Las Matemáticas tienen una Terrible Falla

Summary

El trascrito del video ofrece una inmersión en la complejidad y las paradojas de las matemáticas, destacando la existencia de una falla fundamental que impide la certeza absoluta en el conocimiento matemático. Se explora la conjetura de los números primos gemelos y se menciona la indecidibilidad del destino de los patrones en el juego de la vida de Conway, un reflejo de la indecidibilidad en otros sistemas complejos. El video también abarca la revolución matemática iniciada por Georg Cantor con su teoría de los conjuntos y la fractura de la matemática que siguió, incluyendo el debate entre los intuicionistas y los formalistas. Destaca el trabajo de David Hilbert y su intento de fundamentar las matemáticas en un sistema formal, contrastado con el Teorema de Incompletitud de Kurt Gödel, que demostró la existencia de afirmaciones verdaderas y no demostrables en cualquier sistema matemático formal. Finalmente, se destaca la contribución de Alan Turing y su Máquina de Turing, la cual es relevante para entender la computabilidad y la indecidibilidad en la era de las computadoras modernas.

Takeaways

• 📐 La matemática tiene una falla fundamental que implica que siempre habrá verdades no demonstrables, como la Conjetura de los Números Primos Gemelos.
• 🎲 El juego de la vida de Conway, creado en 1970, es un ejemplo de un sistema simple con reglas básicas que puede generar comportamientos complejos e indecibles.
• 🔢 Georg Cantor, al estudiar la teoría de los conjuntos, descubrió que hay diferentes tamaños de infinitos, lo que desafió las nociones tradicionales de la matemática.
• 🪄 La paradoja de Russell muestra que los conjuntos pueden llevar a contradicciones si no se definen cuidadosamente, lo que llevó a la reevaluación de los fundamentos de la matemática.
• 💡 David Hilbert, un matemático influyente, creía en la posibilidad de un sistema formal y riguroso de pruebas para resolver los problemas en matemáticas.
• 🚧 Kurt Gödel demostró con su Teorema de Incompletitud que cualquier sistema formal de matemáticas que incluya aritmética básica es incompleto y no puede probar su propia consistencia.
• 🔧 Alan Turing inventó la Máquina de Turing como un modelo teórico de un computador, el cual es capaz de simular cualquier algoritmo computable, pero también tiene su propio problema de indecidibilidad.
• ⛓ La indecidibilidad aparece en muchos contextos, incluida la mecánica cuántica, donde la brecha espectral es un ejemplo de una cuestión que no siempre se puede resolver.
• 🌐 Los conceptos de Turing y Gödel han influido en la ciencia computacional y la tecnología moderna, incluyendo la construcción de computadoras y el desarrollo de lenguajes de programación.
• 🏛 La obra de matemáticos como Cantor, Hilbert, Gödel y Turing, a pesar de sus conflictos y paradojas, ha enriquecido el entendimiento del infinito y la consistencia en las matemáticas.
• 🔗 La autorreferencia y la indecidibilidad son temas recurrentes en la matemática y la computación, mostrando que la verdad y la demostrabilidad no siempre coinciden.

Q & A

¿Qué es la conjetura de los números primos gemelos?

La conjetura de los números primos gemelos es una hipótesis que sugiere que existirán un número infinito de números primos que están separados por solo un número, como el 11 y el 13 o el 17 y el 19.

¿Quién creó el juego de la vida y en qué año?

El juego de la vida fue creado por el matemático John Conway en 1970.

¿Cómo se juega el juego de la vida de Conway y cuáles son sus reglas básicas?

El juego de la vida se juega en una grilla infinita de celdas cuadradas, donde cada celda está en un estado de vida u muerte. Hay solo dos reglas: 1) Toda celda muerta con exactamente tres vecinas vivas vuelve a la vida. 2) Cada celda viva con menos de dos vecinas vivas o más de tres vecinas vivas muere. Las reglas se aplican iterativamente para generar las siguientes generaciones de celdas.

¿Por qué el destino final de un patrón en el juego de la vida es indecidible?

El destino final de un patrón en el juego de la vida es indecidible porque no existe un algoritmo que pueda garantizar responder si un patrón se estabilizará, crecerá sin límite o se esfumará en un número finito de generaciones en un tiempo finito.

¿Quién fue Gerd Cantor y qué贡献给了 las matemáticas?

Gerd Cantor fue un matemático alemán que publicó un artículo en 1874 que impulsó una nueva rama de las matemáticas, la teoría de los conjuntos. Cantor estudió la naturaleza de los infinitos y demostró que no todos los infinitos son del mismo tamaño, introduciendo la noción de infinitos contables e incontables.

¿Qué es la paradoja de Russell y cómo afectó la teoría de los conjuntos?

La paradoja de Russell es una contradicción encontrada en la teoría de los conjuntos, en la que se cuestiona si un conjunto que contiene a sí mismo debe contenerse a sí mismo o no. Esta paradoja llevó a la necesidad de restringir el concepto de conjunto y fue un punto de discusión en el debate entre los intuicionistas y los formalistas.

¿Quién fue David Hilbert y cuál fue su visión para las matemáticas?

David Hilbert fue un matemático alemán muy influyente que trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas. Él creía que las matemáticas podían ser colocadas sobre cimientos lógicos y seguros a través de la teoría de los conjuntos y buscaba responder si las matemáticas eran completas, consistentes y decidibles.

¿Qué es el teorema de incompletitud de Kurt Gödel y qué demostró?

El teorema de incompletitud de Kurt Gödel demuestra que cualquier sistema formal de matemáticas que incluya aritmética básica tendrá afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas dentro del sistema. Además, un sistema formal consistente de matemáticas no puede probar su propia consistencia.

¿Quién fue Alan Turing y qué贡献给了 la informática?

Alan Turing fue un matemático y científico de la computación británico que inventó la máquina de Turing, un modelo teórico de una computadora. Sus ideas sobre la computabilidad y la máquina de Turing son fundamentales para la informática moderna y todas las computadoras modernas descienden de sus diseños.

¿Por qué la cuestión de la brecha espectral en la mecánica cuántica es indecidible?

La cuestión de la brecha espectral es indecidible porque, a pesar de tener una descripción completa y perfecta de las interacciones microscópicas entre las partículas de un material, no siempre es posible deducir sus propiedades macroscopicas, como la presencia o ausencia de una brecha espectral.

¿Cómo la obra de Cantor, Gödel y Turing influye en nuestra comprensión de las matemáticas y la computación?

La obra de Cantor, Gödel y Turing ha transformado nuestra comprensión del infinito, ha demostrado la existencia de afirmaciones verdaderas en las matemáticas que no pueden ser probadas y han proporcionado los cimientos para la ciencia computacional y la invención de la computadora moderna.

Outlines

00:00

😀 Incertidumbre en las matemáticas y conjetura de los números primos gemelos

El primer párrafo aborda la existencia de una falla en las matemáticas que impide alcanzar la certeza absoluta. Se menciona la conjetura de los números primos gemelos, que sugiere la existencia de un número infinito de primos separados por uno, y cómo esta conjetura aún no ha sido comprobada como verdadera o falsa, lo que denota la naturaleza incerta de las matemáticas.

05:02

🎲 El juego de la vida de Conway y sus reglas

Se describe el juego de la vida, creado por John Conway, que se juega en una grilla infinita de celdas cuadradas que pueden estar vivas o muertas. Con solo dos reglas simples, el juego puede generar una gran variedad de comportamientos, desde patrones estables hasta otros que crecen eternamente. Sin embargo, el destino final de los patrones es indecidible, es decir, no existe un algoritmo que pueda garantizar responder sobre su evolución en un tiempo finito.

10:02

🔢 Teoría de los conjuntos y la paradoja de Cantor

Este párrafo explora la teoría de los conjuntos y la paradoja encontrada por Georg Cantor, quien demostró que hay diferentes tamaños de infinitos, lo que fue un gran impacto en las matemáticas. Cantor区分了可数无限和不可数无限，展示了即使在无限集合之间，也存在着不同的大小。

15:03

💥 La fractura de las matemáticas y el debate entre intuicionistas y formalistas

Se narra cómo la teoría de Cantor generó un gran debate en la comunidad matemática, dividida entre los intuicionistas, que cuestionaban la realidad de los infinitos de Cantor, y los formalistas, liderados por David Hilbert, quienes creían en una fundamentación lógica y segura de las matemáticas a través de la teoría de los conjuntos.

20:05

🔍 La paradoja de Russell y la respuesta de los formalistas

Se examina la paradoja de Russell, que puso en entredicho la teoría de los conjuntos al plantear el concepto de un conjunto que contiene a sí mismo. La respuesta de los formalistas, liderados por Hilbert, fue restringir el concepto de conjunto para evitar tales paradojas de autorreferencia.

25:07

🧩 Indecidibilidad en diversos campos y la búsqueda de un sistema formal

El párrafo discute la indecidibilidad en varios campos, incluida la física cuántica y los mosaicos de Wang, y cómo estos problemas están relacionados con la autorreferencia. Además, se explora el intento de Hilbert de establecer un sistema formal de pruebas para fundamentar las matemáticas y responder a sus preguntas fundamentales.

30:09

🤖 La máquina de Turing y la respuesta a la indecidibilidad

Se describe la máquina de Turing, un dispositivo teórico inventado por Alan Turing, que simboliza la computación moderna y permite ejecutar cualquier algoritmo computable. La máquina de Turing demuestra la indecidibilidad en matemáticas, es decir, que no existe un algoritmo que pueda determinar si una afirmación se deduce de los axiomas en todos los casos.

🌐 Aplicaciones prácticas de la teoría de la computación y la legado de Turing

El último párrafo destaca cómo las ideas de Turing sobre la computación han impactado el mundo, desde la construcción de computadoras para descifrar códigos en la Segunda Guerra Mundial hasta la invención de la computadora electrónica programable. Aunque Turing tuvo un final trágico, su legado vive en todas las computadoras modernas, que descenden de sus diseños.

Keywords

💡Conjetura de los números primos gemelos

La conjetura de los números primos gemelos es un hipótesis en matemáticas que sugiere la existencia de un número infinito de números primos que están separados por exactamente dos unidades. En el video, se menciona como un ejemplo de afirmación matemática que podría ser verdadera pero imposible de probar, destacando la incertidumbre inherente en las matemáticas.

💡Juego de la vida de Conway

El Juego de la Vida es un出名o juego de celdas automáticas creado por el matemático John Conway en 1970. El juego se juega en una cuadrícula infinita donde cada celda puede estar en uno de dos estados: viva o muerta. Con solo dos reglas simples, el juego puede generar patrones complejos e interesantes. En el video, se utiliza como un ejemplo de un sistema matemático simple cuya complejidad y comportamiento a largo plazo son indecibles, es decir, no resoluble por un algoritmo finito.

💡Indecidibilidad

La indecidibilidad se refiere a la propiedad de ciertos sistemas matemáticos o lógicos en los que no existe un algoritmo que pueda determinar, en un tiempo finito, si una afirmación dada es verdadera o falsa. En el video, la indecidibilidad es un tema central, ilustrada a través del Juego de la Vida y otros sistemas, como los mosaicos de Wang o la física cuántica, para mostrar cómo ciertas preguntas fundamentales pueden ser inherentemente imposibles de responder.

💡Teoría de los conjuntos

La teoría de los conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia conjuntos, que son colecciones de objetos definidos de manera precisa. En el video, se menciona la teoría de los conjuntos en el contexto de la obra de Georg Cantor, quien investigó la naturaleza de los infinitos y demostró que no todos los infinitos son del mismo tamaño, lo que fue un punto de controversia en las matemáticas de su época.

💡Paradója de Russell

La paradoja de Russell, propuesta por Bertrand Russell, es una paradoja en la lógica y la teoría de los conjuntos. Se refiere a una situación en la que se considera el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. La paradoja surge cuando se cuestiona si este conjunto forma parte de sí mismo o no. En el video, se utiliza para ilustrar los problemas que surgen al permitir que los conjuntos se autoreferencien y cómo estas paradojas llevaron a la reevaluación de los fundamentos de las matemáticas.

💡Máquina de Turing

La máquina de Turing, diseñada por Alan Turing, es un modelo teórico de una computadora que se utiliza para definir y estudiar la computabilidad. En el video, la máquina de Turing es relevante porque su concepto fue fundamental para la comprensión de los límites de lo que puede ser computado, lo que se relaciona con la indecidibilidad y la no resolución de ciertas preguntas matemáticas.

💡Teorema de incompletitud de Gödel

El teorema de incompletitud de Kurt Gödel es un resultado en la lógica y las matemáticas que demostró la existencia de afirmaciones verdaderas en un sistema formal, pero que no pueden ser probadas dentro de ese sistema. En el video, se discute cómo este teorema muestra la limitación inherente de los sistemas matemáticos y cómo ciertas verdades matemáticas pueden ser incognoscibles.

💡Brecha espectral

La brecha espectral se refiere a la diferencia en energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado de un sistema cuántico. En el video, se menciona como un ejemplo de una cuestión que es indecible, es decir, no puede ser determinada a partir de una descripción completa del sistema, lo que ilustra la existencia de límites en la capacidad de predicción de la física cuántica.

💡Autoreferencia

La autoreferencia es cuando un sistema o una expresión se refiere a sí mismo. En matemáticas y lógica, la autoreferencia puede llevar a paradojas, como la paradoja de Russell. En el video, la autoreferencia es un tema recurrente que se relaciona con la indecidibilidad y la complejidad de ciertos sistemas matemáticos y lógicos.

💡David Hilbert

David Hilbert fue un matemático alemán prominente que trabajó en múltiples áreas de las matemáticas. En el video, se menciona a Hilbert en relación con su programa formalista, que buscaba establecer las matemáticas sobre un fundamento lógico y seguro a través de la teoría de los conjuntos, y su impacto en la comprensión de la consistencia y la completitud en las matemáticas.

💡Alan Turing

Alan Turing fue un matemático, lógico y criptógrafo británico conocido por su trabajo fundamental en la ciencia computacional, la computabilidad y la criptografía. En el video, Turing se destaca por su contribución a la comprensión de los límites de las computadoras y la resolución de problemas matemáticos, a través de su diseño de la máquina de Turing y su papel en la Segunda Guerra Mundial.

Highlights

Existe una falla en las matemáticas que implica que siempre habrá afirmaciones verdaderas que no pueden ser probadas.

La conjetura de los números primos gemelos sugiere que hay un número infinito de primos gemelos, pero aún no se ha podido probar ni refutar.

El juego de la vida de Conway es un ejemplo de un sistema matemático simple con reglas básicas que puede generar patrones complejos e indecibles.

La teoría de los conjuntos de Cantor revolucionó la comprensión del infinito, mostrando que no todos los infinitos son del mismo tamaño.

La paradoja de Russell sobre el barbero y los conjuntos autoreferenciales desafió la consistencia de la teoría de los conjuntos.

David Hilbert, líder de los formalistas, creía que la teoría de los conjuntos podría proporcionar un fundamento seguro para las matemáticas.

El teorema de incompletitud de Gödel demuestra que cualquier sistema formal de matemáticas que incluya aritmética básica es incompleto y no puede probar su propia consistencia.

La máquina de Turing es un modelo teórico que define los límites de lo que una computadora puede calcular.

La indecidibilidad aparece en múltiples contextos, desde los mosaicos de Wang hasta la física cuántica, lo que muestra la universalidad de ciertos problemas matemáticos.

La brecha espectral en la mecánica cuántica es un ejemplo de una cuestión indecidible que afecta las propiedades fundamentales de los materiales.

El concepto de computabilidad de Turing y la idea de las máquinas de Turing son fundamentales para la ciencia de la computación moderna.

La vida y obra de Alan Turing, desde su contribución a la ciencia de la computación hasta su papel en la Segunda Guerra Mundial, tuvieron un impacto duradero en el mundo.

El legado de David Hilbert, a pesar de las limitaciones de su sueño formalista, vive en los dispositivos computacionales que usamos hoy en día.

La comprensión de las paradojas y limitaciones fundamentales de las matemáticas ha llevado a avances en la ciencia y la tecnología, en lugar de llevar a la desintegración de la disciplina.

La autorreferencia en las matemáticas y la aparición de paradojas ha sido clave para el desarrollo de conceptos como la máquina de Turing y la teoría de la computabilidad.

El trabajo de matemáticos como Cantor, Hilbert, Gödel y Turing ha influido en áreas tan diversas como la física cuántica y la informática.

Transcripts

existe una falla en el fondo de las

matemáticas una falla que significa que

nunca sabremos todo con certeza siempre

habrá afirmaciones que no podremos

probar nadie sabe cuáles son exactamente

esas afirmaciones pero podrían ser algo

como la conjetura de los números primos

gemelos los primos gemelos son números

primos separados por solo un número como

el 11 y el 13 o el 17 y el 19 y a medida

que los números ascienden los primos

ocurren menos seguido por lo que los

primos gemelos son menos comunes aún

pero esta conjetura dice que hay un

número infinito de primos gemelos que

nunca se acaban

hasta este momento nadie ha probado que

esta conjetura sea verdadera o falsa

pero lo curioso es esto quizás nunca lo

sepamos porque lo que sí ha sido probado

es que en cualquier sistema matemático

en el que puedas hacer aritmética básica

siempre habrá afirmaciones verdaderas

que son imposibles de probar

eso es la vida

específicamente este es el juego de la

vida creado en 1970 por el matemático

jon conway quien tristemente falleció de

kobe 19 en 2020 el juego de la vida de

conway se juega en una grilla infinita

de celdas cuadradas cada una de ellas

está viva o muerta y solo existen dos

reglas uno toda celda muerta con tres

vecinas vivas vuelve a la vida 2 cada

celda viva con menos de dos o más de

tres vecinas vivas muere una vez que has

montado el orden inicial de las celdas

las dos reglas se aplican para crear la

próxima generación de celdas y luego la

siguiente y la siguiente y así

sucesivamente es automático conway lo

llamo un juego para hacer jugadores pero

aunque las reglas son simples el juego

puede generar una gran variedad de

comportamientos algunos patrones se

vuelven estables una vez que surgen no

se modifican otros oscilan hacia

adelante y atrás repetidamente algunos

viajan a través de la grilla eternamente

como esta forma de aquí

y muchos patrones simplemente se esfuman

pero algunos de ellos continúan

creciendo eternamente continúan

generando nuevas celdas

quizás creas que con estas sencillas

reglas del juego podrías tan solo

observar cada patrón y determinar qué

sucederá con el alcanzará eventualmente

la estabilidad y seguirá creciendo sin

límite pero lo que sucede es que estas

preguntas son imposibles de responder el

destino último de un patrón en el juego

de la vida de conway es indecidible

quiere decir que no existe un algoritmo

posible que garantice responder estas

preguntas en una cantidad de tiempo

finita claro que podría dejar

desarrollarse a ese patrón y ver qué

sucede ya que las reglas del juego son

una clase de algoritmo después de todo

pero eso tampoco te garantiza una

respuesta y aunque lo dejes

desarrollarse por un millón de

generaciones no serás capaz de

determinar si durar eternamente o tan

solo dos millones de generaciones o un

millón de millones o un googleplex hay

algo especial acerca del juego de la

vida que hace que sea indecidible

no de hecho existe una enorme cantidad

de sistemas que son indecibles los

mosaicos de wang la física cuántica los

sistemas de tickets de las aerolíneas e

incluso el juego magic the gathering

para comprender cómo es que la

invisibilidad aparece en todos estos

sitios debemos viajar 150 años al pasado

a un momento revolucionario para las

matemáticas

en 1874 el matemático alemán gerd kánter

publicó un artículo que impulsó una

nueva rama de las matemáticas la teoría

de los conjuntos un conjunto es

simplemente una colección bien definida

de objetos los dos zapatos en tus pies

son un conjunto como también todos los

planetarios del mundo son un conjunto

hay un conjunto vacío y un conjunto con

todo en el

cantur estaba estudiando los conjuntos

de números como los números naturales

positivos enteros como 1234 etcétera y

el de los números reales que incluyen

fracciones como un tercio o cinco medios

incluso números irracionales como pi y

la raíz cuadrada de dos básicamente

cualquier número que pueda ser

representado con un decimal infinito se

preguntaba hay más números naturales o

más números reales entre 0 y 1

la respuesta puede parecer obvia hay una

cantidad infinita de ambos por lo que

ambos conjuntos deberían tener el mismo

tamaño pero para comprobar esta lógica

cantor imagino escribir una lista

infinita uniendo cada número natural a

un lado con un número real entre cero y

uno del otro lado como cada número real

tiene decimales infinitos no hay uno que

vaya primero que otro por lo que podemos

anotar los en orden aleatorio lo

fundamental es asegurarse de que no se

repitan y alinear los uno a uno con un

número entero

si podemos hacer eso sin que nos sobre

ninguno entonces sabremos que el

conjunto de números naturales y el de

números reales entre 0 y 1 son del mismo

tamaño asumamos que hemos hecho esto

tenemos una lista completa e infinita de

cada entero actuando como número índice

un identificador único de cada número

real de la lista ahora dice kánter

comienza a escribir un nuevo número real

para hacerlo tomamos el primer dígito

del primer número y le sumamos 1 luego

tomamos el segundo dígito del segundo

número y nuevamente sumamos 1 luego el

tercer dígito del tercer número y

sumamos 1 y seguimos así con toda la

lista si el número es un 9 convierte lo

en un 8 para el fin de este proceso

tendrás un número real entre 0 y 1

pero aquí está el asunto este número no

aparecerá en ningún lugar de la lista es

diferente del primer número en el primer

dígito decimal del segundo en el segundo

dígito decimal y así consecutivamente

tiene que ser diferente de cada uno de

los números de la lista en al menos un

decimal el número en esta diagonal

por esto es llamada la prueba de

diagonal y zación decanter demuestra que

debe haber más números reales entre 0 y

1 que números naturales extendiéndose al

infinito por lo que no todos los

infinitos son del mismo tamaño

cantur los llamo infinitos contables e

incontables respectivamente y de hecho

hay muchos más infinitos incontables que

son aún más grandes el trabajo de cantor

fue considerado un gran golpe a las

matemáticas por dos mil años los

elementos de euclides se consideraron

los cimientos de la disciplina pero a

comienzos del siglo diecinueve

lobatchewski gauss descubrieron las

geometrías no euclidianas lo que lanzó a

los matemáticos a examinar más

atentamente los cimientos de sus

disciplinas y no les gustó lo que

encontraron la idea de un límite en el

centro del cálculo resultó estar

pobremente definida y ahora cantor

estaba probando que el infinito mismo

era mucho más complejo de lo que

imaginaron entre toda esta conmoción la

matemática se fracturó y se desató un

enorme debate entre los matemáticos a

fines del siglo 19 de un lado se

hallaban los intuición quienes creían

que el trabajo de cantor no tenía

sentido estaban convencidos de que la

matemática era una creación pura de la

mente humana y que los infinitos como

los de kantor no eran reales enrico and

care dijo que las futuras generaciones

de terminarían que la teoría de los

conjuntos será una enfermedad de la que

se habrían recuperado leopold crónicas

llamó a cantor un científico charlatán y

un corruptor de la juventud y trabajo

para que cantor no consiguiera un empleo

que quería en el bando opuesto estaban

los formalistas ellos creían que las

matemáticas podían ser colocadas sobre

cimientos lógicos y seguros a través de

la teoría de los conjuntos el líder

informal de los formalistas era el

matemático alemán david hilbert gilbert

era una leyenda viva un matemático muy

influyente que había trabajado en casi

todas las áreas de la matemática casi

pública antes que a instan acerca de la

relatividad general desarrolló conceptos

nuevos en las matemáticas que fueron

cruciales para la mecánica cuántica y

sabía que el trabajo de control era

brillante gilbert estaba convencido de

que un sistema más formal y riguroso de

pruebas basadas en la teoría de los

conjuntos podría resolver todos los

problemas que habían surgido en

matemática en aquel siglo y la mayoría

de los matemáticos se acordaba con él

nadie no se expulsará del paraíso que

cantor ha creado declaró gilbert pero en

1901 bertrand russell señaló un serio

problema en la teoría de los conjuntos

él sabía que si los conjuntos podían

contener cualquier cosa también podrían

contener otros conjuntos o incluso a sí

mismos por ejemplo el conjunto de todos

los conjuntos debe contenerse a sí mismo

así como el conjunto de conjuntos con

más de cinco elementos podríamos incluso

hablar del conjunto de conjuntos que se

contienen a sí mismos pero esto nos

lleva directamente a un problema que

sucede con r el conjunto de todos los

conjuntos que no se contienen a sí

mismos cierre no se contiene a sí mismo

entonces deberá contenerse a sí mismo

pero si eres si se contiene a sí mismo

entonces por definición no deberá

contenerse a sí mismo entonces rc

contiene a sí mismos y sólo si no se

contiene a sí mismo russell había

encontrado otra paradoja de

autorreferencia que luego le explicaría

utilizando una analogía un tanto peluda

imaginemos un pueblo enteramente poblado

por hombres adultos con una extraña ley

en contra de las barbas

la ley dice que el barbero del pueblo

deberá afeitar a todos y cada uno de los

hombres que no se afeitan a sí mismos

pero el barbero mismo también vive en el

pueblo y es un hombre entonces quién lo

afeita él si él no se afeita a sí mismo

entonces el barbero debe afectarlo pero

el barbero no puede afeitarse a sí mismo

porque el barbero no afecta a nadie que

se afeite a sí mismo así que el barbero

debe afeitarse sí y sólo si él no se

afeita a sí mismo es una contradicción

los intuición istas celebraron la

paradoja de russell creyendo que probaba

que la teoría de los conjuntos tenía

fallas irresolubles pero ser melo y

otros matemáticos de la escuela de

gilbert lo solucionaron restringiendo el

concepto de conjunto por eso la

colección de todos los conjuntos por

ejemplo ya no es un conjunto tampoco lo

es la colección de todos los conjuntos

que no se contienen a sí mismos

esto elimino las paradojas de

autorreferencia gilbert y los

formalistas sobrevivieron a esta ronda

pero la autorreferencia se negaba a

desaparecer tan fácilmente

viajemos a la década de 1960 cuando el

matemático hao wang se hallaba

estudiando mosaicos cuadrados con

diferentes colores en cada lado las

reglas eran que los bordes en contacto

deben ser del mismo color y no puedes

rotar o invertir las piezas sólo

deslizar las la pregunta era si te dan

un conjunto arbitrario de estos mosaicos

puedes determinar si cubrirán un plano

es decir pueden conectarse sin huecos y

cubrir un plano infinito

la respuesta es que no puedes determinar

a partir de un conjunto arbitrario de

mosaicos si cubrirán el plano o no

el problema es indecidible justo como el

destino de un patrón en el juego de la

vida de conway de hecho es exactamente

el mismo problema y ese problema en

última instancia proviene de la

autorreferencia como gilbert y los

formalistas estaban a punto de descubrir

gilbert quería asegurar los cimientos de

las matemáticas desarrollando un nuevo

sistema para las pruebas los sistemas de

pruebas eran una idea anticuada

originaria de la antigua grecia un

sistema de prueba comienza con un axioma

una afirmación básica que es asumida

como cierta como que una línea recta

puede ser dibujada entre dos puntos las

pruebas se construyen desde esos axiomas

usando reglas de inferencia métodos para

usar afirmaciones existentes y derivar

en nuevas afirmaciones que se utilizan

para preservar la verdad las

afirmaciones existentes son verdaderas

por eso también lo son las nuevas

hibbert quería un sistema formal de

pruebas un idioma simbólico lógico con

un conjunto rígido de reglas para

manipular esos símbolos así las

afirmaciones lógicas y matemáticas

podrían ser traducidas a este sistema si

dejas caer un libro y éste cae sería a

implicar

y ningún humano es inmortal sería

expresado así

gilbert y los formalistas querían

expresar los axiomas de las matemáticas

como afirmaciones simbólicas en un

sistema formal y establecer las reglas

de inferencia como las reglas del

sistema para manipular los símbolos así

razón junto a alfred nord whitehead

desarrolló un sistema formal como éste

en los tres volúmenes de principia

mathematica publicados en 1913 principia

mathematica es extenso son unas 2.000

páginas de densos apuntes matemáticos le

toma 762 páginas sólo arribar a una

prueba completa de que uno más uno es

igual a dos momento en el cual russell y

whitehead irónicamente señalan que esta

proposición es ocasionalmente útil los

autores habían planeado un cuarto

volumen pero como era de esperar estaban

demasiado agotados como para terminarlo

los apuntes si son densos y extenuantes

pero también son exactos a diferencia de

los lenguajes ordinarios no deja espacio

para que errores o lógicas confusas se

entremezclen y fundamentalmente te

permite probar propiedades del sistema

formal en sí mismo

existían tres grandes preguntas que

gilbert quería responder sobre las

matemáticas número uno es la matemática

completa es decir hay alguna forma de

probar toda afirmación verdadera todas

las afirmaciones verdaderas tienen sus

pruebas número dos son las matemáticas

consistentes es decir es libre de

contradicciones si puedes

simultáneamente probar ahí probar que ya

no es tal entonces eso es un problema

porque puedes probar cualquier cosa y

número tres es la matemática decidí blé

es decir existe un algoritmo que pueda

siempre determinar si una afirmación se

desprende de axiomas

gilbert estaba convencido de que la

respuesta a las tres preguntas era así

en una gran conferencia en 1930 gilber

dio un encendido discurso acerca de

estas preguntas lo finalizó con una

frase que resumía su sueño formalista en

oposición al iluso ignora vimos que

quiere decir no sabremos nuestro eslogan

será debemos saber sabremos

estas palabras están literalmente en su

tumba

pero para cuando gilbert dio este

discurso su sueño ya estaba

derrumbándose justo el día anterior en

una reunión en la misma conferencia a un

lógico de 24 años llamado cord code

explicaba que había encontrado la

respuesta a la primera de las preguntas

referida a la completitud y la respuesta

era no un sistema formal completo de la

matemática era imposible el único que le

prestó atención fue john von neumann

previamente estudiante de gilbert quien

lo apartó a google para hacerle

preguntas pero al año siguiente

google publicó una prueba de su teorema

de incompletitud y esta vez todos

incluyendo a gilberto le prestaron

atención

así es como funciona la prueba de google

google quería usar la lógica y la

matemática

para responder preguntas sobre

justamente el sistema de la lógica y la

matemática por eso tomo todos estos

símbolos básicos del sistema matemático

y le asignó a cada uno un número esto se

conoce como el número de google de los

símbolos entonces el símbolo para no

obtiene el número uno o tiene el número

de google 2 si entonces obtiene el

número 3 bien si expresas estos símbolos

mediante números que es lo que haces con

los números en sí mismos bueno 0 obtiene

su propio número agudo del 6 y si

quieres escribir el número 1 le agregas

este símbolo sucesor al lado el sucesor

inmediato de 0 es 1 y si quieres

escribir el 2 entonces debes escribir

ese 0 y eso representa el 2 y así

podrías representar cualquier número

entero positivo de esta forma es cierto

que es engorroso pero funciona y ese es

el punto de este sistema ahora que

tenemos números google para todos los

símbolos básicos y para todos los

números que podríamos usar podemos

comenzar a escribir ecuaciones por

ejemplo cero es igual a cero estos

símbolos tienen los números de google

656 así podemos crear una nueva carta

que represente esta ecuación 0 es igual

a 0 y la forma de hacerlo es tomando los

números primos comenzando desde el 2 y

elevamos cada uno a la potencia del

número del símbolo en nuestra ecuación

obtenemos así 2 a la sexta potencia por

3 a la quinta por 5 a la sexta esto

equivale a 243 millones entonces

243 millones es el número de google que

equivale a la ecuación 0 es igual a 0

podemos anotar números de google para

cada conjunto de símbolos que puedan

imaginar esto realmente es un mazo de

cartas infinito en el cual cualquier

conjunto de símbolos que quieras anotar

en una secuencia se puede representar

con un número de google único y la

belleza del número google es que puedes

hacer una factorización con números

primos y averiguar exactamente qué

símbolos componen esta carta en todo

este mazo de cartas habrá afirmaciones

verdaderas y afirmaciones falsas cómo

haces para probar que algo es verdadero

bien necesitas apelar a los axiomas los

axiomas también tienen sus propios

números google que se forman de la misma

manera aquí tenemos un axioma que dice

no el sucesor de cualquier número x es

igual a 0 lo cual tiene sentido porque

en este sistema no hay números negativos

y por ende el sucesor de cualquier

número no puede ser 0 entonces colocamos

este axioma y luego podemos sustituir x

por 0

diciendo que uno no es igual a cero y

hemos creado una prueba que es la más

simple que se me ocurre que muestra que

uno no es igual a cero esta carta es la

prueba de que uno no es igual a cero y

obtiene su propio número wood y la forma

de calcularlo es como lo hicimos antes

tomamos los números primos y elevamos 2

a la potencia del axioma por 3 elevado a

la potencia 1 no es igual a 0 y

obtenemos un número tremendamente largo

tendría 73 millones de dígitos y lo

calcularemos así que lo dejé aquí en su

notación exponencial como puedes ver

estos números se hacen bastante largos y

por eso quizás quieras comenzar a

llamarlos por letras podríamos decir que

este es el número google y este es el

número del número del cce etcétera

jude se toma todo este trabajo para

hallar esta carta

que dice que no hay prueba para la

afirmación con el número wood g

el truco es que el número gol de esta

carta es g

entonces esta afirmación en realidad

está diciendo que esta carta es

indemostrable no hay prueba alguna en

nuestro mazo infinito para esta carta

piénsalo si es falso y hay una prueba lo

que acabas de probar es que no hay

pruebas estás estancado en una

contradicción

eso significaría que el sistema

matemático es inconsistente

la otra alternativa es que esta carta es

verdadera no hay pruebas para la

afirmación con el número google pero eso

querría decir que este sistema

matemático tiene afirmaciones verdaderas

que no tienen pruebas por lo que tu

sistema matemático está incompleto y ese

es el teorema de incompletitud de wood

así es como él demuestra que cualquier

sistema matemático que cuente con

aritmética básica siempre tendrá

afirmaciones dentro de él que son

verdaderas pero que no tienen pruebas

hay un diálogo en la serie de office que

ilustra la paradoja autorreferencial de

la prueba de good time es mi enemigo

pero resulta que james también su propio

peor enemigo y el enemigo de mi enemigo

es mi amigo por lo que jim es en verdad

mi amigo

pero como es su propio peor enemigo el

enemigo de mi amigo es mi enemigo por lo

que realmente jim es mi enemigo

pero

el teorema de la incompletitud de google

significa que la verdad y la demostrar y

lidad no son lo mismo en absoluto

gilbert estaba equivocado siempre habrá

afirmaciones verdaderas sobre la

matemática que no pueden ser probadas

gilbert podría conformarse con la

esperanza de que al menos aún podemos

probar que la matemática es consistente

o sea libre de contradicciones pero

luego google publicó su segundo teorema

de incompletitud donde demostró que

cualquier sistema formal consistente de

la matemática es incapaz de probar su

propia consistencia así que tomando

ambos teorema de incompletitud de google

estos dicen que lo mejor a lo que puedes

aspirar es a un sistema consistente pero

incompleto de la matemática pero un

sistema como ese no puede probar su

propia consistencia por lo que algunas

contradicciones pueden aparecer en el

futuro revelando que el sistema con el

que trabajas ha sido inconsistente todo

el tiempo y eso nos deja la tercera y

última gran pregunta de gilbert es la

matemática decidí blé hay algún

algoritmo que pueda siempre determinar

si una afirmación surge de los axiomas y

en 1936 alan turing encontró una manera

de responder a ésta pero para lograrlo

tuvo que inventar la computadora moderna

en su época las computadoras no eran

máquinas eran personas comúnmente

mujeres que desarrollaban largos y

tediosos cálculos turín imagino una

computadora enteramente mecánica quería

que fuera tan poderosa como para llevar

a cabo cualquier cómputo imaginable pero

lo suficientemente sencilla como para

que puedas seguir el razonamiento de la

operación por lo tanto imagino una

máquina que recibe como información una

cinta infinitamente larga de celdas

cuadradas que contienen un cero o un 1

la maquina poseía un cabezal de lectura

y escritura que podía leer un dígito a

la vez luego podría realizar una de las

siguientes tareas reescribir un nuevo

valor moverse a la izquierda a la

derecha o simplemente detenerse

detenerse implicaría que el programa ha

finalizado el programa consiste en un

conjunto de instrucciones internas

puedes pensarlo como un diagrama de

flujo que le indica a la máquina qué

hacer en base al dígito que lee y su

estado interno

podemos imaginar la exportando estas

instrucciones a cualquier otra máquina

de turing que luego se comportaría de la

misma forma que la primera a pesar de

que esto suene simple la memoria grande

y arbitraria de una máquina touring

significa que puede ejecutar cualquier

algoritmo computable si se le brinda el

tiempo suficiente de la suma a la resta

hasta el algoritmo completo de youtube

puede hacer lo mismo que cualquier

computadora moderna

por eso la máquina de turing fue tan

útil para responder la pregunta de

gilbert acerca de la de civilidad cuando

una máquina touring se detiene el

programa ha terminado de correr y la

cinta es el resultado pero a veces una

máquina touring nunca se detiene quizás

se trabe en un bucle infinito es posible

predecir antes de que suceda si se

detendrá o no a partir de una

información determinada touring noto que

el problema sobre la detención era

similar al problema de lo indecible si

encontrase una manera de averiguar si

una máquina touring se detendría también

podría decidir si una afirmación se

deduce de los axiomas por ejemplo

podrías resolver la conjetura de los

primos gemelos escribiendo un programa

que comience con el axioma y construya

todos los teoremas que se producirían en

un solo paso usando las reglas de

inferencia luego construiría todos los

teoremas que se podrían producir en un

solo paso y así sucesivamente cada vez

que genere un nuevo teorema verifica si

es la conjetura de los primos gemelos y

si lo es se detendría y si no lo es

nunca se detendría así que si se pudiese

resolver el problema de la detención

podría resolver la conjetura de los

primos gemelos y toda pregunta sin

responder entonces touring propuso

asumir que podemos hacer una máquina h

que puede determinar si cualquier

máquina touring se detendría o no a

partir de cierta información insertas el

programa introduce la información y h

simula lo que sucederá imprimirá ya sea

se detiene o nunca se detiene por ahora

no nos preocupamos acerca de cómo

funciona h sólo sabemos que siempre

funciona y siempre da la respuesta

correcta podemos modificar la máquina h

al sumarle componentes adicionales 1 es

que si recibe el resultado se detiene

inmediatamente ingresa en un bucle

infinito otro que si recibe nunca se

detiene inmediatamente se detiene

llamar a esta nueva máquina h plus y

podemos exportar el programa para toda

esa máquina

ahora bien qué sucede si le damos a esta

máquina su propio código tanto como un

programa y como una entrada de

información bueno ahora está simulando

lo que h plazo haría a partir de su

propia entrada esencialmente h debe

determinar el comportamiento de una

máquina de la cual ella misma es parte

en exactamente estas circunstancias

si concluye que h plast jamás se

detendrá esto hace inmediatamente que h

plus se detenga

si concluye que h plan se detendrá

entonces eso necesariamente fuerza h

plaza centrar en un bucle infinito

cualquiera sea el resultado que la

máquina de detención h nos dé resulta

ser el erróneo hay una contradicción la

única explicación es que una máquina

como h no puede existir no hay forma de

determinar en general si una máquina

touring se detendrá o no a partir de una

entrada determinada

y esto significa que la matemática es

indecidible no existe algoritmo que

pueda siempre determinar si una

afirmación se desprende de los axiomas

así que algo como la conjetura de los

primos gemelos podría ser irresoluble

quizás nunca sepamos si existen

infinitos números primos o no el

problema de la indeci debilidad incluso

aparece en los sistemas físicos en la

mecánica cuántica una de las más

importantes propiedades de un sistema de

muchos cuerpos es la diferencia en

energía entre su estado fundamental y su

primer estado excitado esto se conoce

como la brecha espectral algunos

sistemas tienen una brecha espectral

significativa mientras que otros carecen

de brecha hay un continuo de niveles de

energía hasta el estado fundamental esto

es importante porque a bajas

temperaturas los sistemas cuánticos sin

brecha pueden atravesar transiciones de

fase mientras que los que tienen brecha

no no poseen la energía necesaria para

superar la brecha espectral pero

averiguar si un sistema posee una brecha

o no es algo hace tiempos ávidamente

dificultoso

recién en el último tiempo en 2015 los

matemáticos probaron que en general la

cuestión de la brecha espectral es

indecidible para citar a los autores

incluso una descripción completa y

perfecta de las interacciones

microscópicas entre las partículas de un

material no es siempre suficiente para

deducir sus propiedades microscópicas

recuerda que touring construyó sus

máquinas para hacer computadoras tan

poderosas como sean posible de hacer hoy

en día los mejores sistemas

computacionales son aquellos que pueden

hacer todo lo que podían hacer las

máquinas touring esto es llamado la

completitud de touring y de hecho hay

varios de estos sistemas completos a

pesar de ser poderosos todo sistema

completo de touring viene con un truco

su propia analogía del problema de la

detención alguna propiedad indecidible

del sistema los mosaicos de wang son

completos según touring su problema de

detención es si completarán el plan o no

los sistemas cuánticos complejos son

completos según touring y su problema de

detención es la cuestión de la brecha

espectral el juego de la vida es

completo según touring y su problema de

detención es literal si se detiene o no

existen muchos ejemplos como los

sistemas de tickets de las aerolíneas el

juego magic the gathering las

diapositivas de power point o los

documentos de excel casi todos los

lenguajes de programación están

diseñados para ser completo según

touring pero en teoría sólo necesitamos

un lenguaje de programación porque

puedes programar cualquier cosa

utilizando cualquier sistema completo de

touring aquí tenemos una máquina de

turing dentro del juego de la vida

y como el juego de la vida es en sí

mismo completo en términos de touring

debería ser capaz de simular sé a sí

mismo y de hecho lo es

este es el juego de la vida

desarrollando el juego de la vida

[Música]

el verdadero legado del sueño de david

gilbert son todos nuestros dispositivos

computacionales

cort sufrió episodios de inestabilidad

mental durante el resto de su vida

convencido de que había gente intentando

envenenarlo se negó a alimentarse hasta

finalmente morir de hambre

gilbert falleció en 1943 su epitafio fue

su frase de 1930 debemos saber sabremos

la verdad es que no sabemos a veces no

podemos saber pero en el intento de

averiguarlo podemos descubrir cosas

nuevas cosas que cambian el mundo alan

turing empleó sus ideas sobre

computación en la segunda guerra mundial

liderando al equipó que construyó

verdaderas máquinas de calcular para

descifrar códigos nazis según una

estimación la inteligencia que touring y

sus colegas obtuvieron de mensajes de

cifrados a corto la guerra de dos a

cuatro años después de la guerra touring

y johnson noiman diseñaron la primera

computadora electrónica programable real

línea que se basó en los diseños de

touring pero touring no vivió para ver

sus ideas desarrollarse mucho más en

1952 el gobierno británico lo condenó

por conducta indecente al enterarse que

era gay se le quitó su autorización de

seguridad y se lo forzó a inyectarse

hormonas en 1954 decidió suicidarse

[Música]

turing cambio el mundo es considerado

como la figura fundadora más importante

de la ciencia computacional todas las

computadoras modernas descienden de sus

diseños pero sus ideas sobre la

computabilidad aparecieron gracias a su

concepto de la máquina touring que a su

vez vino al considerar la pregunta de

gilbert acerca de la invisibilidad de la

matemática por lo que las máquinas para

descifrar códigos de turing y en efecto

todas las computadoras modernas

provienen de las extrañas paradojas que

surgen de la autorreferencia

hay una falla en el fondo de las

matemáticas una falla que significa que

nunca sabremos todo con certeza siempre

habrá afirmaciones verdaderas que no

pueden ser probadas y quizás creas que

la comprensión de esto conduciría a los

matemáticos a la locura y a la

desintegración de la iniciativa

matemática pero sin embargo considerar

este problema transformó el concepto del

infinito cambió el rumbo de una guerra

mundial y nos guió directamente a la

invención del dispositivo en el que

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[Música]

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