Limites | Introducción y conceptos básicos
Summary
TLDREste script de video ofrece una introducción al concepto matemático del límite de una función. Se explica gráficamente y numéricamente cómo se calcula el límite de una función cuando el valor de x se acerca a un punto específico. Se utilizan varios ejemplos para ilustrar cómo el límite se calcula en diferentes situaciones, incluyendo funciones con discontinuidades y funciones definidas a trozos. Además, se aborda la importancia de considerar tanto el enfoque por la izquierda como por la derecha para determinar si un límite existe en un punto dado. El video también resalta la técnica de reemplazo numérico y la creación de una tabla de valores para aproximar el límite. Finalmente, se invita a los espectadores a seguir el curso completo de límites en el canal o a través del enlace proporcionado.
Takeaways
- 📈 La definición del límite de una función no es sencilla, pero se puede entender gráficamente y numéricamente.
- 🔍 El límite de una función f(x) cuando x se acerca a un punto específico, como x₀, se refiere a cómo la función se comporta cerca de ese punto.
- 📊 Se puede visualizar el límite a través de gráficas, observando cómo los valores de y (la imagen) se acercan a un valor específico cuando x se acerca a x₀.
- 👀 En casos donde la gráfica tiene un 'hueco', como en el ejemplo de f(x) cuando x se acerca a 1, el límite se infiere por el comportamiento de la gráfica a ambos lados del hueco.
- ➡️ El límite también puede calcularse numéricamente, reemplazando x en la función por el valor al que se acerca.
- 🤔 Si al reemplazar x por un valor, la función resulta en una expresión indeterminada (como 0/0), entonces se necesita más información para encontrar el límite.
- 📌 Es importante considerar el límite tanto por la izquierda como por la derecha, ya que pueden dar resultados diferentes, como se muestra en funciones definidas a trozos.
- 🚫 Si los límites por la izquierda y por la derecha no coinciden, entonces el límite en ese punto no existe.
- 📐 En el caso de funciones polinomiales, el límite es directo y se obtiene reemplazando el valor de x en la función.
- 📉 Para funciones con discontinuidades, se debe observar el comportamiento a medida que x se acerca al punto de discontinuidad desde ambos lados.
- 📝 Una tabla de valores puede ser útil para aproximar límites cuando hay expresiones indeterminadas o para visualizar cómo los valores cambian al acercarse a un punto específico.
Q & A
¿Qué es el límite de una función en términos gráficos?
-El límite de una función, en términos gráficos, se refiere al valor que toma la función cuando el gráfico de la función se acerca a un punto específico en el eje x. Esto se observa en el gráfico cuando los valores de x se acercan a un punto determinado y se busca la altura correspondiente en el eje y, que representa la imagen de la función.
¿Cómo se define el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un número específico?
-El límite de una función f(x) cuando x se acerca a un número específico, digamos x₀, se define como el valor que toma la función cuando los valores de x se acercan a x₀, sin importar si son mayores o menores que x₀, siempre y cuando la función se acerque a un único valor en ambos lados.
¿Qué ocurre si en un punto dado la función no tiene una definición pero se acerca por la izquierda y por la derecha a diferentes valores?
-Si una función se acerca por la izquierda y por la derecha a diferentes valores en un punto dado, el límite en ese punto no existe. Esto se debe a que la función no converge a un único valor al acercarse a dicho punto desde ambos lados.
¿Cómo se determina el límite numérico de una función en un punto específico?
-Para determinar el límite numérico de una función en un punto específico, generalmente se reemplaza el valor de x por el número en cuestión en la expresión de la función y se calcula el resultado. Si el resultado es finito y determinado, entonces ese es el límite en el punto dado.
¿Qué sucede si al reemplazar x por un valor en la expresión de la función da como resultado 0/0?
-Si al reemplazar x por un valor en la expresión de la función da como resultado una expresión indeterminada del tipo 0/0, esto indica que no se puede determinar el límite simplemente reemplazando el valor de x. En estos casos, se pueden utilizar técnicas como la algebra de limites o hacer una tabla de valores para aproximar el límite.
¿Cómo se interpreta el límite de una función definida a trozos en un punto de salto?
-El límite de una función definida a trozos en un punto de salto se interpreta como el valor que la función asume desde el lado por donde se acerca si en ese punto la curva no se intersecta. Si por ambos lados se acerca a valores diferentes, el límite en ese punto no existe.
¿Por qué es importante considerar tanto el acercamiento por la izquierda como por la derecha al determinar el límite de una función?
-Es importante considerar tanto el acercamiento por la izquierda como por la derecha porque el límite de una función en un punto específico requiere que la función se acerque a un único valor, sin importar la dirección desde la que se acerque. Si los valores a los que se acercan difieren, el límite no existe en ese punto.
¿Cómo se puede usar una tabla de valores para aproximar el límite de una función en un punto dado?
-Una tabla de valores se puede usar para aproximar el límite de una función reemplazando el valor de x por varios números cercanos al punto de interés, tanto por la izquierda como por la derecha. Observando cómo varía el resultado a medida que estos números se acercan al punto de interés, se puede inferir el límite.
¿Cuál es la respuesta al preguntar cuál es el límite cuando x tiende a 1 de la función f(x) = x + 1?
-La respuesta al preguntar cuál es el límite cuando x tiende a 1 de la función f(x) = x + 1 es 2, ya que al reemplazar x con 1 en la expresión, se obtiene f(1) = 1 + 1 = 2.
¿Cómo se determina si el límite de una función en un punto dado existe o no cuando la función es definida a trozos?
-Se determina si el límite de una función definida a trozos en un punto dado existe o no observando si, al acercarse por la izquierda y por la derecha a ese punto, la función se acerca a un mismo valor. Si los valores a los que se acercan difieren, el límite en ese punto no existe.
¿Por qué la función f(x) = x + 1 tiene un límite claro cuando x tiende a 2?
-La función f(x) = x + 1 tiene un límite claro cuando x tiende a 2 porque, al ser una función lineal, su gráfico es una línea recta y por tanto, no hay discontinuidades. Al reemplazar x con 2, se obtiene f(2) = 2 + 1 = 3, por lo que el límite es 3.
Outlines
😀 Introducción a los límites de una función
El primer párrafo introduce el concepto de límite de una función, explicando que aunque la definición matemática no es sencilla, se puede entender gráfica y numéricamente. Se menciona que todas las funciones se pueden graficar y que el límite se refiere al comportamiento de la función cuando el valor de x se acerca a un punto específico, x0. Se ilustra con un ejemplo de cómo se acerca la gráfica a un valor cuando x tiende a 1, y se señala que el límite es el valor que toma la función para valores de x muy cercanos a x0.
😉 Ejemplos gráficos de límites
Este párrafo presenta varios ejemplos gráficos para entender los límites de funciones. Se habla de la función f(x) = x + 1 y cómo se comporta cuando x se acerca a 2, mostrando que la gráfica se acerca a 3 tanto por la izquierda como por la derecha. También se exploran otros casos, como funciones definidas a trozos y cómo se calculan los límites en puntos donde la gráfica no es continua, destacando la diferencia entre los límites por la izquierda y por la derecha.
🙂 Análisis numérico de límites
Se aborda el análisis numérico de los límites, destacando que a menudo se calcula simplemente reemplazando x con el valor al que se acerca. Se proporciona un ejemplo donde al reemplazar x con 2 en la función f(x) = x^2/2 - 2, se obtiene un resultado indeterminado (0/0), lo que lleva a la creación de una tabla de valores para aproximar el límite. Se muestra cómo, al acercarse valores a 2 por la izquierda y por la derecha, el límite converge hacia 4.
😌 Conclusión y recursos adicionales
El último párrafo concluye la clase y ofrece recursos adicionales para aprender más sobre los límites. Se menciona que no hay una práctica inmediata para realizar, pero se animan a los estudiantes a seguir el curso completo de límites disponible en el canal del instructor o a través del enlace proporcionado. Se cierra el video invitando a suscribirse, comentar, compartir y dar like al video.
Mindmap
Keywords
💡Límite de una función
💡Gráfica
💡Curvas
💡Funciones
💡Aproximación
💡Ecuación definida a trazos
💡
💡Números cercanos
💡Valores de apoyo
💡Derecha e Izquierda
💡Tabla de valores
💡Reemplazo numérico
Highlights
Introducción al concepto del límite de una función
Definición del límite de una función y su representación gráfica
Importancia de entender el límite a través de su aproximación numérica
Ejemplo práctico de cómo encontrar el límite de una función f(x) cuando x se acerca a un número específico
Explicación de cómo la gráfica de una función puede tener un hueco y cómo se interpreta esto en términos de límites
Método para aproximar el valor del límite al acercar los valores de x al punto de interés
Ejemplo de cómo el límite de una función creciente es determinado por su aproximación desde ambos lados
Análisis de la función f(x) = x + 1 para encontrar su límite cuando x se acerca a 2
Descripción de cómo la gráfica de una función lineal muestra su comportamiento en torno a un punto de límite
Importancia de la diferencia entre el límite de una función cuando se acerca por la izquierda y por la derecha
Ejemplo de una función definida a trozos y cómo se calculan sus límites desde diferentes direcciones
Explicación de la no existencia de un límite cuando los valores de aproximación por la izquierda y derecha no coinciden
Técnica numérica para encontrar el límite de una función sustituyendo el valor de x en la función
Ejemplo numérico de cómo el límite se acerca a un valor específico al reemplazar x con un número cercano
Uso de una tabla de valores para aproximar el límite de una función en un punto donde la función no está definida
Análisis de cómo la tabla de valores muestra la convergencia del límite hacia un número específico
Conclusión de la importancia de entender los límites en la matemática y cómo aplicarlos en diferentes funciones
Transcripts
[Música]
para amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de límites y ahora
veremos una pequeña introducción al
concepto del límite de una función y en
este caso pues vamos a hablar de la
definición del límite que pues la
definición no es muy sencilla de
comprender sino es en un gráfico o
numéricamente entonces voy a dar la
explicación de qué es el límite de una
función de forma gráfica y luego vamos a
ver de forma numérica entonces qué es el
límite de una función el límite de una
función f x recordemos que las funciones
todas se pueden graficar si hay algunas
funciones que al graficar las da una
línea recta otras como en este caso dan
una parábola y otras dan diferentes
tipos de curvas pero todas las funciones
se pueden graficar entonces el límite de
una función f x fx simplemente hacer un
nombre que se le da a la función yo
podría ponerle cualquier nombre pero
generalmente se les dice efe de x en el
punto x sub 0 entonces se va a escoger
cualquier punto del eje x
es el valor que se acercan al que se
acercan las imágenes o sea las de sí ya
lo voy a explicar aquí cuando los
valores o sea las x se acercan al valor
x sub zero entonces vamos a verlo con el
gráfico pues para entender un poquito
mejor si por ejemplo yo quisiera hallar
el límite de esta función esta función
es la que se va a llamar f
de x en este caso sí o sea este dibujito
se llama fx si yo quiero encontrar el
límite de esa función
cuando la x se acerca al número uno por
ejemplo lo que tengo que mirar bueno
aquí colocó aquí de la función f x 1
entonces si yo quiero encontrar el
límite cuando la x se acerca a 1 miren
que siempre se dice la palabra a acercar
c
entonces lo que tenemos que buscar es el
valor de la imagen o sea de la y
entonces en este caso miren que en este
gráfico hay un huequito sí que entre
comillas no se sabe cuál es el valor por
ejemplo si yo dijera el límite cuando la
x tiende a cero sí entonces aquí vemos
que la gráfica cuando la x es el número
0 tiene una altura o sea un valor en la
letra i pero en este caso si vamos a
buscar el límite cuando la extiende aún
no vemos que la gráfica no se sabe
vuelvo a decirles entre comillas por
donde pasa que voy a dejar aquí un
huequito un circulito marcando que hay
un huequito en esa gráfica entonces qué
es lo que tenemos que hacer pues
obviamente pues aquí en el dibujo ya se
ve como muy claramente como les decía
entonces lo que tenemos es que
acercarnos en el punto x sub zero si
dice aquí en el punto x es el valor al
que se acercan las imágenes o sea las
cuando los valores se acercan a x osea
si nosotros miramos el valor de la x
aquí sí o sea de la imagen de x que la
imagen quiere decir
la misma altura la imagen de la equis
aquí voy a dar un valor aproximado
digámoslo así que es el número 28 si la
imagen de 15 es 28 pero si yo me acerco
al valor al que me interesa que es el
valor 1 entre más me acerque pues más me
acerco al valor de la imagen aquí como
les digo en el dibujo ya se ve
claramente que si yo miro la imagen del
número uno si sería aparentemente el
número dos entonces a pesar de que esta
función tenga un huequito ahí que no se
vea pero si nosotros miramos por el lado
de la izquierda cada vez se va acercando
más osea por ejemplo la imagen aquí en
el número 05 la imagen en este punto
sería
15
pero si yo me voy acercando cada vez más
al número uno por ejemplo si yo me
acerco aquí digamos que es más o menos
el 09 y yo miro la imagen del 09 o sea
la altura de la gráfica es más o menos
aproximadamente 19 osea entre más me
acerque yo al número 1 que es el número
que me interesa más me voy a acercar a
una respuesta aproximada entonces el
límite no es más sino el valor que toma
la x xi en los valores muy cercanos ya
al final termina diciendo sé que pues la
forma más fácil de acercarlo o de saber
el límite es reemplazar la equis y ya
pero bueno entonces lo que nos preguntan
es la altura de la gráfica entonces en
este caso si yo quisiera dar la
respuesta bueno ya no me cabe aquí pero
en este caso la respuesta sería cuál es
la altura de la gráfica cuando los
números se acercan al 1 la respuesta
sería el número
2 vamos a verlo con más gráficos el
segundo dibujo ya les escribí aquí la
función en este caso esta función se
llama x + 1 sí sí gráfica mos la función
fx igual a x + 1 tenemos este gráfico
entonces por ejemplo supongamos que
quiero hallar el límite cuando la x esto
se le da sino límite cuando la x tiende
o se acerca por ejemplo al número 2
de esta función que es lo que se mira en
el dibujo en el dibujo lo que tenemos
que mirar es en el número 2 cuando la x
para en el número 2 cuál es la altura de
la gráfica o cuál es la imagen de esa
gráfica si si hacemos aquí unos puntos
de apoyo
vemos que cuando la x se va acercando al
2 por la derecha o por la izquierda por
ejemplo aquí en este caso cuánto vale
cual es la altura de la gráfica a la
altura de la gráfica sería más o menos
-2 va subiendo la gráfica y se va
acercando cada vez más al 3 ahora aquí
por la derecha si nosotros partimos el
gráfico en dos como en este caso me
interesa el número dos parto yo el
gráfico en dos a la izquierda del 2 y a
la derecha del 2 entonces a la izquierda
del 2 que es lo que pasa con esta
gráfica que va subiendo cada vez más
acercándose al número 3 eso es a la
izquierda y a la derecha si lo
observamos que es lo que va sucediendo
que si lo miramos más entre más lejos
del 2 hacia más cerquita hasta llegar al
2
vemos que la gráfica digámoslo así de
derecha a izquierda va bajando bajando
bajando acercándose a cual número cada
vez más al número 3 o sea si hiciéramos
esta pregunta el límite cuando la x
tiende a 2 de x + 1 en este caso la
respuesta sería
es que la respuesta siempre va a ser la
imagen de este número ahorita vamos a
trabajar con otras funciones o con otros
dibujitos y como les digo numéricamente
entonces los invito a que se esperen
hasta el final así les haya parecido
fácil hasta el momento espero es más que
les haya parecido fácil hasta el momento
sí porque la idea es que les quede bien
claro el concepto para empezar a ver los
siguientes vídeos del curso por ejemplo
si yo les hago un cambio aquí y
trabajando con la misma función ya no
les voy a preguntar el límite cuando la
x tiende a 2 sino por ejemplo cuál sería
el límite cuando la x tiende a 3
entonces de una vez voy a hacerles un
ejercicio piénsenlo un momentico ustedes
me van a decir la respuesta en este caso
el límite cuando la x tiende a 3 de esta
función la respuesta sería 4 sí por qué
porque si miramos en el número 3 porque
ese es el número de la equis que nos
interesa miramos la altura de la gráfica
y vemos que la altura es 4 unidades
última pregunta con esta misma función
qué pasa si ya no les preguntarán cuando
atiende a tres sino por ejemplo cuando
tiende al número cero
entonces que estoy preguntando cuál es
la altura de esta gráfica cuando la x
está en el número 0 o se acerca a 0 en
este caso la respuesta sería 1 vamos a
ver otro tipo de gráficas que es muy
clásico en los límites que son las
ecuaciones definidas a trazos como en
este caso
aquí observamos que hay un huequito que
entre comillas vuelvo a decirles no se
sabe cuál sería la respuesta aquí les
tengo la pregunta cuál es el límite esta
es la función f x voy a decir que se
llama f x no nos importa en este caso
qué tipo de funciones si x al cuadrado
cuadrática o cúbica no nos importa aquí
son entonces lineales pero no nos
importa eso lo importante es el concepto
la pregunta es cuál es el límite de esta
función cuando la x se acerca a 3 en
este caso vemos que en el 3 exactamente
no se ve cuál es la altura pero se ve
que por la izquierda se acerca a un
punto y por la derecha también se acerca
a ese mismo punto entonces aquí
observamos qué
la imagen del número 3 o sea la altura
de esa gráfica es el número 2 o sea si
preguntamos cuál es el límite cuando x
se acerca a 3 de esa función la
respuesta sería 2 y por último vamos a
ver otro caso típico de las funciones
definidas a trozos que es este caso
cuando en el punto que queremos límite
cuando x tiende a 3 o sea aquí en este
punto cuando las dos no se acercan al
mismo punto si nosotros observamos en
este punto en el 3 exactamente las dos
no se intersectan una va por un lado y
la otra va por otro lado en este caso
tenemos que hablar de cuando se acerca
por la izquierda y cuando se acerca por
la derecha voy a escribirlo aquí
rápidamente límite cuando x se acerca 3
por la izquierda así se escribe de esa
función y límite cuando la x se acerca a
3 por la derecha de esa función
aquí observamos que la letra o la
función se acerca por la izquierda o sea
por este lado se acerca a cuál número o
sea si no miráramos esta parte de la
derecha
diríamos que la respuesta es opuesta al
número 3 se acerca y la altura sería 2
eso sería por la izquierda pero si
miramos solamente por la derecha ya
tendríamos que ver a no en este caso por
la derecha ya no la altura no se acerca
que vaya a ser el número 2 si no sería
el número 1 entonces esto es otra parte
cita de los límites que se dice que
cuando una función o sea que el límite
cuando la función por un lado se acerca
uno y por el otro lado se acerca otro
número no existe entonces este límite en
este caso no existe sí porque tienen que
acercarse las dos como en el ejercicio
anterior
en el que la línea estaba aquí deberían
acercarse los dos al mismo punto como
que digámoslo así se van acercando y
casi que se quieren tocar pero si una va
para un lado y la otra va por otro lado
entonces en este caso el límite en el
número 3 no existe si preguntáramos el
límite en el número 4 si existe si
porque aquí vemos que a pesar de que
aquí va hasta aquí
pero en este caso al 4 si por este lado
se acerca acá y por este lado también se
acerca acá cual 6 aquí a la izquierda se
acerca a este punto y a la derecha
también pero entonces cuando es en un
punto y se acerca por un lado para uno
por un valor y por otro lado a otro
valor en ese caso el límite no existe
vamos a hablar por último de la forma
numérica que es otra parte cita que hay
que tener muy clara y es esta parte cita
generalmente lo primero que vamos a ver
o sea los videos siguientes van a ser el
límite en un punto que es una forma muy
sencilla cuando a uno le dicen el límite
cuando la equis se acerca dos de esta
función lo único que uno generalmente
hace numéricamente es simplemente
reemplazar la equis con este número
entonces voy a escribir la respuesta
aquí al frente si si aquí yo reemplazo
la equis con el número dos pues esto me
quedaría 2 más 1 y la respuesta sería 3
o sea ya tenemos una respuesta de ese
límite fácilmente peruana vamos a ver
también en el curso casos como éste en
el que si reemplazamos bueno eso ya lo
vamos a ver más claro
en los ejemplos más adelante pero quiero
contener el concepto si llegó a
reemplazar aquí con el número 2 me
quedaría 2 al cuadrado 4 por 2 8 menos
aquí sería 4 por 2 que eso es 8 sobre 2
menos 2 que eso es 0 esto me queda 8
menos 80 sobre 0 entonces aquí diríamos
entre comillas que el límite no existe
pero como el límite no debe ser
específicamente en ese punto sino cuando
se acerca lo que se hace generalmente es
una tabla de valores como esta que
generalmente la hacemos cuando vamos a
hacer la gráfica de una función en este
caso la función que vamos a graficar es
esta si no la vamos a graficar pero
vamos a hallar los valores entonces ya
vimos que cuando reemplazamos la x con
el número 2 el valor no se sabe
porque nos dio 0 sobre 0 qué es lo que
se hace a acercarnos por la izquierda y
por la derecha al número 2 números
cercanos al 2 por la izquierda o sea
menores a 2
por ejemplo el 1 pero si yo me quiero
acercar más al 2 un número más cercano
que el 1 por ejemplo el 15 y si me
quiero acercar más por ejemplo el 19 y
si me quiero acercar mucho más por
ejemplo el número 199 ahora por la
derecha un número cercano al 2 por
ejemplo el número 3 pero si me acerco
más al 2 sería el 25 o el 21 o el 20 1
no me voy a detener a explicarles con
cada numerito pero si llegamos a
reemplazar con el número 1 aquí entonces
vamos a ver que nos va a dar y voy a
reemplazar todos los números por ejemplo
si reemplazamos el número uno me da 2 si
reemplazamos el 1,5 me da 3 el 1 938
el 199 me da 3 98 a casi reemplazo con
326 con 25 25 con 21 de 42 y con 20 14
02 que estamos observando que cada que
entre más me acerque por ambos lados al
número dos si miramos si miramos sólo
hasta aquí miremos que estamos diciendo
32 33 83 99 8 98 a cual número se está
acercando lo mismo por acá 3 y perdón 65
42 40 2 si observamos por la izquierda y
por la derecha se va acercando en los
dos lados al número
4 ya vamos a ver como les digo en los
siguientes vídeos del curso cómo hacer
para saber que la respuesta si era 4
aquí en la tabla debemos ver lo que es
por qué se iba acercando cada vez al
número 4 a medida que yo me hacía esto
con números cercanos al 2 bueno amigos
espero que les haya gustado la clase en
esta clase no les voy a dar una práctica
porque no veo de pronto con que puedan
practicar pero en los siguientes vídeos
y entonces espero que les haya gustado
recuerden que pueden ver el curso
completo de límites disponible en mi
canal o en el link que está en la
descripción del vídeo o en la tarjeta
que les tengo que en la parte superior
los invito a que se suscriban comenten
compartan y le den laical vídeo y no
siendo más bye bye
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