Kalkulus | Integral (Part 2) - Integral Substitusi [2]

Summary

このビデオでは、代入法を用いた積分の解法を詳しく説明しています。具体的な例として、x^3 + 1 を10乗したものと x^5 の積を積分する方法が紹介されます。まず、式を簡略化するために変数 u を導入し、積分の過程で x の変数を除去する方法が説明されます。最終的には、式を u の形で積分し、結果を x に戻して解答が得られます。積分の基本的な手順と代入法の適用方法が理解できる内容です。

Takeaways

• 😀 代入法を用いて、積分の問題を解く方法が説明されています。
• 😀 最初の積分式は、(x^3 + 1)^{10} * 10x * x^5 dx という形です。
• 😀 代入法で、u = x^3 + 1 と置き、du = 3x^2 dx を得ます。
• 😀 x^5をx^3 * x^2として分解し、duを使って積分式を簡略化します。
• 😀 代入後、積分の形がuに基づいて単純化され、計算がしやすくなります。
• 😀 uの積分後、xの式に戻すことで最終的な解を得ます。
• 😀 積分の結果は、(u^12 / 12 - u^11 / 11) の形になります。
• 😀 最後にu = x^3 + 1を代入し、最終的な解を得ることができます。
• 😀 積分の結果に定数Cが含まれ、完全な解として表されます。
• 😀 この方法を使うことで、複雑な積分問題も簡単に解くことができます。

Q & A

この積分の問題において、なぜ代入法を使用するのですか？

代入法を使用することで、積分の式を簡単にすることができます。特に、積分式に複雑な項がある場合、代入によって一変して計算がしやすくなります。

u = x^3 + 1 の代入はどのようにして行うのですか？

u = x^3 + 1 と置きます。この代入により、積分の式は u^10 のような形になり、計算が簡略化されます。また、x の項を代入後に別の式で表現できます。

積分式の中で、なぜ 'deu' と表現された部分がありますか？

'deu' は u の微分であり、代入した後の微分変数です。x の変数を u に置き換えた後、その微分を計算することで積分式を簡単にできます。

式の中で '3x^2 dx' はどのように処理されますか？

3x^2 dx は u の微分である 'deu' に関連しており、代入後に x の関数が微分として現れます。これにより、積分式がより扱いやすくなります。

積分式の中で、なぜ x^5 dx を x^3 と簡略化するのですか？

x^5 dx を x^3 と簡略化することで、式の中の余分な項を減らし、積分計算を単純化することができます。具体的には、x^5 を x^2 で割ることで x^3 に変換します。

最初に u を代入する理由は何ですか？

最初に u を代入することで、積分式が単純化され、計算が楽になります。特に、複雑な関数が含まれている場合、代入によって計算が容易になります。

積分結果が 1/12 u^12 として現れるのはどうしてですか？

積分結果が 1/12 u^12 になるのは、積分を行った結果として得られる式が u^12 の形を持っているからです。積分後の計算を行い、定積分の係数を調整した結果としてこの式が現れます。

積分後の式で '1/11 u^11' の部分はどういう意味ですか？

'1/11 u^11' は、積分後の関数の一部です。u を用いて積分した後、x の項が消えた状態でこのような形が得られます。この部分は積分結果の一部を示しています。

最後に x の式に戻す理由は何ですか？

最後に x の式に戻すのは、最初の問題が x に関する積分であるため、最終的な答えも x を含む形に戻す必要があるからです。これによって元の問題の解を得ることができます。

積分結果に 'C' が加えられる理由は何ですか？

'C' は積分定数を意味します。定積分では特定の範囲を指定して計算しますが、ここでは積分範囲が指定されていないため、一般的な解を示すために積分定数 C を加えます。