método ILATE?

El orden de las funciones en ILATE es importante porque asegura que se elija la función más sencilla para derivar (u) y la más fácil de integrar (dv), lo que facilita la resolución del problema de integración por partes.