Calcul d'aire, Olympiade
Summary
TLDRDans cette vidéo éducative, l'hôte explique en détail comment calculer la surface d'une partie d'un triangle rectangle inscrit à un cercle, en utilisant deux méthodes différentes. La première approche consiste à diviser le triangle en plusieurs triangles rectangles et à utiliser les propriétés de tangentes et de cercle. La seconde méthode utilise la formule du rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle. Chaque étape est illustrée et expliquée de manière à faciliter la compréhension, invitant les téléspectateurs à aborder les mathématiques de manière ludique et interactive.
Takeaways
- 📐 Le script décrit un exercice de géométrie portant sur un triangle rectangle ABC avec un cercle inscrit.
- 🔍 L'objectif est de calculer la surface d'une partie en rouge du triangle, qui est la différence entre la surface du triangle et celle du cercle inscrit.
- 📏 Le rayon du cercle est donné comme étant 1 unité, et le côté AC du triangle mesure 8 unités.
- 📐 La première méthode utilisée pour résoudre le problème implique de diviser le triangle en plusieurs petits triangles rectangles et de calculer leur aire individuelle.
- 📏 La deuxième méthode utilise la propriété du cercle inscrit dans un triangle rectangle, où le rayon est égal à la moyenne des côtés du triangle.
- 🔢 L'application de la formule de Pythagore sur le triangle rectangle ABC permet de trouver la longueur des autres côtés du triangle.
- ✂️ La méthode implique également de découper le triangle ABC en parties pour faciliter le calcul de la surface.
- 📐 L'aire du triangle ABC est calculée comme la somme des aires de ses sous-triangles rectangles, à partir des longueurs des côtés déterminées.
- 🔄 La soustraction de l'aire du cercle (π × rayon²) de l'aire du triangle ABC donne l'aire de la partie en rouge.
- 📉 L'exercice montre deux approches différentes pour résoudre le même problème, offrant une compréhension plus profonde des concepts géométriques.
- 👍 Le script encourage les téléspectateurs à aimer la vidéo et à s'abonner au canal pour ne pas manquer les prochaines vidéos.
Q & A
Quel est le sujet principal de la vidéo?
-Le sujet principal de la vidéo est la méthode pour calculer la zone de la partie rouge dans un triangle rectangle ABC avec un cercle inscrit.
Combien de méthodes sont utilisées pour calculer la zone de la partie rouge?
-Deux méthodes sont utilisées pour calculer la zone de la partie rouge.
Pourquoi le cercle est-il considéré comme inscrit dans le triangle rectangle ABC?
-Le cercle est inscrit dans le triangle rectangle ABC car il touche chacun des côtés du triangle en exactement un point, formant des angles droits avec les rayons du cercle.
Quels sont les points de tangence du cercle avec les côtés du triangle ABC?
-Les points de tangence du cercle avec les côtés du triangle ABC sont nommés I, J et K respectivement pour les côtés AC, BC et AB.
Quelle est la longueur du côté AC du triangle rectangle ABC?
-La longueur du côté AC du triangle rectangle ABC est de 8 unités.
Comment est défini le rayon du cercle inscrit dans le triangle?
-Le rayon du cercle inscrit est défini comme étant égal à 1, car il est donné que le rayon est de cette longueur.
Quelle propriété des tangentes au cercle est utilisée dans la première méthode?
-La propriété utilisée est que si deux droites sont tangentes à un même cercle, les distances des points de tangence aux points de rencontre avec les côtés du triangle sont égales.
Comment est calculée la zone du triangle ABC dans la première méthode?
-La zone du triangle ABC est calculée en sommant les zones des sous-triangles rectangles formés par les points de tangence et en soustrayant la zone du cercle inscrit.
Quelle est la formule utilisée pour le rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle selon la deuxième méthode?
-La formule utilisée est que le rayon du cercle inscrit est égal à (a + b - c) / 2, où a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle rectangle.
Comment la deuxième méthode relie-t-elle la zone du triangle rectangle et le rayon du cercle inscrit?
-La deuxième méthode utilise l'identité remarquable et la propriété de Pythagore pour établir une relation entre les côtés du triangle et le rayon du cercle, ce qui permet de calculer la zone du triangle et, par la suite, la zone de la partie rouge.
Quelle est la zone finale de la partie rouge trouvée par les deux méthodes?
-La zone finale de la partie rouge trouvée par les deux méthodes est de 5,86 unités au carré dans le système international.
Outlines
📏 Introduction à la méthode géométrique
Le script commence par une introduction à un problème de géométrie, où un triangle rectangle ABC contient un cercle inscrit. L'objectif est de calculer la zone de la partie rouge, qui est la différence entre l'aire du triangle et celle du cercle. La présentation se fait en deux méthodes différentes, en commençant par la première méthode qui implique l'utilisation de tangentes et de rayons du cercle pour établir des relations géométriques.
📐 Développement de la première méthode
La première méthode consiste à utiliser les propriétés des tangentes et des rayons du cercle inscrit. Le script explique comment les côtés du triangle sont reliés aux rayons et aux tangentes du cercle, en identifiant les points de tangence et en utilisant la propriété que les segments de tangentes sécantes sont égaux. Les côtés du triangle sont exprimés en fonction de x, ce qui permet de déduire des équations pour les différentes parties du triangle.
📏 Calcul de l'aire du triangle et du cercle
Le script poursuit avec le calcul de l'aire du triangle ABC en divisant le triangle en plusieurs triangles rectangles et en utilisant la formule d'aire pour un triangle rectangle. Ensuite, l'aire du cercle est calculée en utilisant la formule A = πr². La différence entre l'aire du triangle et celle du cercle donne l'aire de la partie rouge recherchée.
🔢 Utilisation de la formule du cercle inscrit dans un triangle rectangle
La quatrième partie du script introduit une deuxième méthode pour calculer l'aire de la partie rouge, en utilisant une formule spécifique pour un cercle inscrit dans un triangle rectangle. La formule relie les côtés du triangle aux rayons du cercle. L'application de cette formule et de la propriété de Pythagore permet de trouver les longueurs des côtés du triangle et, par conséquent, l'aire de la partie rouge.
🎉 Conclusion et rappel des actions de l'audience
Le script se termine par une conclusion qui résume les deux méthodes utilisées pour calculer l'aire de la partie rouge. L'interlocuteur invite les téléspectateurs à aimer la vidéo, à s'abonner au canal et à activer la cloche de notification pour ne pas manquer les prochaines vidéos, rappelant ainsi l'importance de l'engagement de l'audience.
Mindmap
Keywords
💡Triangle rectangle
💡Cercle inscrit
💡Tangente
💡Rayon
💡Zone
💡Méthode de calcul
💡Hypoténuse
💡Propriété de Pythagore
💡Moyenne-Carré
💡Identité remarquable
Highlights
Introduction to the problem of calculating the area of the red part in a rectangle triangle with an inscribed circle.
Explanation of the properties of tangents to a circle and their right angles with radii.
Identification of points of tangency I, J, and K on sides AC, BC, and AB respectively.
Use of the rectangle property in triangle ABC to establish relationships between sides.
Setting up the variable x for side AI and expressing other sides in terms of x.
Application of the property that tangents from a common point to a circle are equal.
Division of figure into rectangles to facilitate area calculation.
Calculation of the area of triangle ABC using the areas of smaller constituent triangles.
Use of the Pythagorean theorem in the right-angled triangle ABC.
Introduction of the second method using the inscribed circle and rectangle triangle properties.
Derivation of the formula for the radius of an inscribed circle in a rectangle triangle.
Solving for the lengths of sides AB and BC using the derived formula and given side AC.
Calculation of the area of triangle ABC using the base and height.
Subtraction of the circle's area from the triangle's area to find the red part's area.
Final calculation of the red part's area using both methods, yielding the same result.
Conclusion and invitation to subscribe and activate notifications for future videos.
Transcripts
calculons l'air de la partie en rouge
mesdames et messieurs bonjour et
bienvenue nous avons ici un triangle
ABC et dans ce triangle il y a un cercle
inscrit sachez très bien que le triangle
est rectangle en B on nous demande de
calculer l' de la partie h en rouge et
bien nous allons voir ensemble étape par
étape en utilisant deux méthodes
différentes comment calculer l'air de la
partie hchér c'est parti première
méthode
méthode numéro 1
bien voilà la première méthode d'abord
ici nous avons des tangentes à notre
cercle c'est-à-dire que le cercle est
inscrit dans un triangle rectangle alors
il y a le point de rencontrre entre les
cercles et les côtés donc le côté AC
touche le cercle en ces point que je
vais le nommer i donc le côté BC touche
le cercle en ces poes que je vais les
nommer j bien et le côté AB touche le
cercle en ce point que je vais le nommer
K et là la tangente à un cercle forme un
angle droit avec le rayons on va tracer
ça
voilà bien donc c'est-à-dire ici les
rayons forme un angle droit avec les
tangent ici également
bien donc ici nous avons un angle droit
ici également nous avons un angle droit
là aussi nous avons un angle droit
forcément cet angle là aussi devrait
être un angle droit et là si vous
constatez bien nous avons un carré B k o
g des rayon égal à 1 puisque notre
cercle a pour rayon égal à 1 et tout ce
qu'on sait encore que le côté AC mesure
combien mesure 8 donc je vais écrire ici
AC é= à 8 bien si le côté AC é= à 8 je
peux poser le côté ai é= x bon je peux
utiliser x donc de A jusqu'à i ça me
fait x alors si de a jusquà i ça me fait
X de i jusqu'à c ça me fait 8 - X parce
que je je vais expliquer ça si on a ai
le côté ai plus le côté
IC tout ça c'est égal à 8 et là j'ai dit
que le côté ai j'ai posé que le côté ai
é= x donc ai je remplace par X + IC = à
8 c'est-à-dire que Ic
= à 8 et le X vient de ce côté donc ça
fait 8- X vous voyez donc le côté ici
ici égal à 8 - x donc Ac = 8
ai me donne quoi me donne X et IC me
donne 8 Moen x bien
alors déjà je sais que là maintenant
euh euh tous ces côtéslà ont une
expression en fonction de x maintenant
ce que nous savons sur ces côtés le
côtés BK ici on connaît que c'est égal à
1
bien voilà mais ici de A jusqu'à k ça
fait combien alors là nous allons
utiliser la propriété de deux tangentes
par rapport à un cercle c'est-à-dire si
nous avons un cercle et que il il y a
deux
tangentes qui sont séquantes
c'est-à-dire deux tangentes à ce cercle
là voilà le la première tangente c'est
T1 la deuxième tangente à ce cercle là
c'est la tangente TD alors si deux
cercles de deux droites sont tangentes à
un cercle autant pour moi c'est-à-dire
que du point où il se rencontre si c'est
le point A jusqu'à ici B est égal au
point A jusqu'au point C c'est-à-dire C
côtés avec ce côtés sont les mêmes de
tangentes sé de tangentes à un cercle
sont sé c'est-à-dire du point de
tangente ici et le point tangent ici
jusqu'au point sé sont les mêmes donc
ici on peut dire que la distance ai est
égale aussi à la distance AK donc AK est
aussi égal à X donc ai = x AK aussi
égale à X vous voyez donc on est arrivé
à trouver la distance ài et AK k bien
maintenant nous avons besoin aussi de
chercher cette distance
CG donc on sait que ici
c la droite c est tangente au cercle et
CJ aussi est tangente par ici
c'est-à-dire que la distance qui est ici
et ici aussi sont les mêmes donc c é= à
CJ donc ici c'est 8- x ici aussi ça
devrait être 8- X sans doute sans
problème voilà donc on a aussi trouvé
cette distance BJ aussi on connaît déjà
et bien l'étape suivante ce qu'il faut
faire maintenant c'est de diviser notre
figure qui est I a K en deux triangles
qui sont rectangles donc là
voilà bien donc on a un le triangle a oi
et
AOK sont des triangles qui sont
rectangles en respectivement en I et en
K alors je vais diviser également
ici bien donc ici on obtient aussi des
triangles les triangles C oi et le
triangle ce C oog donc le triangle coi
est rectangle en I et le triangle COG
est rectangle en G donc j'ai déjà
euh quand même dévérué ce qui est verué
maintenant nous allons calculer l'air
d'abord de notre triangle entier donc
c'est-à-dire il faut d'abord calculer
l'UR du triangle entier et après on va
soustraire l'air du cercle qui se trouve
dans le triangle donc on fait la
soustraction de l'air de notre cercle
qui se trouve exactement dans le
triangle maintenant qu'est-ce que nous
allons faire on va
calculer l'air de notre triangle donc
l'air du triangle
ABC va être égal à
l'air du triangle Aoi
ok a l'air du triangle a oi bien plus
l'air du triangle
AOK plus l'aire du triangle a
plus l'ire du triangle coi
ok plus l'air du
triangle
C
oi plus l'air des triangle C
[Musique]
plus l'air du triangle co g
voilà plus ici nous avons un carré k o
JB c'est un carré plus l' R de notre
carré plus l' r du carré o
KB g bien maintenant on sait déjà que
l'ire de notre triangle
a o j donc nous avons un triangle
rectangle et si on a un triangle
rectangle ABC par exemple on nous
demande de calculer la surface de C
triangle rectangle ABC qu'est-ce que
nous allons faire on va simplement dire
que la surface du de d'un triangle
rectangle est égal à les deux côtés qui
ne sont pas hypoténuses là c'est ceux-là
qu'on les multiplie entre eux on divise
donc c'est égal à AB x BC le tout sur D
voilà un triangle rectangle vous voulez
calculer sa hauteur si ce côté est le
côté a ce côté est le côté B et ce côté
est le côté C donc ça veut dire c est
l'hypoténuse donc on ne prend pas
l'hypoténuse pour calculer la surface
d'un triangle rectangle on a juste
besoin de multiplier euh le côté a fois
le côté B et on divise par D parce que
dans les autres triangles également
euh la surface d'un triangle est égale à
base fois hauteur divisé par D on est
obligé de trouver une haute avant de
calculer la surface alors si tu es là
jusque ici n'oublie pas de liker la
vidéo et de t'abonner
bien maintenant ici dans les triangles
Aoi donc l'hypoténus c'est ao on na pas
besoin de l'hypoténuse ào c'est ce dont
on a besoin c'est oi
et euh a I autant pour moi et oi donc ai
c'est X et oi c'est les rayons donc ici
c'est les rayons les rayons donc là ça
veut dire que ici c'est égal à X X rayon
donc X X rayon le tout divisé par 2 plus
maintenant a o k donc ao on na pas
besoin on a juste besoin de a o k donc
a K c'est X et ko c'est le rayon donc
c'est le rayons ici donc ça veut dire
que l'air triangle AOK est égal à AK
c'est X X ok c'est les rayons voilà on
divise
par 2 bien sûr bien sûr maintenant on va
chercher quel r on va chercher euh l'air
du triangle
euh i co o donc le triangle o ou bien Co
i donc ça donne ce côté qui est ici
c'est 8 - x 8 -
X fois le rayon donc c'est-à-dire fois
oi le t on divise par 2 plus le côté du
triangle COG C o g donc on prend JC
c'est 8 et o j c'est r donc ça fait 8
X X r ça aussi on divise par 2 et enfin
on fait+
okbj on fait
okbj c'est-à-dire l'air de notre cercle
l'air de notre carré autant pour Mo du
petit carré donc l'air d'un carré est
égal à côté fois côté les côté c'est les
rayons donc ça veut dire rayon fois
rayon plus rayon fois rayon donc c'est
rayon au carré alors donc l'air du
triangle
ABC
égal donc x c'est toujours x les rayons
c'est 1 donc x x 1 ça donne toujours x
x2i ici également ça donne x2i et là
comme les rayons c'est x ça donne 8 - x
le tout/ 2 ici également ça donne 8 - x
le tout/ 2 + R Carr donc ça veut dire +
1 donc
l'air de ABC é= x plus donc le
dénominateur ici c'est 2 donc j'ai
besoin de garder un dénominateur 2 donc
ça fait x + x + 8 - x + 8 - x + 1 à côté
ici alors ici x - x s V X- x sen vont
donc on va trouver
l'air du triangle ABC est égal à 8 + 8
qui nous donne 16 divis par 2 + 1 alors
l'air de notre triangle
ABC qu'est-ce que ça peut nous donner
donc ça nous donne 16 / 2 c'est 8 + 1 et
l'air du triangle ABC est égal à 9 donc
je peux écrire 9si parce qu'on n'a pas
mentionné que c'est centimè ou mètre
donc si c'était centimè c'est cenmè au
carré si c'était MT c'est mètre au carré
donc l'air du triangle ABC é= à 9 dans
le système international donc je vais
écrire ici l'air ég à 9 si donc unité
dans le système international
maintenant comme on a déjà trouvé l'air
de notre triangle entier on a besoin de
soustraire l'air du cercle qui se trouve
dans le triangle bien donc je vais
effacer
ici alors dites-moi en commentaire
quelle est la méthode la plus facile S
c'est la première méthode S c'est la
deuxème méthode que nous allons tout de
suite voir donc ici l' R est égal à 9
maintenant l'air du du cercle l'air du
cercle est égal à pi x rayon élevé au
carré donc l'air du cercle est égale à
pi pi c'est
3,14 fois le rayon c'est 1 élevé au
carré donc l'air de notre cercle pardon
est égal à 3,14 dans le système
international maintenant on veut l'air
de la partie Hir l'UR de la partie Hiré
est égal à l'air de notre
triangle voilà moins l'air de notre
cercle alors l'air du triangle c'est 9
moin l'air du cercle c'est
3,14 alors l'air 9 -
3,14 on utilise la calculatrice 9 - 3
14 é= à 5,86
5,86 et
5,86 équivaut à l'URE de la partie
achiré c'est la première méthode mais je
vais vous proposer une deuxème méthode
encore efficace que la première méthode
alors je vous demande de liker la vidéo
de vous abonner deè méthode
la deuxème méthode donc méthode numéro
2 vous savez que si nous avons un
cercle inscrit dans un triangle et que
le triangle est un triangle
rectangle la formule dit quoi que la
formule dit que les rayons des notes
notre le rayon de notre cercle qui est
inscrit dans le triangle là est égal à
ce côté donc on peut les nommer comme
côté AB cette fois-ci utilisons
a ce côté comme le côté a et ce
côté comme le côté B et ce côté comme le
côté c bien alors AB ça équivaut à a BC
ça équivaut à B et AC ça équivaut à donc
le triangle est rectangle et nous avons
un cercle inscrit le rayon de ce cerclle
là est égal à
A + B
C le tout on divise par 2 est égal à A +
B - C les tout divisé par 2 et là nous
avons déjà les rayons le rayon est égal
à 1 donc on va remplacer le rayon par 1
1 é= et ici on a AB a + b - C les T sur
2 on fait produit des moyennes est égal
à produit des extrêmes c'est-à-dire on
va avoir 2 x 1 ça fait 2 qui est égal à
A + B - C ou bien je j'écris a + B- C =
2 par la suite je fais A + B ég à
2 + C et on connaît déjà déjà le côté c
est égal à 8 donc ça veut dire A + B = 2
+ 8 A + B est égal à 10 bien nous avons
obtenu une équation que je vais les
numéroter comme équation numéro 1 donc
cette équation va être l'équation numéro
1 je vais me servir de cette équation
pour chercher la valeur de a et la
valeur de B donc une équation ne suffit
pas pour pouvoir euh chercher encore
l'URE de la partie hchiré donc ce que
nous allons faire c'est d'appliquer la
propriété des Pythagore dans le triangle
ABC qui est rectangle en B donc d'après
Pythagore
d'après
Pythagore l'hypoténuse au carré est égal
à la somme des carré de des autres côtés
l'hypoénuse c'est AC donc AC au carré
est égal à
bc² +
ab² alors AC au²r ça fait
euh C et C é= à 8 donc 8 au² est égal à
BC au² BC c'est B au²r + ab² AB c'est a²
ou bien on peut écrire a² + b² = 8² 8
au² ça fait 64 donc a² + b² est égal à
64 mon objectif ici dans cette équation
c'est quoi c'est de chercher AB parce
que ici j'ai la somme cette fois-ci je
cherche les produit AB bien qu'est-ce
qu'on fait en utilisant l'identité
remarquable A + B les tout au carré donc
A + B le tout au carré ça donne quoi ça
donne a au Carr + 2Ab + b² et là je peux
écrire d'une autre manière a²r + 2Ab + B
au car é= à A + B le tout élevé au carré
je n'ai rien changé qu'est-ce que je
fais là maintenant j'écris a² + b² =
nous avons A + B au²r et le 2Ab je
déplace de ce côté ça devient
2Ab
voilà ça devient moins dab donc
qu'est-ce que je fais à la place de a² +
b² je peux remplacer par 64 si je veux
donc c'est-à-dire que je peux remplacer
par 64
ou bien je prends toute cette quantité
je la mets ici alors permettez-moi
d'effacer ici mais je vais écrire A + B
é= à 10 bien A + B = 10 alors je fasse
cette
partie maintenant comme on sait déjà que
A Carr + b² é= à A + B le tout au carré
2Ab là je prends l'expression de a²r + B
au²r je remplace ici c'est-à-dire là où
il y a a au Carr + B au Carr je remplace
par A + B le tout au carré in D AB donc
j'écris a +
b²- dab voilà donc a² + b² là j'ai
remplacé par sa valeur par son
expression est égal à 64 bien A + B
ça donne 10 donc 10 au Carr 2Ab =
64 10 au Carr ça donne 100 Mo d AB est
ég à 64 alors je déplace le 10 de
l'autre côté dab est ég à
64- 100 alors dab est égal à - 36 je
simplifie donc AB é= 36 div qui est égal
à 18 alors j'ai trouvé AB é= à
18 comme j'ai trouvé déjà AB a x B là
c'est comme si j'ai déjà trouvé l'air du
triangle parce que l'air du triangle est
égal à a x b/is 2 donc vous
voyez ce que je devrais faire
maintenant
j'écris a j'écris
l'air du triangle est égal à base FO
hauteur divisé par D donc la base c'est
B la hauteur c'est a donc a x B les tout
divisé par 2 donc l'air du triangle
égale a x B j'ai déjà trouvé a x B = 18
c'està-dire 18 je divise par 2 et donc
l'air de triangle est égal 18/ 2 ça me
fait 9 donc dans le système
international après avoir trouvé l'air
du triangle ce que je devrait faire
c'est de chercher l'air du cercle et on
sait déjà que l'air de notre cercle est
égal à pi x rayon o carré alors là l'air
de notre cercle est égal à pi c'est
3,14 x 1 au carré donc l'air du cercle
est égale à 3,14 dans le système
international bien j'ai trouvé l'air du
triangle et l'air du cercle donc j'ai
besoin de soustraire l'air du cercle de
l'air du triangle donc qu'est-ce que je
veux dire l'air du triangle donc l'URE
de la partie Héré est égale à l'URE du
triangle moins l'URE du cercle donc
l'URE du triangle c'est 9
3, 14 donc j'ai calculé c'est égal à
5,86 dans le système international donc
l'air de la partie achiré é= à
5,86 et voilà mesdames et messieurs on a
utilisé deux méthodes différentes pour
calculer l'URE du de la partie Achir si
la vidéo vous a plu n'oubliez pas de
vous abonner à la chaîne et actiz aussi
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