¿Por qué DEBES APRENDER OPTIMIZACIÓN de FUNCIONES? 🚀 ▶ FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN con DERIVADAS 🚀⌚

Summary

Este video explora la optimización a través de las derivadas, una herramienta fundamental en matemáticas para resolver problemas complejos. Se explica cómo las derivadas ayudan a encontrar los máximos y mínimos de funciones, esenciales para tareas como el diseño de estructuras, planificación de rutas eficientes y maximización de beneficios empresariales. A través de ejemplos ilustrativos, se demuestra cómo las derivadas y la segunda derivada pueden determinar la concavidad y los puntos críticos, proporcionando una visión completa de la optimización en diversas áreas.

Takeaways

• 🔍 La optimización es una herramienta matemática utilizada para encontrar el mejor resultado posible en una situación dada, ya sea maximizando ganancias o minimizando costos.
• 📈 Las derivadas son fundamentales en la optimización, proporcionando información sobre cómo cambia una función en cada punto y ayudando a identificar máximos y mínimos.
• 📉 La pendiente de la derivada indica si una función es creciente (positiva), decreciente (negativa) o en un punto de inflexión (cero).
• 🎯 Los puntos críticos, donde la derivada es cero, son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión de una función.
• 🔄 La segunda derivada puede determinar la concavidad de una función, lo que a su vez ayuda a identificar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.
• 🏗️ En ingeniería, la optimización se aplica para diseñar estructuras como puentes o edificios de manera eficiente, minimizando materiales y maximizando resistencia.
• 💹 En el ámbito empresarial, la optimización se utiliza para maximizar beneficios, planificar rutas eficientes o minimizar riesgos financieros.
• 🌐 Las aplicaciones de la optimización son infinitas y trascienden diversos campos, desde el cálculo de Isaac Newton hasta algoritmos modernos.
• 📊 La gráfica de una función y sus derivadas pueden visualizar cambios en la pendiente y la concavidad, facilitando la identificación de máximos, mínimos y puntos de inflexión.
• 📘 La optimización es esencial para resolver problemas complejos en áreas variadas, ofreciendo soluciones eficientes y a veces clave para el éxito en proyectos.

Q & A

¿Qué es la optimización en términos simples?

La optimización trata de encontrar el mejor resultado posible en una situación determinada, ya sea maximizando una ganancia, minimizando un costo o encontrando el punto óptimo de una función.

¿Cómo ayudan las derivadas en la optimización?

Las derivadas permiten entender cómo cambia una función en cada punto, proporcionando información sobre su comportamiento local. A través de la optimización con derivadas, se pueden determinar los máximos y mínimos de una función para encontrar los puntos óptimos.

¿Cuál es la diferencia entre un máximo global y un máximo local de una función?

El máximo global es el valor más alto que alcanza una función en todo su dominio, mientras que el máximo local es el valor más alto que alcanza en un intervalo específico, pero no necesariamente en todo el dominio.

¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o un mínimo utilizando la derivada?

Si la función pasa de decreciente a creciente en un punto crítico, hay un máximo; si pasa de creciente a decreciente, hay un mínimo. Esto se debe a cómo cambia la pendiente de la función alrededor de ese punto.

¿Qué es un punto de inflexión y cómo se relaciona con la segunda derivada?

Un punto de inflexión es un punto donde cambia la concavidad de la gráfica de una función. Se relaciona con la segunda derivada porque si la segunda derivada es cero en un punto, y cambia de signo, indica un punto de inflexión.

¿Cómo se utiliza la segunda derivada para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo?

Si la segunda derivada en un punto crítico es positiva, la función es cóncava hacia arriba y hay un mínimo; si es negativa, la función es cóncava hacia abajo y hay un máximo.

¿Qué implica que la derivada en un punto sea cero para la optimización?

Que en ese punto la función no crece ni decrece, y podría ser un candidato para ser un máximo o un mínimo. Sin embargo, no garantiza la presencia de un extremo, ya que también puede ser un punto de inflexión o un punto donde la función cambia de monotonía.

¿Por qué es importante la concavidad en el estudio de funciones para la optimización?

La concavidad nos indica si una función es creciente o decreciente y cómo cambia su comportamiento en diferentes intervalos. Esto es crucial para determinar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.

¿Cómo se pueden aplicar las técnicas de optimización en la ingeniería civil?

En la ingeniería civil, la optimización se utiliza para diseñar estructuras como puentes o edificios, minimizando la cantidad de material y maximizando la resistencia y seguridad, encontrando formas y dimensiones óptimas y una distribución eficiente de cargas.

¿Cuál es la importancia de la optimización en el ámbito empresarial?

En el ámbito empresarial, la optimización se puede usar para maximizar los beneficios, reducir costos, mejorar la eficiencia operativa y tomar decisiones estratégicas basadas en modelos matemáticos que permiten predecir y maximizar resultados.

Outlines

00:00

🔍 Introducción a la Optimización con Derivadas

Este párrafo introduce el concepto de optimización en matemáticas, que busca encontrar el mejor resultado posible en una situación dada. Se menciona que las derivadas son una herramienta esencial para entender cómo varía una función y, por ende, para determinar los puntos óptimos donde ocurren máximos y mínimos. Se ilustra con ejemplos de funciones y cómo su comportamiento cambia con el valor de X, destacando la importancia de las derivadas en áreas como diseño de estructuras, planificación de rutas y maximización de beneficios empresariales.

05:02

📈 Análisis de la Derivada y Comportamiento de Funciones

En este párrafo se profundiza en el papel de la derivada para estudiar el comportamiento de funciones. Se explica que la derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, lo que indica si la función es creciente o decreciente en un punto dado. Se analizan ejemplos específicos, como funciones cuadráticas y cúbicas, para mostrar cómo la derivada ayuda a identificar puntos de máximo y mínimo. Además, se introduce la noción de máximos y mínimos globales y locales, y cómo estos se relacionan con la pendiente de la función.

10:02

🔢 Uso de la Derivada para Encontrar Máximos y Mínimos

Este párrafo se centra en el proceso de cómo usar la derivada para encontrar los puntos de máximo y mínimo de una función. Se describe el método de calcular la derivada, encontrar los puntos críticos donde la derivada es cero y luego analizar el comportamiento de la función en los intervalos alrededor de estos puntos críticos para determinar si es un máximo o un mínimo. Se ejemplifica con la función F(x) = x^3 - 3x + 2, mostrando cómo se aplican los conceptos teóricos para resolver problemas prácticos de optimización.

15:04

📊 Visualización Gráfica de Máximos y Mínimos

En este párrafo se aborda la visualización de los conceptos de máximos y mínimos a través de gráficas. Se muestra cómo la gráfica de una función y su derivada pueden ayudar a identificar visualmente los puntos de máximo y mínimo, así como a entender la creciente o decreciente de la función. Se utiliza el ejemplo de la función F(x) = x^3 - 3x + 2 para ilustrar cómo la gráfica de la derivada puede reflejar los cambios en la pendiente de la función original, y cómo esto se relaciona con la presencia de máximos y mínimos.

20:05

🔄 Aplicación de la Segunda Derivada en la Optimización

Este párrafo introduce el uso de la segunda derivada para determinar no solo los máximos y mínimos de una función, sino también los puntos de inflexión, donde cambia la concavidad de la gráfica. Se explica cómo la segunda derivada puede ser positiva o negativa, lo que indica si la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Se utiliza el ejemplo de la función F(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 2 para demostrar cómo la segunda derivada ayuda a identificar los puntos críticos y su relación con la concavidad, proporcionando información adicional para la optimización.

Keywords

💡Optimización

La optimización es el proceso de encontrar el mejor resultado posible en una situación dada. En el vídeo, se presenta como una herramienta matemática poderosa para resolver problemas complejos en diversos campos, como la maximización de ganancias o la minimización de costos. Se utiliza para determinar los puntos óptimos de una función, lo cual es fundamental en áreas como el diseño de estructuras o la planificación de rutas eficientes.

💡Derivadas

Las derivadas son una herramienta fundamental en el análisis de funciones y en la optimización. Se definen como la tasa de cambio de una función en un punto específico y son clave para entender el comportamiento local de una función. En el vídeo, se explica cómo las derivadas permiten determinar los puntos de máximo y mínimo de una función, lo que es esencial para la optimización.

💡Puntos críticos

Los puntos críticos son los valores de la variable independiente donde la derivada de una función es cero o no está definida. Estos puntos son de interés en la optimización porque pueden indicar la presencia de máximos, mínimos o puntos de inflexión. En el guion, se menciona que los puntos críticos son donde la pendiente de la función es cero, lo que puede sugerir un cambio en el comportamiento de la función.

💡Máximos y Mínimos

Los máximos y mínimos son valores extremos que puede alcanzar una función. Un máximo es el punto donde la función alcanza el valor más alto en un intervalo dado, mientras que un mínimo es donde alcanza el valor más bajo. En el vídeo, se discute cómo las derivadas pueden ayudar a identificar estos puntos para resolver problemas de optimización, como encontrar el punto óptimo para maximizar o minimizar una función dada.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el contexto del vídeo, las funciones son usadas para modelar diferentes situaciones y problemas, y se analizan sus propiedades para encontrar soluciones óptimas. Por ejemplo, la función f(x) = x^2 se utiliza para ilustrar cómo las derivadas pueden revelar información sobre su comportamiento en puntos específicos.

💡Concavidad

La concavidad de una función se refiere a la forma en que la función se curva. Una función es cóncava hacia arriba si se curva como una 'U' invertida y cóncava hacia abajo si se curva como una 'U' normal. Esto se relaciona con la segunda derivada de la función. En el vídeo, se menciona que la concavidad puede indicar si un punto crítico es un máximo o un mínimo, y también se relaciona con la presencia de puntos de inflexión.

💡Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto en la gráfica de una función donde cambia la concavidad de la función. Esto significa que si la función cambia de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa, en ese punto, se dice que es un punto de inflexión. En el vídeo, se explica que la segunda derivada puede ayudar a identificar estos puntos, que son importantes en el análisis de la función.

💡Derivada segunda

La derivada segunda, o segunda derivada, es la derivada de la primera derivada de una función. Se utiliza para determinar la concavidad de la función y para analizar la naturaleza de los puntos críticos (máximos, mínimos, inflexión). En el vídeo, se muestra cómo la segunda derivada puede proporcionar información adicional sobre la optimización de una función, complementando la información obtenida de la primera derivada.

💡Recta tangente

La recta tangente a una curva en un punto específico es la línea que toca la curva en ese punto y que tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Las derivadas se relacionan directamente con las rectas tangentes, ya que la derivada en un punto da la pendiente de la recta tangente en ese punto. En el vídeo, se utiliza el concepto de recta tangente para ilustrar cómo las derivadas describen el comportamiento local de una función.

💡Ecuación

Una ecuación es una afirmación matemática que equilibra dos expresiones a través de un signo de igualdad. En el contexto del vídeo, las ecuaciones son usadas para establecer relaciones entre variables y para resolver problemas, como encontrar los puntos críticos donde la derivada es cero. Se menciona en el guion que resolver ecuaciones, como la que se obtiene al poner la derivada igual a cero, es esencial para la optimización.

Highlights

Exploraremos una de las herramientas más poderosas de las Matemáticas: la optimización con derivadas.

La optimización busca encontrar el mejor resultado posible en una situación determinada.

Las derivadas son fundamentales para entender cómo cambia una función en cada punto.

A través de la optimización con derivadas, se pueden determinar los máximos y mínimos de una función.

Las aplicaciones de la optimización son infinitas, desde el cálculo de Isaac Newton hasta los algoritmos modernos.

La función f(x) = x^2 muestra un comportamiento decreciente y creciente en diferentes intervalos.

La función f(x) = x^3 - x + 2 muestra un cambio de creciente a decreciente y viceversa.

La función cuadrática f(x) = 4x - x^2 alcanza su máximo global en x = 2.

La función f(x) = x^2 - 3.5x - 0.4 muestra un mínimo global en x = 1.75.

Una función puede tener varios máximos y mínimos locales, además de los globales.

La derivada es esencial para estudiar el comportamiento de las funciones y sus puntos críticos.

La pendiente de la recta tangente a una función en un punto dado se calcula mediante la derivada.

La pendiente positiva en una función indica creciente, negativa indica decreciente, y nula indica posibles máximos o mínimos.

La derivada en un punto de máximo o mínimo es igual a cero.

Se pueden encontrar los puntos críticos de una función calculando la derivada y haciendo que sea cero.

Los puntos críticos son importantes para determinar los máximos y mínimos de una función.

La segunda derivada puede usarse para determinar la concavidad y, por tanto, los máximos y mínimos de una función.

Los puntos de inflexión son donde cambia la concavidad de la función y se pueden identificar con la segunda derivada.

La optimización es fundamental en ingeniería civil para diseñar estructuras eficientes.

Las derivadas son una herramienta poderosa para resolver problemas complejos en diversas áreas.

Transcripts

el día de hoy vamos a explorar una de

las herramientas más poderosas y

fascinantes de las Matemáticas y su

aplicación en la resolución de problemas

complejos en diversos campos la

optimización con derivadas

[Música]

la optimización en términos simples

tratará de encontrar el mejor resultado

posible en una situación determinada

imagina que tienes un problema y quieres

obtener la mejor solución ya sea

maximizar una ganancia minimizar un

costo o Encontrar el punto óptimo de una

función y aquí es donde las derivadas

tendrán en juego como nuestra

herramienta principal las derivadas nos

permiten comprender cómo cambia una

función en cada uno de sus puntos

proporcionando información valiosa sobre

su comportamiento local a través de la

optimización con derivadas podemos

determinar dónde ocurren los máximos y

mínimos de una función y así encontrar

los puntos óptimos para nuestros

problemas ya sea para el diseño de

estructuras la planificación de rutas

más eficientes la maximización de

beneficios empresariales o la

minimización de riesgos financieros las

aplicaciones de la optimización son

infinitas desde los cálculos Isaac

Newton hasta los algo modernos esta

poderosa herramienta ha impulsado El

Progreso en diferentes Campos durante

los siglos Pero antes de aprender a Cómo

usar la derivada para hallar los máximos

o los mínimos empecemos viendo algunos

conceptos previos tenemos a la función

FX es igual a x al cuadrado cuya gráfica

es una parábola si el valor de X es

igual a -2 la función lo relaciona con

el número 4 Pero a medida que el valor

de X aumenta podemos ver como los

valores de la función disminuyen es

decir en este intervalo la función es

decreciente por otro lado en x = 0 la

función toma su mínimo valor que también

es cero y luego a medida que el valor de

X aumenta el valor de la función también

aumenta es decir la función en este

intervalo es creciente veamos otro

ejemplo supongamos que tenemos a la

función F de X es igual a x al cubo

menos x + 2 cuya gráfica se ve de esta

manera si hacemos que x sea igual a -2

la función evaluada en -2 es igual a

cero veamos Qué sucede cuando el valor

de X Se incrementa hasta -1 podemos ver

como la función es creciente cuando el

valor de X va desde -1 hasta el valor de

1 la función es decreciente y finalmente

cuando el valor de X Es mayor que 1 la

función es creciente nuevamente

veamos esta función cuadrática cuya

regla de correspondencia es FX

= 4x menos x al cuadrado cuya gráfica es

la siguiente parábola cuando x es igual

a -0.2 la función evaluada en -0.2 es

igual a -0.84 si hacemos que el valor de

X se incremente vemos que el valor de la

función también se va incrementando

cuando x es igual a 2 La evaluada en ese

punto es 4 y luego a medida que el valor

de X se sigue incrementando vemos como

el valor de la función comienza a

decrecer podemos darnos cuenta en la

Gráfica que para el valor de X igual a 2

la función tomó un máximo valor a este

valor máximo que alcanzó la función lo

llamaremos el máximo global de la

función y por otro lado tenemos a la

función F de X es igual a x al cuadrado

menos 3.5 por x menos 0.4 cuya gráfica

es la siguiente parábola si x es igual a

-0.5 la función evaluada en -0.5 es

igual a 1.6 podemos ver que a medida que

el valor de X Se incrementa hasta el

valor de 1.75 la función es decreciente

y para valores mayores a 1.75 la función

empieza a crecer sin embargo al observar

la Gráfica podemos que esta función toma

su valor mínimo cuando x es igual a 1.75

y este valor mínimo que alcanza la

función se conocerá como el mínimo

global de la función pero una función

puede tener varios máximos y mínimos

veamos el siguiente caso aquí tenemos a

la función F de X es igual a 3x elevada

4 menos 16 x al cubo más 18 veces x al

cuadrado si graficamos esta función en

el intervalo que va desde -0.8 hasta 3.8

obtenemos la siguiente gráfica si

evaluamos la función en -0.8 obtenemos

20.94 ahora veamos Qué sucede con el

valor de la función cuando variamos el

valor de X si nos damos cuenta la

función toma el máximo valor posible

cuando x es igual a menos 0.8 a este

preguntó lo llamaremos el máximo global

de la función por otro lado cuando el

valor de X es igual a 3 la función toma

el valor de -27 que es el valor mínimo

de toda la función a este punto lo

llamaremos el mínimo global el máximo

global y el mínimo global son únicos y

representan el mayor y menor valor

posible que toma una función por otro

lado tendremos los máximos y mínimos

relativos por ejemplo cuando x es igual

a 3.8 la función toma el valor de 7.51 y

diremos que este punto representa un

máximo local ya que para un cierto

intervalo este valor representa un valor

máximo pero relativo a ese intervalo

cuando x es igual a 1 la función toma el

valor de 5 y este punto también

representará un máximo local y

finalmente cuando x es igual la función

toma el valor de 0 y este punto

representa un mínimo local tal como

podemos ver aquí en la animación y ahora

veamos la importancia de la derivada en

el estudio de funciones para ello

analicemos a la función FX es igual a x

al cuadrado cuya gráfica es una parábola

al evaluar la función en x igual a -2

obtenemos 4 al tomar la derivada usando

las reglas de derivación que vimos

anteriormente obtenemos otra función

llamada F prima de x y que es igual a

dos veces x recordemos que la derivada

es otra función que nos dará el valor de

la pendiente de la recta tangente a la

curva de nuestra función original es

decir podemos Trazar la recta tangente a

la curva en x igual a -2 y la derivada

nos dará el valor de la pendiente en

este punto que para este caso la

pendiente en el punto x es igual a menos

2 es igual a menos

muy bien veamos ahora cuál es el

comportamiento de la pendiente a medida

que el valor de X Se incrementa podemos

ver que cuando la función es decreciente

su pendiente siempre es negativa en x

igual a cero la función no crece ni

decrece Y en este punto la pendiente es

igual a cero y cuando la función es

creciente podemos ver que la pendiente

siempre es positiva veamos ahora el caso

de la función F de X es igual a x al

cubo menos 3x + 2 cuya gráfica se

muestra en la animación de manera

similar al caso anterior analicemos su

comportamiento mediante el estudio de su

derivada al tomar la derivada para esta

función usando las reglas de derivación

que ya conocemos obtenemos que F prima

de X es igual a 3x al cuadrado menos 3

al calcular la pendiente de la recta

tangente a la curva de la función F

cuando x es igual a -2 obten que la

pendiente es igual a 9 como la pendiente

es positiva esto significa que la

función en este punto es creciente lo

cual podemos comprobar rápidamente si

observamos su gráfica a medida que el

valor de X Se incrementa hasta antes de

llegar al valor de X igual a -1 vemos

que la función es creciente y que esto

se ve reflejado en que su pendiente

siempre es positiva cuando x es igual a

-1 la función no crece ni decrece Y en

este punto su pendiente es igual a cero

cuando x Es mayor que -1 pero menor que

uno vemos que la función es decreciente

y que esto también se refleja en su

pendiente que siempre es negativa cuando

x es igual a 1 la función no crece ni

decrece Y en este punto su pendiente

nuevamente es igual a cero y finalmente

para valores de X mayores a 1 la función

es creciente nuevamente y su pendiente

siempre positiva además hay algo súper

importante con respecto a la derivada Y

es que para los valores de X donde

existe un máximo o mínimo la derivada en

ese punto es igual a cero por ejemplo en

x igual a 1 tenemos un mínimo y la

pendiente en este punto es igual a cero

y en x igual a menos 1 tenemos un máximo

Y en este punto la derivada o la

pendiente también es igual a cero y como

hemos visto la derivada nos aporta

información sobre el comportamiento de

una función y podemos resumirlo de la

siguiente manera si la pendiente es

positiva significa que la función es

creciente si la pendiente es negativa

significa que la función es decreciente

Y si la pendiente es nula significa que

podría haber máximos o mínimos O sea que

si la derivada es cero esto no te

garantiza que exista Sí o sí máximos o

mínimos pero veamos esto en más detalle

y ahora que ya tenemos tomemos en cuenta

los conceptos vistos anteriormente

veamos Cómo utilizar la derivada para

encontrar los máximos y mínimos de una

función bien supongamos que quiero

hallar los máximos o mínimos de la

función FX es igual x al cubo menos 3x +

2 cuya gráfica se muestra en la

animación como podemos observar en la

Gráfica tenemos la presencia de un

máximo y un mínimo local La idea es

encontrar estos puntos utilizando la

derivada como hemos visto en los máximos

o mínimos la pendiente es igual a cero

por lo tanto lo primero que tenemos que

hacer será calcular la derivada de la

función F para ello utilizamos las

reglas de derivación que ya conocemos y

obtenemos que F prima de X es igual a 3x

al cuadrado menos 3 bien recordemos que

la derivada es otra función que nos da

el valor de la pendiente de la recta

tangente a la curva de la función F de x

y una vez que hemos calculado la

derivada de la función tenemos que

encontrar los valores de X para los

cuales la pendiente es igual a cero Ya

que en estos puntos es donde se

encontraban los máximos o mínimos por lo

tanto tenemos que hacer que F prima de X

sea igual a cero es decir 3x al cuadrado

menos 3 debe ser igual a cero al

resolver esta ecuación obtendremos los

valores de X para los cuales la

pendiente es 0 para resolver esta

ecuación sumamos 3 ambos miembros de la

igualdad y obtenemos que 3x al cuadrado

es igual a 3 luego dividimos por 3 ambos

miembros y obtenemos que x al cuadrado

es igual a 1 al resolver esta ecuación

obtenemos dos soluciones que son +1 y -1

llamemos a la primera solución x sub 1

es igual a -1 y la segunda solución x

sub 2 es igual a 1 estos valores serán

conocidos Como

puntos críticos y serán importantes para

poder hallar los máximos o mínimos de

una función y estos puntos críticos

representan los valores de X para el

cual la pendiente es igual a cero muy

bien lo siguiente que haremos será

ubicar estos puntos críticos en una

recta numérica que representará a los

valores de X luego estudiaremos cómo es

la derivada en cada uno de los tres

intervalos que se han formado de momento

sabemos que en los puntos críticos la

pendiente es igual a cero es decir en

este punto la función no crece ni

decrece y en estos puntos tenemos la

presencia de máximos o mínimos Pero cómo

hacemos para saber cuándo es su máximo o

cuándo es un mínimo y para ello

analicemos si la función es creciente o

decreciente en el primer intervalo para

ello lo único que haremos será evaluar

la derivada de la función en cualquier

valor de X que pertenezca a este

intervalo por ejemplo si evaluamos la

cuando x es igual a menos 2 obtendremos

que la pendiente es igual a 9 que es un

valor positivo lo que a su vez nos

indica que la función es creciente en

este intervalo luego cuando x es igual a

-1 la función no crece ni decrece ahora

analicemos en el segundo intervalo para

ello elegimos un valor cualquiera de X

en este intervalo por ejemplo que x sea

igual a cero la pendiente en x es igual

a cero es igual a menos 3 que es un

valor negativo esto significa que la

función en este intervalo es decreciente

luego cuando x es igual a 1 la función

no crece ni decrece y finalmente veamos

Qué sucede en el tercer intervalo para

ello elegimos un valor de X por ejemplo

que x sea igual a 2 al evaluar la

pendiente en x igual a 2 obtenemos que

la pendiente es 9 o sea la pendiente es

positiva esto a su vez nos indica que en

este intervalo es creciente otra vez muy

bien en resumen tenemos los dos puntos

críticos que son los dos valores de X

donde la pendiente es cero y luego hemos

analizado En qué intervalos las

funciones creciente o decreciente ahora

cómo utilizamos esta información para

saber cuándo es máximo y cuando es

mínimo pues es muy fácil Por ejemplo si

la función pasa decreciente a

decreciente quiere decir que tenemos un

máximo Y si la función pasa de ser

decreciente a ser creciente Entonces

tenemos un mínimo por lo tanto en x

igual a menos 1 tenemos un máximo y en x

igual a 1 tenemos un mínimo bien Ahora

podemos Hallar las coordenadas de estos

puntos donde tenemos máximo y mínimo

empecemos analizando para el máximo

sabemos que x es igual a -1 reemplazando

este valor en la función original

obtenemos que

de -1 es igual a 4 por lo tanto en la

coordenada -1,4 tenemos el máximo de la

función para hallar la coordenada del

punto mínimo evaluamos la función en x

igual a 1 que es igual a cero por lo

tanto tenemos el punto mínimo de la

función en la coordenada 1,0 de esta

manera es como la derivada es bastante

Útil para poder encontrar los máximos y

mínimos de una función y ahora veamos

todo de manera gráfica para ello primero

graficamos a la función F de X es igual

x al cubo menos 3x + 2 y también

grafiquemos a su derivada es decir a la

función F prima de X que es igual a 3x

al cuadrado menos 3 cuya gráfica es la

parábola de color naranja si hacemos

variar el valor de X podemos ver como

cuando x es igual a menos 1 la derivada

es cero y cuando x es igual a 1

nuevamente la derivada es igual en ese

punto es decir gráficamente podemos ver

que para los valores de X donde la

derivada es cero tenemos un máximo o

mínimo tal como vemos aquí en la

animación pero dijimos que si la

derivada es igual a cero Eso no siempre

te asegura que tengas un máximo o mínimo

veamos un ejemplo interesante tenemos a

la función F de X = X al cubo para la

cual vamos a buscar si tiene máximos o

mínimos para ello primero calculamos la

derivada de esta función que es igual a

f prima de X es igual a 3x al cuadrado

luego cuando había máximo o mínimo se

cumplía que en esos puntos la derivada

era igual a cero es decir F prima de X

debe ser igual a cero por lo tanto

tenemos que hacer que 3x al cuadrado sea

igual a cero al resolver esta ecuación

obtenemos que x es igual a cero que

sería nuestro único punto crítico ahora

ubicamos este punto crítico en esta

recta que representa al eje x y se

formarán dos intervalos lo que tenemos

que hacer ahora es analizar si la

función es creciente o decreciente en

cada uno de estos dos intervalos

empecemos analizando para el primer

intervalo elegimos un valor cualquiera

de X por ejemplo que x sea igual a -1 y

hallamos la pendiente en ese punto que

es igual a 3 que es un valor positivo y

que nos indica que la función en este

intervalo es creciente luego analizamos

el segundo intervalo para ello elegimos

un valor de X cualquiera por ejemplo que

x sea igual a 1 entonces la pendiente en

este punto es igual a 3 que nuevamente

es un valor positivo y nos indica que la

función en este intervalo también es

creciente bien si nos damos cuenta este

caso es diferente por qué a pesar de

tener un punto crítico en x = 0 la

función es creciente en el primer

intervalo y sigue siendo creciente en el

segundo también y esto nos quiere decir

que en x igual a cero la función no

posee máximo ni mínimo Y sí si

realizamos la Gráfica de la función FX

es igual x al cubo podemos ver

claramente como la función siempre es

creciente y cuando x es igual a cero la

función no crece ni decrece y para

valores mayores que cero la función

continúa siendo creciente como hemos

visto gráficamente en x es igual a cero

la función no posee máximo ni mínimo por

lo tanto que la derivada sea igual a

cero no es una condición suficiente para

que exista máximo mínimo por lo tanto

debemos tener cuidado con Cómo

utilizamos la derivada para hallar los

máximos o mínimos y veamos otro caso

interesante por ejemplo tenemos a la

función FX es igual a menos valor

absoluto de x - 4 + 4 cuya gráfica se ve

de esta manera si trazamos la tangente a

la curva de la función podemos ver

la pendiente No está definida cuando x

es igual a 4 ya que la derivada de esta

función F prima de X será igual a 1

cuando x sea menor que 4 y la pendiente

será igual a -1 cuando x es mayor a

menos 4 pero en x es igual a 4 no se

puede Definir la derivada Y en este

punto también vemos que existe un máximo

absoluto por lo tanto cuando se tiene

máximo o mínimo en una función la

derivada de esta función en esos puntos

es igual a cero pero también por otro

lado se puede tener máximo mínimo en los

puntos donde la derivada no está

definida tal como hemos visto en este

ejemplo de manera general Tendremos que

analizar en cada caso y teniendo cuidado

siempre con estos pequeños detalles pero

qué hay de la segunda derivada se puede

utilizar también para encontrar máximos

o mínimos supongamos que tenemos la

función FX es igual a x a la cuarta

Entre cuatro menos dos x encuentre 3

menos x al cuadrado entre 2 + 2 veces x

cuya gráfica se ve de la siguiente

manera si derivamos la función obtenemos

la función F prima de X que es igual a x

al cubo menos 2x al cuadrado menos x + 2

y cuya gráfica podemos ver aquí con

ayuda de la primera derivada podemos

encontrar los máximos y mínimos de la

función F Ya que en los puntos donde la

primera derivada se hace cero es donde

encontraremos los máximos o mínimos

locales de la función para este caso

podemos ver que la derivada se anula

cuando x es igual a -1 en x igual a 1 y

cuando x es igual a 2 y estos valores

son los puntos críticos de nuestra

función ahora derivamos nuevamente para

obtener la segunda derivada que será

igual a f2 prima de X es igual a tres

veces x al cuadrado menos 4x - 1 cuya

gráfica es una parábola como vemos aquí

en la muy bien la idea será relacionar

la segunda derivada con la función

original por lo tanto vamos a quitar la

Gráfica de la primera derivada si

observamos ambas gráficas podemos notar

algo muy interesante si hacemos que la

segunda derivada sea igual a cero

obtenemos dos puntos que al evaluarlos

en la función original nos darán los

llamados puntos de inflexión los cuales

Son puntos donde la concavidad de la

función cambia y estos puntos de

inflexión han formado tres intervalos

veamos Qué sucede en cada uno de los

intervalos por ejemplo en el primer

intervalo diremos que la función es

cóncava hacia arriba y esto sucede

cuando la segunda derivada es positiva

en todo este intervalo en el segundo

intervalo la función es cóncava hacia

abajo y esto sucede cuando la segunda

derivada es negativa en todo este

intervalo y finalmente en el tercer

intervalo la función es cóncava hacia

arriba nuevamente y como vemos la

segunda derivada es positiva en este

intervalo lo interesante es que podemos

relacionar los máximos o mínimos de la

función con la segunda derivada y la

concavidad veamos por qué sabemos que

los puntos críticos están en x igual a

-1 en x igual a 1 y en x igual a 2 si

evaluamos la segunda derivada en el

punto crítico x = -1 Esta es positiva lo

que nos indica que la función es cóncava

hacia arriba y por lo tanto tenemos la

presencia de un mínimo en ese punto

crítico si evaluamos la segunda derivada

en el punto crítico x igual a 1

obtenemos que es negativa por lo tanto

en este intervalo la función es cóncava

hacia abajo y tenemos la presencia de un

máximo y finalmente si evaluamos la

segunda derivada en el punto crítico x

es igual a 2 obtenemos que es positiva

por lo tanto la función es cóncava hacia

arriba En este intervalo y tenemos la

presencia de un mínimo como hemos visto

la segunda derivada también Es una

herramienta Útil para poder encontrar

máximos y mínimos Pero además la segunda

derivada nos dio la información sobre

los puntos de inflexión que son los

puntos donde la concavidad de la Gráfica

cambia y esto a su vez nos lleva a

encontrar máximos o mínimos solamente

analizando Cómo es la concavidad en cada

uno de los intervalos y en resumen las

derivadas son una herramienta poderosa

que nos permite encontrar máximos o

mínimos de funciones lo cual es

fundamental para la optimización en

ingeniería civil por ejemplo la

optimización se utiliza para diseñar

estructuras como puentes o edificios

minimizando la cantidad de material a

utilizar y maximizando la resistencia y

la seguridad se pueden encontrar formas

óptimas dimensiones adecuadas y

distribución de cargas para poder lograr

resultados eficientes en el ámbito

empresarial podemos utilizar la

optimización para maximizar los

beneficios En definitiva las

aplicaciones del optimización son muy

variadas y muy importantes en diversas

áreas permitiéndonos resolver problemas

complejos y brindándonos soluciones muy

eficientes Muchas gracias por tu

atención y nos vemos en el próximo video

[Música]