Continuidad de una función | Ejemplo 3

Summary

En este vídeo, se aborda un ejercicio de continuidad matemática donde se busca determinar los valores de las constantes 'a' e 'b' para que una función definida por una cuadrática y una cúbica sea continua en todos los reales. El punto de división es x=1, y se explica que para la continuidad, el valor de la función en ese punto debe coincidir con los límites tanto por la izquierda como por la derecha. Tras analizar los límites y establecer la condición de triple igualdad, se resuelve que 'a' debe ser igual a 'b' para asegurar la continuidad de la función. El video es didáctico y se recomienda para aquellos interesados en aprender sobre continuidad en matemáticas.

Takeaways

• 🔢 El objetivo del vídeo es resolver un ejercicio sobre continuidad de funciones para determinar los valores de las constantes 'a' e 'b'.
• 📐 Se analiza la continuidad de una función compuesta por una cuadrática y una cúbica, dividida en dos partes según el valor de 'x'.
• 🎯 La continuidad se debe analizar en el punto 'x = 1', donde hay una posible discontinuidad debido a la división de la función.
• 👉 Para garantizar la continuidad, la imagen de 'x = 1', el límite cuando 'x' tiende a 1 por la izquierda y el límite cuando 'x' tiende a 1 por la derecha deben ser iguales.
• 🔍 Se evalúa la función para el caso 'x < 1' y 'x ≥ 1' para encontrar las expresiones correspondientes.
• 📘 Se calcula el límite de la función por la izquierda como '1 - a' y por la derecha como '1 - b' cuando 'x' se acerca a 1.
• ✅ Para lograr continuidad, se establece que los límites por la izquierda y derecha deben ser iguales, es decir, '1 - a' debe ser igual a '1 - b'.
• 📌 Se resuelve la igualdad para encontrar el valor de 'a' y 'b', resultando que 'a' debe ser igual a 'b' para que la función sea continua.
• 📚 El vídeo compara este resultado con el de un tutorial previo, donde se obtuvo el mismo resultado para la continuidad de una función.
• 👏 El presentador anima a los espectadores a dar 'me gusta' y suscribirse al canal si les gustó el contenido del vídeo.

Q & A

¿Qué objetivo tiene el vídeo?

El objetivo del vídeo es resolver un ejercicio sobre continuidad de funciones, específicamente determinar los valores de las constantes 'a' e 'b' para que una función sea continua en todos los reales.

¿Qué tipo de función se está analizando en el vídeo?

Se está analizando una función que se divide en dos partes: una cuadrática y una cúbica, y se está investigando su continuidad en el punto x = 1.

¿Por qué es importante analizar la continuidad en el punto x = 1?

Es importante porque en este punto se divide la función, pasando de una cuadrática a una cúbica, y se puede haber una posible discontinuidad debido a la división.

¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función sea continua en un punto?

Para que una función sea continua en un punto, debe existir la imagen de ese punto, y debe ser igual al límite cuando x tiende a ese punto por la izquierda y por la derecha.

¿Cómo se evalúa la función para encontrar f1 en el vídeo?

Se evalúa la función observando que para valores de x menores que 1, no entra en la parte cuadrática, y para valores mayores o iguales a 1, entra en la parte cúbica, evaluando x al cubo menos b.

¿Cuál es el límite de la función por la izquierda cuando x tiende a 1?

El límite por la izquierda cuando x tiende a 1 es 1 - a, ya que se acerca por la parte de la función cuadrática, x al cuadrado menos a.

¿Y el límite de la función por la derecha cuando x tiende a 1?

El límite por la derecha cuando x tiende a 1 es 1 - b, ya que se acerca por la parte de la función cúbica, x al cubo menos b.

¿Cómo se garantiza la continuidad en el punto x = 1?

Se garantiza la continuidad asegurando que el valor de la función en x = 1 sea igual al límite por la izquierda y al límite por la derecha, es decir, 1 - a debe ser igual a 1 - b.

¿Cómo se resuelve la ecuación para encontrar los valores de 'a' e 'b'?

Se resuelve la ecuación despejando una de las variables, obteniendo que 'a' debe ser igual a 'b' para cumplir con la condición de continuidad.

¿Cuál es la conclusión del vídeo sobre la continuidad de la función?

La conclusión es que para que la función sea continua en x = 1, 'a' y 'b' deben tomar el mismo valor, lo cual es coherente con lo visto en tutoriales pasados.

Outlines

00:00

📘 Análisis de Continuidad en una Función

En este vídeo se aborda el tema de la continuidad de funciones, específicamente cómo determinar los valores de las constantes 'a' e 'i' para que una función definida por una combinación de funciones cuadrática y cúbica sea continua para todos los reales. Se enfatiza la importancia de que la imagen del punto de división (x=1), el límite cuando x tiende a 1 desde la izquierda y el límite cuando x tiende a 1 desde la derecha, deben coincidir para garantizar la continuidad. Se explica que para la función cuadrática, el valor en x=1 es '1-a', mientras que para la función cúbica, los límites desde la izquierda y la derecha son '1-b'. Para asegurar la continuidad, se debe cumplir que '1-a' sea igual a '1-b', lo que implica que 'a' y 'b' deben ser iguales.

Keywords

💡Continuidad

La continuidad en matemáticas se refiere a la propiedad de una función de que no hay saltos o discontinuidades en sus valores. En el vídeo, se busca asegurar que la función definida por una expresión cuadrática y otra cúbica sea continua en el punto x = 1. Esto se logra cuando el valor de la función en x = 1 y los límites laterales coinciden, como se ve cuando se evalúa y se calcula el límite por la izquierda y por la derecha.

💡Función cuadrática

Una función cuadrática es una función de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0. En el guion, se menciona una función cuadrática que se evalúa para valores de x menores y mayores o iguales a 1, siendo parte de la función definida que se está analizando para la continuidad.

💡Función cúbica

Una función cúbica es una función de la forma f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, donde a, b, c y d son constantes y a ≠ 0. En el vídeo, se menciona una función cúbica que se evalúa para valores de x mayores o iguales a 1, y es parte de la función que se estudia en relación con la continuidad.

💡División

La división en el contexto del vídeo se refiere a la operación matemática que se realiza con las funciones cuadrática y cúbica. La división es un punto de atención especial para la continuidad, ya que puede causar discontinuidades si no se maneja adecuadamente, como se analiza en el punto x = 1.

💡Límite

El límite en matemáticas es el valor que asume una función cuando la variable se acerca a un punto específico. En el vídeo, se calculan los límites laterales de la función por la izquierda y por la derecha en el punto x = 1 para determinar si la función es continua en ese punto.

💡Triple igualdad

La triple igualdad se refiere a la condición de que el valor de la función en un punto, el límite por la izquierda y el límite por la derecha deben ser iguales para que la función sea continua en ese punto. En el vídeo, se busca garantizar esta condición para demostrar la continuidad de la función en x = 1.

💡Constantes a e i

Las constantes a e i son parámetros en la función que se están analizando para garantizar la continuidad. Se busca determinar los valores de estas constantes para que la función cumpla con la condición de continuidad en el punto x = 1, como se demuestra a través de las ecuaciones y cálculos del vídeo.

💡Ejercicio

El término 'ejercicio' en el vídeo hace referencia a un problema práctico que se resuelve para ilustrar un concepto matemático, en este caso, la continuidad de funciones. El ejercicio se utiliza para enseñar cómo se aplican los principios de continuidad a una función específica.

💡Análisis

El análisis en matemáticas implica examinar y estudiar un problema para encontrar soluciones o comprender mejor un concepto. En el vídeo, se hace un análisis de la continuidad de la función en el punto x = 1, lo que incluye evaluar la función y calcular los límites para determinar los valores de las constantes.

💡Tutorial

Un tutorial es una guía educativa que ayuda a los estudiantes a aprender un tema o concepto. El vídeo es presentado como un tutorial para explicar cómo se determina la continuidad de una función, utilizando ejemplos y pasos detallados para enseñar el proceso.

Highlights

Objetivo del vídeo: Resolver un ejercicio sobre continuidad de funciones.

Función dada: Una función cuadrática y otra cúbica que se intersectan.

Condición de continuidad: La imagen de x=1 debe ser igual al límite cuando x tiende a 1 tanto por la izquierda como por la derecha.

Análisis de continuidad en x=1: Se evalúa la función y se determina la expresión en el punto de división.

Función para x < 1: Se evalúa la función cuadrática y se obtiene la expresión 1 - a.

Límite por la izquierda: Se busca el límite cuando x tiende a 1 y se obtiene la expresión 1 - b.

Límite por la derecha: Se busca el límite cuando x tiende a 1 y se obtiene la expresión 1 - b.

Condición para la continuidad: Se debe garantizar que los límites por la izquierda y derecha sean iguales al valor en x=1.

Ecuación para la continuidad: 1 - a debe ser igual a 1 - b.

Resolución de la ecuación: Se despeja la variable 'a' y se obtiene que a debe ser igual a b.

Conclusión: Para que la función sea continua, 'a' y 'b' deben ser iguales.

Comparación con un tutorial previo: Se menciona que el resultado es similar al de un tutorial anterior.

Invitación a la audiencia: Se anima a los espectadores a dar 'me gusta' y suscribirse al canal.

Saludo final y promesa de un próximo vídeo.

Transcripts

nada

la gracia

a

[Música]

[Música]

hola en este vídeo vamos a resolver otro

ejercicio sobre continuidad debemos

determinar el valor de las constantes a

ive en la siguiente función para que sea

continúan todos los números reales un

ejercicio similar al del anterior vídeo

entonces tenemos una función cuadrática

y abajo una función cúbica estas

funciones siempre son continuas pero acá

se está dividiendo entonces debemos

analizar la continuidad en el punto x

igual a 1

aquí es donde hay una división de ser

una cuadrática pasa a ser una función

cúbica tenemos que tener siempre claro

que debe pasar para que la función sea

continua en un punto en este caso x

igual a 1 entonces debe existir la

imagen de 1 y debe ser igual al límite

cuando x tiende a 1 por la izquierda

y debe ser igual al límite cuando

extienda a uno por la derecha de la

función ya que si esto pasa el límite

existe y al tener el mismo valor que la

función hay continuidad debemos

garantizar esta triple igualdad

hagámoslo

para ello empezaremos hallando f1

debemos evaluar la función y miremos

donde entra el 1 aquí no entraría porque

entre los valores más pequeños que 1

luego entraría en esta parte aquí dice

que son los mayores o iguales que uno

sería x al cubo menos b es decir 1 al

cubo menos b 1 elevado al cubo me da uno

menos b me daría 1 - b esta operación no

se puede hacer la dejamos expresada así

que ya tenemos esta expresión

1 - b ahora vamos a hallar el límite

cuando extiende a 1 por la izquierda de

esta función eso es buscar el límite

cuando x tienda 1 y nos vamos a acercar

a esta función por la izquierda es decir

los números más pequeños que 1 x es

menor que 1 aquí es donde están esos

valores más pequeños que 1 luego por

esta función nos estaríamos acercando

por la izquierda x al cuadrado menos a

y si queremos hacerlo por la derecha

debemos encontrar el límite cuando

extienda a uno pero al acercarnos por la

derecha

tendríamos que ingresar por esta función

porque aquí están los equis más grandes

que uno sería por la función x al cubo

menos b

encontremos estos límites aplicamos

principio de sustitución entonces sería

1 al cuadrado

- ah

1 cuadrados 1 - almería 1 - y por este

lado sería

1

v 1 x 1 - bm quedaría expresado 1

entonces encontramos que el límite

cuando x tienda 1 por la izquierda nos

da 1 - y cuando x tienda 1 por la

derecha de la función es 1 - b debemos

garantizar para que haya continuidad que

estas tres expresiones son iguales aquí

la igualdad de estas dos expresiones 1 -

b con 1 b o sea que para garantizar la

continuidad solo nos basta con

garantizar esta igualdad que tenemos acá

que 1 - a sea igual a 1 b y así

tendríamos la triple igualdad que

necesitamos resolvamos esto que tenemos

acá para ello vamos a despejar alguna de

las dos letras

entonces va a despejar por ejemplo a

menos a va a ser igual a 1 - b y este

uno que está positivo pasa como negativo

o sea que menos a es igual a uno menos

uno se cancela me da cero y me quedaría

menos b

ahora multiplicamos por menos 1 ambos

lados y nos daría que a debe ser igual a

b encontramos la solución para que esta

función sea continua a y b deben tomar

el mismo valor pasó lo mismo que vimos

en el tutorial pasado nos dio el mismo

resultado si a toma el mismo valor que

ve entonces esta función es continua

espero hayas entendido el tema que

tratamos de explicar en este tutorial si

te gusto nuestro vídeo no olvides darle

me gusta y suscribirte a nuestro canal

espero que estés muy bien hasta un

próximo vídeo