Matdis 06 : Relasi&Fungsi (Segmen 3: sifat-sifat relasi)

Summary

Dans cette vidéo, Ulfa présente les différentes propriétés des relations sur un ensemble dans le cadre d'un cours de mathématiques discrètes. Elle aborde des concepts tels que la réflexivité, la transitivité, la symétrie, et l'antisimétrie, en illustrant chaque propriété avec des exemples de relations sur des ensembles de nombres. Les relations sont expliquées à l'aide de matrices et de graphes orientés, avec des explications claires sur leur interprétation et leurs caractéristiques. Cette vidéo constitue une introduction détaillée aux relations et à leur application dans les mathématiques discrètes.

Takeaways

• 😀 La relation réflexive signifie qu'un élément dans un ensemble est lié à lui-même.
• 😀 Un exemple de relation réflexive est la relation de division sur l'ensemble des entiers positifs, car chaque nombre entier positif divise lui-même.
• 😀 Les relations non réflexives existent lorsqu'un élément d'un ensemble n'est pas lié à lui-même, par exemple, la relation des entiers qui ne sont pas égaux à leur propre addition.
• 😀 Un exemple d'une relation non réflexive est une relation sur les entiers où aucun entier n'est supérieur à lui-même.
• 😀 La transitivité d'une relation signifie que si un élément A est lié à B et B à C, alors A est lié à C.
• 😀 Un exemple de relation transitive est la relation entre les entiers où si A est lié à B et B à C, alors A est lié à C.
• 😀 Une relation est dite symétrique si pour chaque élément A et B dans l'ensemble, si A est lié à B, alors B est lié à A.
• 😀 Les relations anti-symétriques ne permettent pas que deux éléments différents soient mutuellement liés, sauf s'ils sont égaux.
• 😀 Un exemple de relation anti-symétrique est la relation sur les entiers où si A est lié à B et B est lié à A, alors A doit être égal à B.
• 😀 Une relation peut être à la fois symétrique et anti-symétrique, mais cela n'est pas nécessairement le cas pour toutes les relations.

Q & A

Qu'est-ce qu'une relation réflexive ?

Une relation est réflexive si chaque élément d'un ensemble est en relation avec lui-même. Par exemple, dans l'ensemble des nombres entiers positifs, la relation 'divise' est réflexive, car chaque nombre divise lui-même.

Donne un exemple de relation non réflexive.

Un exemple de relation non réflexive est la relation 'plus grand que' sur l'ensemble des entiers positifs, car il n'existe aucun entier positif qui soit plus grand que lui-même.

Qu'est-ce qu'une relation transitive ?

Une relation est transitive si, pour tous éléments a, b, et c dans un ensemble, si a est en relation avec b et b est en relation avec c, alors a doit être en relation avec c.

Peux-tu expliquer comment vérifier si une relation est transitive ?

Pour vérifier si une relation est transitive, on peut créer un tableau des relations. Si chaque fois qu'un élément est en relation avec un autre, et ce dernier avec un troisième, alors cet élément doit également être en relation avec le troisième.

Qu'est-ce qu'une relation symétrique ?

Une relation est symétrique si, pour tous éléments a et b dans un ensemble, si a est en relation avec b, alors b est aussi en relation avec a.

Qu'est-ce qu'une relation antisymétrique ?

Une relation est antisymétrique si, pour tous éléments a et b dans un ensemble, si a est en relation avec b et b est en relation avec a, alors a doit être égal à b.

Quelle est la différence entre une relation symétrique et antisymétrique ?

La principale différence est que dans une relation symétrique, a et b peuvent être en relation dans les deux sens, tandis que dans une relation antisymétrique, si a et b sont en relation dans les deux sens, alors a doit être égal à b.

Qu'est-ce qu'une matrice de relation réflexive ?

Dans une matrice de relation réflexive, les éléments sur la diagonale principale sont tous égaux à 1, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble est en relation avec lui-même.

Comment identifier une relation antisymétrique dans un graphe ?

Dans un graphe représentant une relation antisymétrique, il n'existe jamais de deux arcs opposés entre deux nœuds distincts, c'est-à-dire que si un arc va de A à B, il ne doit pas y avoir d'arc allant de B à A, sauf si A et B sont identiques.

Qu'est-ce qu'une relation sur un ensemble de nombres entiers positifs ?

Une relation sur un ensemble de nombres entiers positifs peut être, par exemple, 'plus grand que', 'divise', ou d'autres relations qui lient certains éléments entre eux selon des critères spécifiques.