Graphing Rational Functions Using Transformations With Vertical and Horizontal Asymptotes

Summary

本视频讲解了如何通过变换来绘制有理函数的图形。内容涵盖了多个典型函数的图像变换，如反射、平移等。通过对 1/x、-1/x、1/x² 等函数的变化过程和图形特征进行详细讲解，帮助理解垂直渐近线和水平渐近线的作用，以及如何利用这些变换求解函数的定义域和范围。视频还通过一系列示例，展示了如何根据变换调整图形，并得出函数的准确范围和定义域。

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Q & A

什么是有理函数的垂直渐近线？

有理函数的垂直渐近线是当分母为零时，函数值趋向于无穷大或无定义的位置。在给出的脚本中，1/x 和 -1/x 的垂直渐近线都位于 x=0 处。

如何识别有理函数的水平渐近线？

水平渐近线是指函数值趋向一个固定值（如 y=0）时的水平线。脚本中提到，1/x 和 -1/x 的水平渐近线是 y=0。

1/x 和 -1/x 的图形有什么区别？

1/x 和 -1/x 的主要区别在于图形的反射：1/x 图形存在于第一和第三象限，而 -1/x 图形是相对于原点的反射，存在于第二和第四象限。

1/x 和 -1/x 为什么是奇函数？

1/x 和 -1/x 是奇函数，因为它们的图形关于原点对称，即 f(-x) = -f(x)，这意味着它们的对称轴是原点。

1/x² 和 -1/x² 的图形有何不同？

1/x² 和 -1/x² 的图形都是偶函数，关于 y 轴对称。1/x² 的图形总是位于 x 轴之上，而 -1/x² 的图形总是位于 x 轴之下。

如何确定有理函数的定义域？

有理函数的定义域是所有 x 值的集合，除去使分母为零的 x 值。例如，对于 1/x 和 -1/x，定义域是所有实数，除了 x=0。

如何确定有理函数的值域？

有理函数的值域是所有可能的 y 值的集合。一般来说，值域排除水平渐近线的值。例如，1/x 的值域是除 0 以外的所有实数。

x+2 在分母中的有理函数与 1/x 有何不同？

x+2 在分母中的有理函数表示图形相对于 1/x 图形向左平移了 2 个单位。垂直渐近线从 x=0 移动到 x=-2，水平渐近线仍然是 y=0。

1/x-3 的图形如何变化？

1/x-3 的图形相对于 1/x 向右平移了 3 个单位，并且由于有负号，它在原来图形的上下位置发生反转，存在于第二和第四象限。

加上常数 3 会如何影响 1/x 的图形？

在 1/x 的图形上加上常数 3 会使得图形的水平渐近线从 y=0 上移到 y=3，垂直渐近线仍然是 x=0。