Ejemplos sobre derivadas de funciones sencillas. Cálculo Diferencial
Summary
TLDREn este video se presentan ejemplos de derivadas de funciones matemáticas sencillas. Se comienza explicando la derivada de la función 8 - x^3, utilizando las reglas de derivadas de funciones constantes y de funciones x^n. A continuación, se derivan funciones como 4x^8 + x^3 - x, 2x^5 + 7x^2 y una función h que depende de r, pero que no contiene la variable r, resultando en una derivada nula. Finalmente, se muestra cómo derivar funciones con exponentes negativos, como hdr, utilizando las leyes de los exponentes y simplificando al final. El video enfatiza la importancia de entender la variable con respecto a la cual se está derivando y de simplificar al máximo las respuestas.
Takeaways
- 😀 La derivada de una función constante es igual a 0.
- 📚 La derivada de una función de la forma x^n es n*x^(n-1).
- 🔍 Al simplificar algebraicamente, se mantiene el signo negativo del término anterior.
- 🎯 Al derivar funciones, es importante reconocer la variable con respecto a la cual se está derivando.
- 👀 Se debe tener cuidado con los exponentes, incluso si no se escriben explícitamente.
- 📝 Al aplicar el teorema de derivación de funciones potencias, se debe recordar que todo número a la 0 es igual a 1.
- 🤔 La constante multiplicativa en una función se mantiene sin cambios durante la derivación.
- 📉 Si una función no depende de la variable de derivación, su derivada es cero.
- 🔢 Es recomendable simplificar algebraicamente la derivada hasta obtener la forma más simple posible.
- 📚 La derivación de funciones con exponentes negativos sigue las mismas reglas que con exponentes positivos, pero requiere de una transformación al final.
- 😃 Al final de la derivación, se puede volver a escribir los exponentes negativos como fracciones para una presentación más clara.
Q & A
¿Qué función matemática se derivó al principio del video?
-La función matemática derivada al principio del video es 8 - x^3, que es la resta entre la función constante 8 y la función x al cubo.
¿Cuál es la derivada de una función constante según el video?
-Según el video, la derivada de una función constante es igual a 0.
¿Cómo se calcula la derivada de x^n según lo explicado en el video?
-La derivada de x^n se calcula como n * x^(n-1), según el teorema de derivadas de funciones sencillas.
¿Cuál es la derivada de la función 8 - x^3 según el video?
-La derivada de la función 8 - x^3 es -3x^2, siguiendo el proceso algebraico y las reglas de derivación.
¿Qué función se derivó después de la función 8 - x^3 en el video?
-Después de la función 8 - x^3, se derivó la función 4x^8 + x^3 - x.
¿Cómo se maneja el término constante '4' en la derivación de 4x^8 según el video?
-El término constante '4' prevalece y se mantiene igual al derivar la función 4x^8, ya que es una constante multiplicando a una función de x.
¿Cuál es la derivada de x^8 según lo que se explicó en el video?
-La derivada de x^8 es 8x^7, siguiendo el patrón de derivación de x^n donde n es el exponente.
¿Qué significa el término 'x a la 1 - 1' en el proceso de derivación mostrado en el video?
-El término 'x a la 1 - 1' se refiere a la simplificación de x^n cuando se aplica la regla de derivación, resultando en x^(n-1).
¿Por qué la derivada de la función h que depende de r, 5x^3 + 2x^4 - 9, es cero según el video?
-La derivada de la función h que depende de r es cero porque en la función original no hay ninguna variable r involucrada, lo que hace que todos los términos se consideren constantes.
¿Cómo se maneja el término 2x^5 en la derivación de la función 2x^5 + 7x^2 según el video?
-El término 2x^5 se derivaría como 10x^4, manteniendo el coeficiente 2 como una constante y aplicando la regla de derivación de x^n.
¿Cuál es la derivada de la función hdr que contiene exponentes negativos según el video?
-La derivada de la función hdr con exponentes negativos se calcula aplicando las mismas reglas de derivación, resultando en 2/r^3 - 3/r.
¿Cómo se simplifica la derivada de la función hdr con exponentes negativos al final del video?
-Se simplifica reemplazando los exponentes negativos por su equivalente en términos de fracciones, como 1/r^2 y 1/r^3, para obtener una respuesta más clara y entendible.
Outlines
📚 Derivadas de Funciones Sencillas
En este primer párrafo se discute el proceso de calcular derivadas de funciones matemáticas básicas. Se comienza con la función 8 - x^3, utilizando las reglas de derivadas para constantes y funciones de la forma x^n. Se simplifica para obtener la derivada -3x^2. Luego, se derivan funciones más complejas como 4x^8 + x^3 - x, y se destaca la importancia de recordar que el exponente en x^n está implícito, lo que puede causar confusión. Se resalta la necesidad de simplificar al final para obtener la derivada correcta. El párrafo termina con una mención de la importancia de anotar los pasos para una comprensión más profunda y una transición hacia la derivación mental con práctica.
🔍 Consideraciones sobre las Variables en las Derivadas
Este segundo párrafo se enfoca en las consideraciones importantes al derivar funciones con respecto a una variable específica. Se menciona un ejemplo de una función h que aparentemente depende de r pero no contiene la variable r, lo que hace que todos los términos sean constantes y la derivada sea cero. Se enfatiza la importancia de verificar la variable en la que se está derivando. Posteriormente, se presenta la derivación de una función hdr que incluye exponentes negativos, y se aplica el mismo teorema visto anteriormente para derivar funciones de la forma x^n. Se muestra cómo manejar los exponentes negativos y se recomienda siempre simplificar al final, incluso cuando se trata de exponentes negativos, para obtener una respuesta más clara y presentable.
Mindmap
Keywords
💡derivadas
💡funciones sencillas
💡teoremas de derivación
💡función constante
💡potencia de variable
💡algebraic simplificación
💡variable independiente
💡expuestos negativos
💡teorema de derivación de funciones compuestas
💡función h(r)
Highlights
Se muestra cómo encontrar la derivada de la función 8 - x^3.
Se aplica el teorema de la derivada de una función constante, que es igual a 0.
Se utiliza el teorema de la derivada de una función x^n, siendo n un número entero.
Se simplifica algebraicamente para encontrar la derivada de la función inicial.
Se destaca la importancia de recordar los signos al simplificar.
Se derivan funciones más complejas como 4x^8 + x^3 - x.
Se aplica el teorema de la derivada de una función expresada como 'se por efe'.
Se resalta la confusión común con términos sencillos de derivar y su exponente implícito.
Se explica cómo derivar x^n con n como exponente implícito.
Se menciona la simplificación de términos como x^0, que es igual a 1.
Se derivan funciones con términos constantes y variables elevadas a números enteros.
Se enfatiza la importancia de anotar pasos de aplicación de teoremas en resoluciones sencillas.
Se aborda la derivación de funciones que dependen de variables distintas a la derivada.
Se señala la necesidad de verificar la variable con respecto a la cual se está derivando.
Se derivan funciones con exponentes negativos, aplicando el mismo teorema visto anteriormente.
Se muestra cómo manejar términos con exponentes negativos en la derivada.
Se simplifica algebraicamente la derivada de términos con exponentes negativos.
Se concluye con la derivada de la función hdr, que involucra exponentes negativos.
Se resalta la importancia de simplificar algebraicamente las derivadas hasta el máximo.
Se da una moraleja sobre la atención a la variable con respecto a la cual se está derivando.
Se espera que el material haya sido de provecho y se desean ver a los espectadores pronto.
Transcripts
o las matemáticas sencillas aquí en este
vídeo mostraré ejemplos sobre derivadas
de funciones sencillas así que iniciaré
con encontrar la derivada de la función
8 - x a la 3 es decir la resta entre la
función constante 8 y la función del
tipo x al aire y recordando los teoremas
previamente vistos sobre derivadas de
funciones sencillas particularmente la
derivada de una función constante que es
igual a 0 y la derivada de una función x
a la n que es n por x a la n 1 tenemos
lo siguiente
la derivada de 80 y la derivada de la
función x a la 3 estrés x al cuadrado
así que simplificando algebraica mente
podemos concluir que la derivada de
nuestra función inicial f
es menos 3x al cuadrado
se puede observar que el segundo término
sigue prevaleciendo el signo negativo la
resolución de esta función sencilla es
una buena manera de iniciar así que
procederemos a poner aquí una carita
feliz
nuestra segunda función que vamos a
derivar es la siguiente 4x a la 8 más x
a la 3 - x
y recordando el teorema que trata sobre
la derivada de una función expresada
como se por efe en donde se es una
constante tenemos lo siguiente
como se puede observar en el primer
término de la función original
convenientemente la expresamos como 4
por equis a la 8 y aplicando nuestro
teorema el 4 prevalece y nos enfocamos a
derivar el x a la 8
aquí su derivada de x a la 3 es muy
sencilla 3x al cuadrado y aquí sucede un
caso muy particular a pesar de que es un
término muy sencillo de derivar muchas
personas se confunden porque aquí no ven
un exponente aunque sabemos que
matemáticamente ahí está presente el
exponente
así que aplicando el teorema sencillo de
x a la n nos queda de la siguiente
manera x a la 1 - 1
simplificando tenemos 32 x a las 73 x al
cuadrado menos x al hacer
y recordando que todo número excepto el
0 elevado a la 0 da uno puedo observar
que el último término es equivalente a 1
así que este elemento representa la
derivada final de nuestra función
original por lo que procederemos a poner
otra carita
nuestra tercera función a derivar es 2x
a las 5 más 7x al cuadrado
aquí el término que puede meter un poco
de confusión es el término dos pins sin
embargo si nos guiamos por nuestros
nuestros teoremas previamente vistos nos
podemos dar cuenta de que no sucede nada
diferente a lo ya visto por lo tanto el
2 siendo una constante lo dejamos igual
procedemos a derivar el término x a las
5 y de igual manera aquí procedemos a
derivar el término x al cuadrado
así que nuestra solución final es 10x a
la 4 + 14 x cabe mencionar que aquí como
estamos resolviendo funciones sencillas
es importante anotar todos los pasos de
la aplicación de los teoremas sin
embargo se espera que con el transcurso
del tiempo la persona que se encargue o
se vaya a dedicar a derivar de una
manera más frecuente se va a emitir
estos pasos y directamente pasará a
hacer los pasos de manera mental
así que aquí tenemos una cuarta derivada
que dice que la función h que depende de
r es 5x a la 3 + 2x a la 4 menos 9
así que si procedemos inmediatamente a
derivar con los teoremas vistos
alguna persona diría lo siguiente la
derivada es 15 x al cuadrado más 8 x a
la 3 sin embargo hay un detalle
realmente esa no es la respuesta porque
porque como se podrán observar si la
función original no depende de la
variable x aquí se dice que la función h
depende de la variable r y no hay
ninguna variable r involucrada en la
función por lo que todos estos términos
se consideran constantes a pesar de que
son variables se consideran constantes
en conclusión la derivada de esta
función es cero así que la moraleja de
este caso es hay que tener mucho cuidado
de saber con respecto a qué variable
está expresada la función h
y confirmar que realmente la derivada se
hace en relación a dicha variable
finalmente encontraremos la derivada de
la función hdr que ahora sí contiene
literales r pero que involucran
exponentes negativos y no hay ningún
problema el teorema que previamente
vimos sobre funciones x a la n también
puede ser aplicado con exponentes
negativos así que veamos
tenemos aquí nuestro teorema para que
podamos recordarlo y aplicándolo
directamente nos podemos dar cuenta de
lo siguiente el menos 2
pasa a multiplicar a la variable r y
observen que al exponente menos 2 le
restamos menos 1 así que en el siguiente
paso pueden observar que menos dos menos
uno se reagrupa como menos tres de igual
manera aquí es muy importante observar
que el signo negativo sigue
prevaleciendo y que nos enfocamos a
derivar el término 2 r a la menos 1 así
que nos queda aquí el 2 este menos 1
pasa a multiplicar al aire y al
exponente original le restamos 1 así que
simplificando algebraica mente nos queda
2 x menos 12 y el término r tiene
exponente menos 2
uno podría pensar que esa ya es el
resultado de la derivada sin embargo
siempre se recomienda simplificar
algebraica mente lo más posible
así que simplificando tenemos lo
siguiente el primer término que da tal
cual esta multiplicación menos x menos
por la ley de los signos nos da más y
siempre es recomendable que si existen
exponentes negativos en la respuesta de
una derivada hay que volverlo a
exponentes positivos como aplicando las
leyes de los exponentes por lo que si
recordamos que todo elemento ere a la
menos 2 es equivalente a 1 entre r al
cuadrado lo podemos aplicar en nuestra
respuesta para que quede de una manera
más conveniente es decir este término
menos 2
queda igual y el término es real a menos
3 pasa el denominador como r a la 3 de
igual manera este término pasa al
denominador como r al cuadrado y
finalmente podemos poner nuestra carita
feliz para denotar que hemos concluido
correctamente con la derivada de la
función hdr
esperando que este material haya sido de
provecho para ti nos vemos pronto para
otra demostración de matemáticas
sencillas
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