Razón de cambio - Problema 1

Summary

该视频脚本介绍了如何通过微分计算立方体体积随边长变化的速度。首先，通过公式V = a³（立方体的体积等于边长的立方）建立起体积与边长之间的关系。然后，通过对体积公式对时间进行求导，得出体积的变化率。给定边长增长速率为2厘米每秒，当边长为5厘米时，计算得出体积变化的速率为150立方厘米每秒。这个过程展示了导数在实际问题中的应用，特别是如何处理涉及相关速率的问题。

Takeaways

• 😀 立方体的体积与其边长的关系是通过公式 V = a³ 来表示的。
• 😀 题目给出了边长以每秒2厘米的速度增长，即 d(a)/dt = 2 cm/s。
• 😀 我们需要找出当边长为5厘米时，立方体体积的变化速度，即 d(V)/dt。
• 😀 对体积公式 V = a³ 求导，得到 d(V)/dt = 3a² * d(a)/dt。
• 😀 使用已知值 a = 5 cm 和 d(a)/dt = 2 cm/s，代入公式中进行计算。
• 😀 计算过程：d(V)/dt = 3 * (5²) * 2 = 150 cm³/s。
• 😀 结果表明，当边长为5厘米时，立方体体积的变化速度是150立方厘米每秒。
• 😀 这个问题属于相关速率问题，涉及到链式法则的应用。
• 😀 单位在整个计算中需要保持一致，体积单位是立方厘米，时间单位是秒。
• 😀 通过求解该问题，进一步了解了如何通过微分来解决实际问题。
• 😀 此类问题展示了微积分在物理和几何中的重要应用，尤其是在描述变化速度时。

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