Cálculo integral, aplicación en crecimiento de plantas

Summary

En este video se aborda un problema de aplicación de integrales mediante una ecuación diferencial que describe el crecimiento de un arbusto durante cinco años. Se inicia con la ecuación de crecimiento y se establece la altura inicial del arbusto en 13 cm. Luego, se integra la ecuación para encontrar una función que relaciona la altura con el tiempo. A través de las condiciones iniciales, se determina la constante de integración, y finalmente se calcula la altura del arbusto al final del período de crecimiento, que resulta ser de 61.75 cm. Este proceso ilustra el uso de cálculos matemáticos en situaciones prácticas.

Takeaways

• 🌱 Se presenta un problema sobre la aplicación de integrales relacionado con el crecimiento de un arbusto.
• 📏 La velocidad de crecimiento del arbusto se describe mediante una ecuación diferencial: dh/dt = 1.5t + 6.
• 🌿 Al inicio, las plantas de semillero miden 13 centímetros de altura.
• ⏳ Se establece que el tiempo t está en años y la altura h en centímetros.
• 🔄 Se despejan las variables para obtener la relación diferencial entre la altura y el tiempo.
• 📈 Se integran ambos lados de la ecuación diferencial para obtener un modelo matemático de la altura.
• 🧮 La integración resulta en la ecuación h = 0.75t² + 6t + C, donde C es una constante.
• 🔍 Se determina la constante C usando la condición inicial de h = 13 cm cuando t = 0.
• 📏 La constante se calcula como C = 13, actualizando la ecuación a h = 0.75t² + 6t + 13.
• 🌳 Finalmente, se determina la altura del arbusto después de cinco años, que resulta ser 61.75 centímetros.

Q & A

¿Cuál es la ecuación diferencial que describe la velocidad de crecimiento del arbusto?

La ecuación diferencial es dh/dt = 1.5t + 6, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros.

¿Qué altura tienen las plantas de semillero al momento de ser plantadas?

Las plantas de semillero miden 13 centímetros de altura cuando son plantadas.

¿Qué se necesita determinar a partir de la ecuación diferencial?

Se necesita determinar la altura de los arbustos cuando se venden, es decir, después de cinco años.

¿Cómo se procede a despejar las diferenciales en la ecuación?

Se reordena la ecuación diferencial a dh = (1.5t + 6)dt para integrar ambos lados.

¿Qué operaciones se realizan al integrar la ecuación?

Se integra la ecuación, resultando en h = 0.75t^2 + 6t + C, donde C es la constante de integración.

¿Cómo se determina el valor de la constante C?

Se determina usando la condición inicial h(0) = 13, lo que lleva a encontrar C = 13.

¿Cuál es la ecuación final para la altura h en función del tiempo t?

La ecuación final es h = 0.75t^2 + 6t + 13.

¿Qué se calcula para encontrar la altura de los arbustos después de cinco años?

Se sustituye t = 5 en la ecuación h, resultando en h(5) = 61.75 cm.

¿Qué significado tiene la constante de integración en este contexto?

La constante de integración representa la altura inicial del arbusto al tiempo t = 0.

¿Cuáles son los pasos finales para calcular la altura después de cinco años?

Se realiza el cálculo sustituyendo t = 5 en la ecuación de altura y se simplifican los términos para obtener el resultado final.