Chapter 7 逆行列, 階数, 零空間 | 線形代数のエッセンス
Summary
TLDRこのビデオスクリプトでは、線形代数の重要な概念を視覚的な視点から紹介しています。行列とベクトルの操作を通じて、一次変換を視覚的に捉える方法を解説し、逆行列や列空間、零空間などの概念を視覚化します。実際の計算方法については触れずに、直感的な理解を深めることを目的としています。線形方程式系を解くことの重要性と、その幾何学的な解釈を通じて、解が存在する条件やその性質を説明しています。また、行列式がゼロの場合における変換の性質と、その影響を解説しています。最終的には、線形代数の直感を養い、今後の学習に役立てることができる情報を提供しています。
Takeaways
- 📚 このシリーズは行列とベクトルの操作を視覚的な視点から捉え、一次変換を視覚化することに重きを置いている。
- 🔍 逆行列や列空間、零空間などの概念を視覚的に表現する予定であり、実際の計算方法については触れない。
- 🛠️ 線形代数が重要なのは、様々な技術的領域で方程式系を解くことができるから。
- 🧩 変数がいくつかある方程式系は、行列とベクトルを使って整理され、一次変換として捉えることができる。
- 🔑 行列式が非ゼロであれば、方程式系には唯一の解が存在する。これは空間が低次元に潰れないことを意味する。
- 🔄 逆行列は、変換を逆再生するもので、元の場所に戻す役割を果たす。
- 🔢 行列の掛け算は、複数の変換を順番に適用するのと等しい。
- 📉 行列式が0である場合、空間はより低次元に潰され、逆行列は存在しない。
- 📐 列空間は、行列の列の線形結合の集合であり、変換後の次元を表す。
- 🟢 フルランクの行列は、空間を低次元に潰さず、原点に向かう唯一のベクトルは0ベクトルのみ。
- 🟡 行列式が0の場合でも、特定の条件を満たすと解が存在する可能性がある。
Q & A
このシリーズの目的は何ですか?
-このシリーズは行列とベクトルの操作を一次変換のより視覚的な視点から捉えることに重きを置いています。
逆行列とは何ですか?
-逆行列とは、ある行列に対して行う変換を元に戻すために使用される行列です。
行列式がゼロの場合、どのようなことが言えますか?
-行列式がゼロの場合、その行列に対応する変換は空間をより低次元に潰してしまうため、逆行列はありません。
線形方程式系を解くことの重要性は何ですか?
-線形方程式系を解くことは、様々な技術的領域で必要とされる主な理由は方程式系を解くことができるからです。
行列とベクトルを使って方程式系をどのように表現するのか教えてください。
-行列とベクトルを使って、方程式系を1つのベクトル方程式にまとめることができます。係数を含む行列と変数を含むベクトル、そして定数を含む別のベクトルがあります。
行列式が非ゼロの場合、どのようなことが言えますか?
-行列式が非ゼロの場合、空間が面積が0の領域に潰されないため、変換でVまで動くベクトルが必ずただ一つ存在します。
線形代数が役立つ分野にはどのようなものがありますか?
-線形代数はCGやロボット工学など、空間の操作を表現する分野で役立ちます。
一次変換とは何ですか?
-一次変換とは、変数を含む空間を別の形状または次元に変形する操作です。
列空間とは何を意味していますか?
-列空間とは、行列の列ベクトルの線形結合の集合であり、変換後の全ての可能な出力を表します。
ゼロ空間とは何ですか?
-ゼロ空間とは、原点に向かうすべてのベクトルの空間であり、線形方程式系の全ての解が含まれます。
フルランク行列とは何ですか?
-フルランク行列とは、列空間の次元が列の数に等しいとき、つまり最大回数を持つ行列です。
非正法行列について何を学ぶ予定ですか?
-シリーズの次回では非正法行列について短くお話しする予定です。
Outlines
📚 線形代数の幾何学的解釈
この段落では線形代数の幾何学的側面が解説されています。ビデオは行列とベクトルの操作を通じて一次変換を視覚的に捉えることを目的としていますが、実際の計算方法については触れません。代わりに、ガウスの消去法や行階梯形などの単語を調べることを促します。線形代数がCGやロボット工学などで重要な理由は、様々な技術的分野で方程式系を解くことができるからです。特に、変数が定数倍され相関する単純な形の方程式系は線形方程式形と呼ばれ、行列とベクトルを使って表現できます。また、行列Aが持つ一次変換とその逆行列(Aの逆)についても説明されており、逆行列は変換を元に戻す役割を果たします。
🔍 行列式と逆行列の関係性
この段落では、行列式が非ゼロのときとゼロのときの方程式系の解決方法について説明されています。行列式が非ゼロであれば、方程式系には唯一の解が存在し、逆行列を使ってその解を見つけることができます。逆行列を使って解く方程式は、幾何学的には変換を逆再生することで解を追跡するものと同等です。しかし、行列式がゼロの場合には、変換が空間を低次元に圧縮してしまうため、逆行列は存在しません。その代わり、列空間の概念を使って解が存在するかどうかを判断し、0空間(角空間)の概念を使って解の集合を理解することができます。また、行列のランクや列空間の次元数に基づいて、変換後の空間の次元を決定することができます。
🎓 線形方程式系の幾何学的理解と応用
最後の段落では、線形方程式系を幾何学的な観点から理解し、その応用について話されています。方程式系は、ある種の一次変換を持ち、その逆変換が存在する場合に解くことができます。逆変換が存在しない場合、列空間の考え方で解が存在するかどうかを判断し、0空間が全ての解の集合を教えてくれると説明されています。また、ビデオでは線形代数を学ぶ際の直感の重要性と、実際に計算する方法についてはシリーズの後半で触れる旨を示しており、今後の学習に役立つ直感を得るためのシリーズの目的も述べられています。最後に、チャンネル登録や評価、Twitterでの更新情報へのチェックを呼びかけています。
Mindmap
Keywords
💡行列
💡ベクトル
💡一次変換
💡逆行列
💡行列式
💡列空間
💡零空間
💡方程式系
💡線形代数
💡ガウスの消去法
Highlights
このシリーズは行列とベクトルの操作を一次変換の視点から捉えることに重きを置いている。
逆行列、列空間、零空間という概念を視覚的に表現する。
実際の計算方法については話さず、直感的な理解を提供する。
線形代数がCGやロボット工学などで空間操作に役立つと説明。
方程式系を解くことが線形代数が広く応用される理由として挙げられる。
変数が定数倍され足されているだけの特別な形の方程式系を紹介。
方程式をベクトル方程式にまとめる方法を説明。
行列Aが一次変換に対応し、AX=Vを解くことの幾何学的な意味を解説。
2つの方程式と2つの変数を持つ場合の解釈とその幾何学的解釈。
行列式が0と非ゼロの場合での方程式の解の存在について説明。
逆行列(Aの逆)の存在とその幾何学的意味を解説。
逆行列が存在する場合の方程式の解法を説明。
行列式が0の場合、方程式系に対応する変換が空間を低次元に潰すこととその意味。
行列の列空間とその定義、重要性について解説。
行列のランクとその意味、フルランク行列の特徴について説明。
0空間(零空間)の概念と線形方程式系におけるその意味を解説。
線形方程式系の一次変換とその逆変換の幾何学的解釈。
シリーズの次回の内容として非正法行列と内積、一次変換の説明予定を告知。
Transcripts
[音楽]
[拍手]
ここまでの内容からお分かりかもしれませ
んがこのシリーズは行列とベクトルの操作
を一次変換のより視覚的な視点から捉える
ことに重きを置いていますこの動画も例に
漏れず逆行列
列空間回数0空間という概念をそうした
視点から表現していきたいと思います
ただし先に断っておきますがこれらを実際
に計算する方法についてはお話しません
結構重要なのではと思われる方も
いらっしゃるとは思いますこうした計算
方法についてこのシリーズと別で学習の役
に立つ資料はたくさんありますガウスの
消去法や行階段系といった単語を調べてみ
てくださいこのシリーズで加えられるべき
価値というのは直感的な部分だと思います
それに実際のところソフトウェアがこれを
計算してくれますからね
さてまず線形代数がどう役に立つのかお
話ししたいと思いますすでに皆さんは空間
の操作を表現するのにCGやロボット工学
において線形代数が役立つとお分かりだと
思いますしかし線形代数がより広くどんな
技術的領域にも応用される主な理由はある
種の方程式系を解けるからなんです
方程式系というのは変数がいくつかあって
それらを結びつける方程式もまたいくつか
あるような時ですねこうした方程式が
とても複雑になってしまうことももちろん
ありますが運がいいと特別な形になること
もあります
それぞれの方程式について変数は定数倍さ
れて足されているだけになっています
[音楽]
累乗とか豪華な関数とか変数同士の掛け算
みたいなものはありません
こうした方程式系はこんな感じに綺麗に
並べられます左側にすべての変数を書いて
右側に残りの定数を置きますまた同じ変数
が縦に揃っているといいですから変数が
方程式に現れない時は係数に0を書いて
おくとこれができますね
これは線形方程式形と呼ばれますなんだか
行列とベクトルの席のように見えたという
方いらっしゃいませんか実際これらの方程
式全てを一つのベクトル方程式にまとめる
ことができます
係数全てを含む行列と変数全てを含む
ベクトルがあってその席が別の定数の
ベクトルになっているようなものです
ここではこの行列をAと呼んで変数の
ベクトルをx
右側の定数のベクトルをVとしましょう
これは単に方程式形を1行にまとめるため
の小技というだけではないんですねこの
問題を幾何学的な視点から見るきっかけに
なってくれます行列Aはある一次変換に
対応していますなのでAX=Vを解くこと
はあるベクトルで変換の後部位になるよう
なXを探しているということになります
[音楽]
どういうことかちょっと考えてみましょう
複数の変数がごちゃ混ぜになっている複雑
な概念が空間を変形させてどのベクトルが
別のベクトルに動くか考えるだけで理解
できるわけですすごいですよね簡単な
ところから始めましょう2つの方程式と2
つの変数からなるKがあるとしましょう
行列は2×2行列でVとXはどちらも二
次元ベクトルです
さてこの方程式の解についてどう考えるか
これはAに対応する変換が空間全体を直線
や点のようにより低次元に潰してしまうか
二次元の広がりのままにするかによります
前回の動画の言葉を使うとAの行列式が0
であるときとそうでない非ゼロであるとき
で場合分けするんですね
よくある場合から始めましょう行列式が非
ゼロでつまり空間が面積が0の領域に潰さ
れない場合ですこの場合変換でVまで動く
ベクトルが必ずただ一つ存在しますこれは
変換を逆再生して部位がどこへ行くか見る
ことで見つけられますAX=Vとなるよう
なベクトルXが見つかりますね
[音楽]
変換を逆再生するとこれは別の変換に対応
していてAインバースや逆変換と呼ばれる
ものになりますAの-1乗のように表記し
ます例えばAが反時計回りに90度の回転
だったらAインバースは時計回りに90度
の回転になります
[音楽]
もしAがJハットを右に1だけずらす先端
ならその逆変換はJハットを左に1だけ
ずらす先端になります
一般にAインバースは次の性質を持つ固有
の変化ですまず変換Aをしそれから逆変換
Aインバースを適用すると
元の場所に戻ってきますある変換の後に別
の変換をすることは行列の掛け算として
代数的に捉えられましたよねこのA
インバースの核心となる性質はつまりA
インバースかけるAが何もしないことに
対応する行列に等しくなるということです
何もしない変換は
口頭変換と呼ばれますハイハットとJ
ハットを元の場所から動かさないのでその
列は10と01となります
この逆行列が見つかれば実際のところ
コンピュータで計算すれば部位をこの逆
行列で掛け算することでこの方程式を解く
ことができます
[音楽]
おさらいですが
幾何学的には変換を逆再生して部位を追っ
ているだけですね
[音楽]
この行列式が非ゼロである場合ランダムな
行列の選び方については圧倒的に多い
ケースですがこれは2つの変数と方程式が
あればほとんど確実に唯一の固有の会が
あるということに対応しています
この考え方はより高次元でも成り立ちます
変数と方程式の数が等しい場合ですね同様
に方程式系は幾何学的に解釈することが
できますねAという変換があって
それとVというベクトルがあって
Vに行くベクトルXを探しています
変換Aが空間全体を低次元に潰さない限り
つまり行列式が0でない限り逆変換があり
ます
まずAの変換をしてそれからAインバース
をすると何もしないのと同じことになり
ます
方程式を解くためにはベクトルVにその逆
行列を掛け算すればいいんです
[音楽]
ねしかし行列式が0である場合この方程式
径に対応する変換は空間をより低次元に
潰してしまいます
インバースはありません直線を広げて平面
にすることはできません少なくとも関数の
できることではありませんこの場合
それぞれのベクトルをたくさんのベクトル
に変換することになりますが関数は1つの
入力に1つしか出力を対応させることが
できません同様に3つの変数と3つの方程
式でも変換が3次元空間を平面にあるいは
直線や点につぶしてしまうとき逆行列は
ありませんこれらはすべて行列式が0に
なります
任意の領域が体積0に潰されますからね
[音楽]
インバースがなくても回が存在することは
ありますただ例えば変換が空間を直線に
潰すとき運良くベクトルVがその直線上に
ないといけません
[音楽]
もしかしたら行列式が0の場合でも他の
場合より制限されているような場合がある
と感じているかもしれません例えば3×3
行列の場合空間が平面に潰される時より
直線に潰された時の方が
貝が存在するのが難しいように見えます
行列
式が0というよりもうちょっと詳しい言い
方があります変換の結果が直線つまり1
次元になる時回数が1であると言います
全てのベクトルがある二次元平面に
行き着くなら回数は2であると言います
なので回数は変換後の次元ともいうことが
できます
例えば2×2行列の場合
頑張っても回数は2までですねつまり
基底ベクトルが二次元の広がりを保った
ままで行列式がゼロでないということです
一方で3×3行列の場合回数が2だと回数
1ほどまでではないけど潰れたということ
になります
もし3次元の変化の行列式が0でなくその
結果が3次元空間全体を満たすなら回数は
3です行列についてこのような全ての出力
それが直線でも平面でも3次元空間でも
集めた集合をその行列の列空間と言います
名前の通り
列ベクトルの線形結合の集合ですね行列の
列は規定ベクトルの移動先ですからこの
スパンが全ての可能な出力になりますよね
[音楽]
言い換えると行列の列空間は
列のスパンです
[音楽]
なのでより厳密な回数の定義は
列空間の次元ということになります
この回数が可能な範囲で最大であるとき
つまり列の数に等しいときその行列はフル
ランクだとか最大回数
充足回数を持つと言いますさて原点0
ベクトルは常に列空間に含まれます一次
変換では原点は固定されますから
[音楽]
フルランクの変換について
原点に移される唯一のベクトルは0
ベクトル自身です一方フルランクでない
行列
低次元に潰すような変化については
原点に向かうたくさんのベクトルが得られ
ます
2次元の変換が平面を直線に潰すときこれ
と異なる方向に直線があってこれらの
たくさんのベクトルが限定に移されます
3次元の変換が空間を平面に押しつぶす
ときも
減点に向かうベクトルの直線が存在します
ね
[音楽]
もし3次元の変換が空間を直線にして
しまうなら
原点に向かうベクトルの平面があります
この
原点に移されるベクトルの集合を行列の0
空間あるいは角空間と言います
原点つまり0ベクトルに移されるすべての
ベクトルの空間ですね
線形方程式系ではVが0ベクトルのとき
0空間は方程式の全ての解になります
[音楽]
さてここまで線形方程式系のとてもハイ
レベルな幾何学的な見方をしてきました
それぞれの系がある種の一次変換を持って
いてその変換に逆変換インバースがある
ときこれを使って解くことができます
逆変換がない場合そもそもいつ貝が存在
するのかは列空間の考え方でわかります
そして0空間は全ての解の集合がどんな見
た目か教えてくれますね
繰り返しになりますがここで扱っていない
内容もあります特にこれらをどう計算する
かですまた例として方程式の数と変数の数
が一致する場合に限りましたしかしここで
のゴールは全ての事柄を教えることでは
ありません皆さんが逆行列や列空間
ゼロ空間といったものについて強力な直感
を得て今後の学習に役立つようにすること
が目的ですシリーズの次回では
非正法行列について短くお話しします
その後は内積や一次変換でこれを見た時
起こる面白いことについてお話しします
それではまたチャンネル登録と高評価を
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