SA20: Work-Energy Principle (Part 2)

Dr. Structure

25 Mar 201516:08

Summary

TLDR本视频脚本介绍了如何使用功和能量原理计算梁和框架的挠度。首先，讲解了功和能量原理的基本概念，并通过简单的例子说明了外部功和内部能量的关系。然后，通过推导计算方法，详细分析了如何求解梁在集中载荷下的内能，并进一步讨论了框架的内能计算。视频最后指出了功和能量原理在实际应用中的局限性，并为更通用的能量法提供了基础。

Takeaways

😀 工作能量原理表示外部载荷所做的功等于结构内部能量的变化。
😀 在梁受集中载荷作用时，外部功可以表示为 1/12 P * Δ，其中 Δ 是载荷下的垂直位移。
😀 通过将梁划分为小元素，并计算每个元素的内弯矩，可以推导出梁的总内能。
😀 内部能量的公式为：1/2 M * dθ，其中 M 是弯矩，dθ 是因弯矩造成的微小变形。
😀 为了求解总内能，我们通过积分来对所有小元素的能量进行求和。
😀 弯矩 M 和变形角 dθ 之间的关系可以通过几何公式来推导，得出 DX = r * dθ。
😀 梁的内能表达式可以通过换算 M 和 r 的关系（M * r = E * I）来进一步简化。
😀 对于简单支撑梁，假设 E 和 I 恒定，可以推导出与位移 Δ 相关的能量表达式。
😀 在框架结构中，通过分析每个构件的内力（轴向力、弯矩、剪力），可以计算出每个构件的内能。
😀 工作能量原理只能用于计算载荷方向上的位移，且不能处理多个未知的位移问题。
😀 尽管工作能量原理在实际应用中有一定局限，但它为更通用的能量法提供了基础。

Q & A

什么是做功-能量原理？
-做功-能量原理指出，外部施加的功等于结构内部能量的变化。假设没有负载的结构储存的能量为零，可以通过该原理计算结构的变形。
如何使用做功-能量原理来计算梁的挠度？
-首先，外部功等于施加载荷所造成的垂直位移（Δ），即1/12 P * Δ。内部能量是通过积分得到的，即总内能等于1/2 * 积分(M * dθ)，其中M是梁的弯矩，dθ是角变形。
做功-能量原理如何应用于框架结构？
-对于框架结构，外部功的表达式与梁相似，即1/12 P * Δ。然后，通过分析框架的各个构件，计算每个构件的内部能量。
如何确定梁内部的能量表达式？
-梁的内部能量通过将梁划分为小段并计算每段内的弯矩和变形来求得。每个小段的内能可表示为1/2 M * dθ，并通过积分求出总内能。
DX和dθ之间有什么关系？
-通过几何学关系，弯矩M所产生的变形可以用弧长来表示，DX就是弯曲段的长度，dθ是相应的角度。根据几何关系，DX = R * dθ，其中R是弯曲半径，M与R成反比。
为什么R与弯矩M成反比？
-因为M * R = E * I，其中E是材料的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。随着弯矩M的增加，弯曲半径R减少，反之亦然。
如何通过做功-能量原理来计算梁的挠度？
-将外部功与内部能量相等，并结合弯矩和梁的变形表达式，可以推导出梁的挠度Δ。计算时假设EI为常数。
如何计算框架结构的内部能量？
-框架结构的内部能量需要先通过平衡方程计算各个构件的内力，然后根据内力计算每个构件的内部能量。对于每个构件，能量由轴力、弯矩和剪力等多个因素决定。
为什么剪力变形通常可以忽略？
-在梁的分析中，剪力引起的变形通常远小于弯矩引起的变形，因此在计算内部能量时，可以忽略剪力变形。
做功-能量原理的应用有哪些局限性？
-做功-能量原理只能用于计算在施加集中载荷方向上的变形。当其他载荷作用时，做功-能量原理无法直接计算相关的位移。此外，如果存在多个未知量，不能仅通过一个方程解决。