Función a trozos: gráfica, dominio y rango

julioprofe
22 Jun 201213:39

Summary

TLDREn este ejercicio, se construye la gráfica de una función definida por partes, compuesta por una función cuadrática, una función lineal y una función constante. A través de tablas de valores y restricciones en el dominio, se obtienen puntos para representar cada componente en el plano cartesiano. Se explica cómo se determinan el dominio y el rango de la función usando analogías con sombras proyectadas por una lámpara. El dominio incluye todos los números reales, mientras que el rango va desde -1 hasta infinito. Finalmente, se concluye que todos los valores del eje y mayores o iguales a -1 participan en la función.

Takeaways

  • 📊 La función a analizar está definida por trozos o partes, con tres componentes: una función cuadrática, una función lineal y una función constante.
  • 🟢 El primer componente es una función cuadrática restringida a los valores de x menores o iguales que -1.
  • 📐 El segundo componente es una función lineal (y = x), que está restringida a los valores de x entre -1 y 1.
  • 📏 El tercer componente es una función constante (y = -1), definida para los valores de x mayores que 1.
  • ✍️ Se construyen tablas de valores para cada componente de la función para representar sus puntos en el plano cartesiano.
  • 🔵 En el gráfico, se utilizan puntos cerrados para incluir los valores y puntos abiertos para excluir los límites según las restricciones.
  • 🖋️ La primera parte de la función cuadrática forma una parábola que se extiende hacia la izquierda.
  • 📉 El segundo componente, la función lineal, es una recta que une dos puntos: (-1, -1) y (1, 1).
  • 📏 La función constante se representa como una línea horizontal desde x = 1 hacia adelante, con el valor de y constante en -1.
  • 🔍 El dominio de la función son todos los números reales, ya que cubre todas las posibles entradas de x.
  • 🌐 El rango de la función son todos los valores de y mayores o iguales que -1, que van desde -1 hasta el infinito.

Q & A

  • ¿Qué es una función a trozos o una función definida por partes?

    -Una función a trozos o función definida por partes es aquella que está compuesta por diferentes expresiones matemáticas, cada una de las cuales se aplica a un rango específico del dominio de la función.

  • ¿Cuáles son los tres componentes de la función a trozos que se analizan en el ejercicio?

    -El primer componente es una función cuadrática con una restricción, el segundo componente es una función lineal también restringida, y el tercer componente es una función constante que se aplica para valores de X mayores que 1.

  • ¿Cómo se construye la gráfica del primer componente de la función?

    -Se construye seleccionando valores de X menores o iguales que -1, y calculando los correspondientes valores de Y utilizando la fórmula cuadrática. Los puntos obtenidos forman una porción de parábola que se grafica en el plano cartesiano.

  • ¿Por qué se utiliza un punto cerrado en X = -1 para el primer componente?

    -El punto en X = -1 es cerrado porque la función está definida como menor o igual que -1, lo que significa que el valor de X = -1 está incluido en el dominio de este componente.

  • ¿Cómo se representa gráficamente el segundo componente, que es una función lineal?

    -Se seleccionan dos puntos, -1 y 1, porque es una función lineal. Se grafica una recta que conecta estos puntos, utilizando un punto abierto en X = -1 (porque no está incluido) y un punto cerrado en X = 1 (porque sí está incluido).

  • ¿Qué caracteriza a la tercera función, el componente constante?

    -La tercera función es constante, con Y = -1 para valores de X mayores que 1. Se grafica como una línea horizontal que empieza en X = 1 con un punto abierto, ya que X = 1 no está incluido.

  • ¿Cómo se determina el dominio de una función a partir de su gráfica?

    -El dominio se determina proyectando la gráfica sobre el eje X. La parte del eje X que queda sombreada por la gráfica representa los valores de X que forman el dominio. En este caso, el dominio de la función es todo el conjunto de números reales.

  • ¿Qué significa que el dominio de la función sean todos los números reales?

    -Significa que la función está definida para cualquier valor de X, sin ninguna restricción en el conjunto de los números reales.

  • ¿Cómo se calcula el rango de la función utilizando la gráfica?

    -El rango se determina proyectando la gráfica sobre el eje Y. La parte del eje Y que queda a oscuras representa los valores posibles de Y. En este caso, el rango va desde -1 hasta infinito positivo.

  • ¿Cómo se puede expresar el rango de esta función a trozos?

    -El rango se puede expresar como los valores de Y mayores o iguales que -1, lo que se escribe como el intervalo [-1, ∞).

Outlines

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