4 Teorema de Green
Summary
TLDREl script proporciona una explicación detallada del Teorema de Green, una herramienta fundamental en el cálculo vectorial que relaciona integrales de línea con integrales dobles. Se discute cómo el teorema se aplica a regiones cerradas y acotadas en el plano, y cómo las orientaciones positivas y negativas de las fronteras de estas regiones afectan el cálculo. Se ofrecen ejemplos prácticos, como el cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que recorre una frontera, y cómo el teorema se puede utilizar para encontrar áreas de regiones determinadas. Además, se explora la parametrización de regiones y la importancia de considerar la orientación de las curvas en los cálculos. El script concluye con un ejemplo que muestra cómo el Teorema de Green puede simplificar significativamente el cálculo de áreas y la integral de línea en regiones complejas, como el disco perforado.
Takeaways
- 📚 El teorema de Green relaciona una integral de línea con una integral doble, siendo fundamental en el cálculo vectorial.
- 🔄 Las regiones de integración deben tener fronteras orientadas, distinguiendo entre orientación positiva (sentido antihorario) y negativa (sentido horario).
- 📐 Para regiones de tipo 1 y 2, las fronteras se pueden descomponer en curvas simples que cumplen con las condiciones del teorema de Green.
- 🌀 El teorema de Green permite calcular la integral de línea de un campo a través de una integral doble sobre la región delimitada por la frontera.
- ⚙️ Se pueden aplicar el teorema de Green a regiones múltiplemente convexas, con ciertos agujeros, siempre y cuando se trate adecuadamente.
- 📝 En el ejercicio, se verifica el teorema de Green calculando tanto la integral doble como la integral de línea para un campo y una región dada, mostrando que ambos resultados coinciden.
- 🛠️ El teorema de Green simplifica cálculos cuando la parametrización de la frontera de una región es complicada o cuando el campo tiene componentes que facilitan el cálculo a través de una integral doble.
- 🔢 La integral doble en el teorema de Green involucra la resta de laspartials de las componentes del campo vectorial con respecto a las coordenadas x e y.
- 🔴 Se puede utilizar el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de la frontera de una región.
- 🛑 En regiones con agujeros, como un disco perforado, se puede dividir la región en subregiones donde el teorema de Green se aplica sin problemas y luego sumar las integrales dobles correspondientes.
- 🔵 El teorema de Green también se puede usar para calcular el área de una región cuya frontera es una forma cerrada simple, transformando una integral de línea en una integral doble.
Q & A
¿Qué es el teorema de Green?
-El teorema de Green es una herramienta matemática que relaciona una integral de línea con una integral doble en el contexto del cálculo vectorial. Permite calcular la integral de línea de un campo a lo largo de la frontera de una región, usando una integral doble sobre la propia región.
¿Cómo se define la orientación positiva de una región en el teorema de Green?
-La orientación positiva de una región se refiere a recorrer su frontera en sentido antihorario, de tal manera que siempre se tiene la región de interés a la izquierda del recorrido.
¿Cuáles son las dos formas de orientación para las regiones en el teorema de Green?
-Las dos formas de orientación son positiva y negativa. En la orientación positiva, la frontera se recorre en sentido antihorario con la región de interés a la izquierda. En la orientación negativa, se recorre en sentido horario, con la región de interés a la derecha.
¿Cómo se pueden descomponer las regiones de tipo 1 y 2 en curvas simples para aplicar el teorema de Green?
-Las regiones de tipo 1 y 2 se pueden descomponer en cuatro curvas simples. Para una región de tipo 1, estas curvas son: de izquierda a derecha (c1), de abajo hacia arriba (b2), de derecha a izquierda (c2) y de arriba hacia abajo (b1). Para una región de tipo 2, el orden es similar pero con orientaciones opuestas.
¿Qué condiciones debe cumplir un campo para aplicar el teorema de Green?
-Un campo debe tener componentes de clase 1 en la región para aplicar el teorema de Green. Esto significa que las componentes del campo deben ser funciones continuas y tener derivadas continuas en la región considerada.
¿Cómo se calcula la integral doble en el teorema de Green?
-La integral doble en el teorema de Green se calcula como la diferencia entre la parcial de la primera componente del campo con respecto a x y la parcial de la segunda componente con respecto a y, evaluada sobre la región d.
¿En qué casos el teorema de Green no se aplica directamente?
-El teorema de Green no se aplica directamente en regiones que no sean simplemente conexas, es decir, en regiones con agujeros o múltiplemente conexas, donde es necesario tratarlas de forma adecuada para poder aplicar el teorema.
¿Cómo se utiliza el teorema de Green para calcular el área de una región?
-Para calcular el área de una región usando el teorema de Green, se puede interpretar la integral de línea como una integral doble donde el integrando es la primera componente del campo vectorial multiplicada por el diferencial de x. Esto permite calcular el área de la región como una integral doble en lugar de una integral de línea.
¿Cómo se calcula el trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de la frontera de una región?
-El trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de la frontera de una región se calcula a través de la integral de línea del campo vectorial sobre la frontera de la región. Si el campo es conservativo y la región simplemente conexa, esto se puede transformar en una integral doble utilizando el teorema de Green.
¿Cómo se aplican coordenadas polares en el cálculo de una integral doble en el teorema de Green?
-Las coordenadas polares se aplican en el cálculo de una integral doble cuando la región de integración tiene una forma simétrica que se ajusta mejor a estas coordenadas, como en el caso de un círculo o una elipse. El cambio a coordenadas polares simplifica los límites de integración y a menudo permite cancelar términos en el integrando, facilitando el cálculo.
¿Cómo se resuelve el problema de calcular la integral de línea sobre una región con un agujero usando el teorema de Green?
-Para regiones con agujeros, se divide la región en subregiones más simples donde el teorema de Green se puede aplicar individualmente. Luego, se suman las integrales dobles de cada subregión, teniendo en cuenta las orientaciones de las fronteras y cómo se superponen o se cancelan mutuamente.
Outlines
😀 Introducción al Teorema de Green
Se presenta el teorema de Green, que relaciona una integral de línea con una integral doble. Se destaca su importancia en el álculo vectorial y se recuerda la noción de orientación positiva y negativa de las regiones y sus fronteras. Se describe cómo orientar las fronteras de regiones de tipo 1 y tipo 2 y se menciona la descomposición de las curvas en cuatro curvas simples.
🎓 Aplicación del Teorema de Green
Se describe cómo el teorema de Green permite calcular una integral de línea a través de una integral doble cuando se tiene un campo vectorial de clase 1 sobre una región cerrada. Se mencionan los límites de integración y se habla sobre las ventajas de utilizar el teorema de Green en lugar de parametrizar directamente las curvas.
📐 Ejemplos de Aplicación del Teorema de Green
Se presentan ejemplos prácticos de cómo aplicar el teorema de Green para calcular integrales de línea. Se muestra cómo dividir una región en varias partes para aplicar el teorema y se calcula la integral de línea sobre las fronteras de estas regiones. Además, se demuestra cómo el resultado de la integral de línea coincide con el de la integral doble, validando el teorema de Green.
🔍 Consideraciones para Regiones con Agujeros
Se discuten las consideraciones especiales que se deben tener en cuenta cuando se aplican el teorema de Green a regiones con múltiples conexas o agujeros. Se describe el proceso de dividir una región en subregiones más simples donde el teorema puede aplicarse sin problemas y se ilustra con un ejemplo de un disco perforado.
🧮 Cálculo de Áreas con el Teorema de Green
Se muestra cómo el teorema de Green también puede utilizarse para calcular el área de una región cerrada simple. Se menciona que la integral de línea puede interpretarse como el área de la región y se aplica esto a la elipse como ejemplo, demostrando una forma más sencilla de calcular su área en comparación con una integral doble.
🚀 Conclusión y Despedida
Se hace una revisión final de las aplicaciones del teorema de Green y se despide al público, indicando que se verán en la próxima ocasión. Se resalta la utilidad del teorema de Green en el cálculo de integrales y áreas de regiones cerradas.
Mindmap
Keywords
💡Teorema de Green
💡Integral de línea
💡Integral doble
💡Campo vectorial
💡Trabajo
💡Cálculo vectorial
💡Regiones múltiplemente conexas
💡Parametrización
💡Área
💡Coordenadas polares
💡Cálculo de áreas con el Teorema de Green
Highlights
El teorema de Green relaciona una integral de línea con una integral doble en cálculo vectorial.
Se discute la importancia de las orientaciones positivas y negativas de las regiones en el ámbito de las integrales.
Se describe cómo la orientación positiva de una región implica que la mano izquierda del observador siempre queda dentro de la región.
Se explica que el teorema de Green permite calcular la integral de línea de un campo a través de una integral doble en la región.
Se menciona la posibilidad de descomponer las fronteras de regiones en curvas simples para facilitar el cálculo de integrales.
Se destaca la utilidad del teorema de Green para campos conservativos en cálculo de trabajo realizado por un campo sobre una partícula.
Se proporciona un ejemplo práctico de cómo aplicar el teorema de Green para calcular áreas en regiones cerradas acotadas por curvas.
Se discute la aplicación del teorema de Green en regiones múltiplemente conexas, incluyendo regiones con agujeros.
Se ilustra cómo el teorema de Green puede simplificar el cálculo de la integral de línea al permitir su cálculo a través de una integral doble.
Se ofrece un ejemplo de cálculo de la integral de línea sobre la frontera de una región en el primer cuadrante, usando el teorema de Green.
Se describe el proceso de parametrización de curvas para el cálculo de integrales de línea en regiones específicas.
Se muestra cómo se pueden calcular integrales de línea en regiones con múltiples segmentos de curvas, como semicírculos y segmentos de recta.
Se explica cómo el teorema de Green se puede aplicar en regiones con formas complejas, como un disco perforado, dividiendo la región en partes más simples.
Se discute la utilidad del cambio de variables en coordenadas polares para simplificar cálculos de integrales dobles en regiones simétricas como círculos.
Se presenta un ejemplo de cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre una partícula que se mueve a lo largo de una frontera de región usando el teorema de Green.
Se ilustra cómo el teorema de Green puede ser utilizado para calcular áreas de regiones cerradas simples, como el área de una elipse.
Transcripts
[Música]
[Aplausos]
[Música]
hola chicos en esta ocasión vamos a ver
lo que es el teorema de green bay que es
básicamente lo que hace es relacionar
una integral de línea con una integral
doble sale es uno de los problemas
importantes de lo que es el cálculo
vectorial relaciona una integral de
línea con una integral doble sale
entonces para ello vamos a recordar por
ahí
recuerden que cuando estamos hablando de
integrantes dobles teníamos regiones
equipo o no o de tipo 2
entonces esas regiones no nos interesan
sus fronteras
de esa región de esas regiones pensamos
en una de este estilo de este estilo
este vamos a poder orientar si sus
fronteras de dos de dos formas una
orientación recuerden positiva y otra
negativa la orientación positiva se
refiere a que vamos a recorrer su
frontera
en sentido antihorario
y
y eso qué quiere decir que vamos a
siempre
orientar la frontera o la ola la unión
de las curvas que forman la frontera de
la región ya sea de tipo uno de equipo
dos en sentido antihorario otra forma de
verlo si es lo siguiente si nosotros
caminamos
alrededor de la región sobre la frontera
de la región siempre obviamente en
sentido este antihorario o bien en la
orientación positiva siempre nuestra
mano izquierda quedaría dentro de la
región que nos interesa dentro de la
región que nos interesa la región cuya
frontera precisamente esta curva na
qué pasa si vamos en sentido horario si
en sentido de las manecillas del reloj
si nosotros vamos caminando en este
sentido nuestra mano izquierda siempre
queda fuera de la región que nos
interesa sale entonces esa es la
diferencia que en la orientación
positiva siempre nuestra mano izquierda
de adentro y en la orientación negativa
en nuestra mano izquierda va a quedar
fuera
entonces para el teorema de greene nos
interesan orientaciones positivas tal
vez es digamos que la convención la
orientación positiva vamos a denotar la
como se más y la negativa conoce menos
entonces pues recuerden nada más hay dos
orientaciones para este tipo de regiones
entonces pues la positiva es la que nos
interesa l
en caso de que tengamos por ejemplo una
región tipo 1 y tipo 2 este de este
estilo entonces cómo vamos a orientar
pues nuestra nuestra nuestra curva que
es la frontera de la región ya sea de
tipo 1 tipo de esta manera podemos
descomponer si la curva en 4 si aquí lo
manejamos la curva c en la orientación
pues yo la podemos descomponer en cuatro
curvas
si uno hace 11 b2 c2 y veo aquí nada más
los signos que tienen cada una
significa pues que sea uno va de
izquierda a derecha v2 va de abajo hacia
arriba c 2 va de derecha a izquierda por
eso en menos y esteve uno va de arriba
hacia abajo
la anotación y si tenemos una región si
se fijan entes de tipo 1 si tenemos una
región de tipo 2 es la misma idea no b1
b2 b2 y c1 tener de izquierda a derecha
de abajo hacia arriba de este derecha a
izquierda y de arriba hacia abajo
entonces esta es la forma en la que
nosotros vamos a orientar positivamente
una región de tipo uno de tipo 2 sale
descomponiendo en cuatro curvas cada una
de ellas pues curvas simples este sea
uno sí y que cumplen pues bueno bueno
que van a cumplir las condiciones del
programa the way sale igual recuerden si
nosotros vamos caminando sobre la
frontera que es la curva sí que aquí
está la región d pues siempre nuestra
mano va a quedar mano izquierda va a
quedar dentro de la región igual ésta
también
ahora que nos dice el teorema de green
problema de green que nos dice suponga
que tienen una región de que cerrada
acotada si en r2 cuya frontera se la ha
denotado así como delta de la frontera
desde donde nuestra curva ya consta de
un número finito de curvas simples
cerradas si éste es que son se uno por
par sale entonces
[Música]
lo que nos dice el teorema es que si
tengo un campo cuyas componentes son
vehículo de clase 1 sobre la región de
entonces está integral de línea se puede
calcular con esta integral doble nada
más noten que el integrando de la
integral doble pues va a ser la parcial
de con respecto a x menos la parcial de
p respecto allí sale entonces ese es el
cálculo que vamos a estar haciendo
y esta integral pueden ser los límites
de integración no nos va a definir pues
quien sea la región d
mientras acá nosotros parametrizar vamos
a lo mejor chica vamos si era un campo
conservativo etcétera no acá simplemente
vamos a integrar esta resta de parciales
sobre la región de vale y podemos ir en
ambos sentidos
ahora vamos tenemos una integral de
línea y en la cual pues el parametrizar
el calcular todo es algo más tardado más
complicado pues la podemos calcular por
una integral doble o bien el otro
sentido a veces es cuando tenemos aquí
éste
ciertas ciertos campos buenos ciertos
componentes del campo que son de tal
forma que
queremos calcular pues el área por
ejemplo de donde la región de estos lo
podemos usar lo podemos calcular más
bien con una integral de línea si
conociendo obviamente la parametrización
de la frontera de la región de saleh
entonces esos son los dos casos en los
que se pueden calcular
otra otro comentario es que
hay otras regiones sí que tienen ellos
le llaman múltiplemente conexas si ésta
es una más región pero que tiene de
ciertos hay agujeros entonces en esos
casos también se puede aplicar el
teorema de ley sale entonces también hay
que considerarlo nada más ahí hay que
tratarlo de forma adecuada y se puede
aplicar a los vamos a ver un par de
ejemplos que relacionen lo que estamos
comentando sale entonces aquí lo que nos
pide es en este ejercicio pues verifica
el teorema de greene que significa que
cuando nos dicen verifica el teorema de
verín
pues si calculamos a ambos lados la
integral doble y la integral de línea y
veamos que en realidad los resultados
coinciden salen
entonces lo que vamos a hacer aquí es
eso nos da nuestro campo y nos dicen se
es la frontera de la región en el primer
cuadrante
y de energía una cortada por las
gráficas de raíz de x el eje pues el eje
xy esta red
entonces primeramente vamos a a graficar
la región sale la región acotada por
estas tres curvas aquí es también la
raíz de x aquí está la recta igual a
menos x + 2 y en la recta llegó a la
cero o bien el eje toda esta región en
verde pues es la región de la que
estamos hablando entonces nosotros
queremos calcular la integral de línea
sobre estas esta frontera de la región
de que si se fijan pues la podemos
descomponer en tres curvas a c1 c2 c3 ok
entonces pues vamos a proceder a
calcular la integral doble y luego la
integran de línea parametrizado cada una
de las curvas
este pues es un segmento de de rectas de
también y esta la podemos parametrizar
sí poniendo x igual a t
a raíz de té más que acuérdense es una
orientación opuesto ya eso ya nosotros
vimos cómo obtener una reparación en
sentido opuesto sane y entonces pues
vamos a calcular la integral doble ahí
si ustedes se fijan podemos ver esta
región como una región de tipo 2 en el
que la lleva variada entre constantes de
0 a 1 si se fijan
y la equis va a variar de esta curva que
es adecuada a esta recta que es menor si
más 2
vamos a
a ver qué por green este integral de
líneas en realidad un integral doble
vamos a declarar la integran doble como
les comentaba parcial de q que es la
segunda componente respecto a x que es 4
y menos parcial de respecto a y que es
menos 4 y el menos cuando menos se hace
más y queda 8 y los límites como les
comentaba de 0 a 1 i y xv adecuada menos
de más 2 calculamos la primera integral
nos da esto la segunda y al final
evaluamos de 0 a 1 y nos da distancia
si entonces por teorema de grain está
enterando de línea en lugar de
parametrizar y calcular todo simplemente
lo calculamos la calculamos con un
integral doble se nos da de starz
ahora vamos a hacer el otro el otro lado
que sería parametrizar cada una de estas
tres curvas c1 c2 c3 y evaluar la
integral de línea como ya sabemos
entonces es también pues la puedo para
matizar como t como a 0 donde te va de 0
a 2
simplemente no luego la c2 la puedo
parametrizar como bueno alguien con la
parametrización de un segmento de recta
comienza aquí termina acá nos queda 2 -
de tomate de 0 a 1 finalmente acuérdense
este esta parte citó de la raíz de x el
acuerdo parametrizar como 3com a raíz de
t pero no pueden ser una parametrización
si en sentido opuesto lo que nos dice es
evalúa
a menos que en este caso a más veces 011
la evaluamos en 1 - de jalea y recuerden
verla la repara matriz acción en sentido
opuesto queda de esta forma que entonces
ya para mí utilizamos cada uno de los
lados de esta región de lo bueno cada
una de las de las curvas que acotan a la
región de entonces ya podemos calcular
la integral de línea entonces procedemos
para alfa on noten que que vale cero en
nuestra parte es cero el diferencia de
que también vale cero a cero todos de
más ser luego en c 2 c 2
pues aquí comienza a evaluar aquí va a
quedar t cuadrada 2 d cuadrada que está
me el diferencial de x pues va a ser un
menos
dt con éste menos se hace más
luego el 4 x 4 por x que es 2
porque que éste y el diferencial de ya
que es de aquí es también entonces
evaluamos esta integral me da 10 tras ok
lo mismo hacemos con c3 aquí la x es 1 -
x sus diferenciales menos de te la
llevas en la raíz su diferencia en los
menos de tres sobre dos por la misma
raíz y procedemos el valor de x que es
uno menor no perdón de x es menos de t
con el menos se hace más de 40 al
cuadrado pues quedan 1 - desde luego 4x
lie eminem que es la raíz con el 10 se
cancela en esas raíces y queda menos un
medio de dt menos un medio pues sale
este menos el 4 que está aquí entre 2
ale 2 la equis y el dt noten que esto
quede exactamente lo mismo se hace 0
entonces miel por la definición de la
integral de línea pues simplemente es la
suma de las integrales donde se conoce
de 12-3 componen a la curva ce ya que es
la frontera de la región de entonces
sumamos todas las integrales y al final
nos queda 2 tertsch recuerden que la
primera en la tercera nos dieron 0 la
segunda nos dio the jester en efecto
como nos decía el teorema pues la
integral de línea pues va a ser igual a
10 tercias que es el mismo valor que
obtuvimos con la integral doble salem
entonces de ahí pues la ventaja del
problema de green es que en lugar de
parametrizar y que a lo mejor nuestra
nuestra curva puede ser compuesta por
digamos cada curvas que a lo mejor se
han puesto un poco tardadas de
parametrizar de calcular cada integral
la podemos hacer en una sola entidad
y salió
vamos a ver otro ejemplo en el que nos
dice sabes que este es mi campo para
calcular el trabajo realizado por este
campo sobre la partícula que se mueve a
lo largo de la frontera de la región
acotada por la intersección de estas
curvas a leb entonces en sentido entidad
y entonces pues vamos a graficar la
región
noten que éste es una uve que es el
valor absoluto
este es un círculo de radio 2 entonces
ambas curvas
se intersectan estos tres puntos y
forman una región sí que es un cuarto de
semis de decir con eso un cuarto de
círculo
y en la partícula la va a estar
recorriendo en sentido antihorario al
entonces pues una opción sería
parametrizar estos segmentos luego el
semicírculo bueno un cuarto de círculo
luego en otro segmento y calcular la
integral en cada uno de estos
este grado de estas tres curvas entonces
otra forma pues es aplicar teorema de
greene acuérdense de esta región pues
ésta es acotada esté cerrada
es su frontera está formada por tres
curvas simples se uno entonces no tienen
ningún problema entonces podemos aplicar
problema de greim y finalmente calcular
esa integral o ese trabajo de central de
línea como una integral doble sobre esta
región salen los noten que aquí dado que
es un cuarto de disco podemos aplicar
integrar este un cambio de variable a
coordenadas polares
de hecho si se fijan en el ángulo va de
pi cuartos a tres cuartos y el radio va
de cero a dos talentos vamos a aplicar
el teorema de gray que nos dice derivar
la segunda componente respecto a x aquí
está menos la parcial de la primera
componente respecto a ye que es menos
buenos más 8
aplicamos
el cambio de variable está en una guerra
que es el resultado una matriz de de
parciales o bien hakobyan o de rd tent
atenta de pi cuartos a tres cuartos y r
de cero a dos
entonces integramos quedan muy sencillas
las integrales una vez más y nos queda o
chopin entonces el trabajo realizado por
esta por este campo de fuerzas sobre la
partícula que se mueve en la frontera de
la región d sería de 8 p
vale entonces eso sería pues un ejemplo
más del teorema de la aplicación del
tema de crítica
ahora bien resulta que en algunas
ocasiones como les decía se puede
aplicar en el teorema de greene en
ciertas regiones con hoyos y con
agujeros por ejemplo esta de aquí es un
disco perfora si entonces no incluye
esta esto de aquí que sería en el área
del círculo cuya frontera es de 22 aquí
la frontera del círculo más de la radio
mayores según si entonces como se
procede en estos casos simplemente es
ahí mediante un cierto truco minen
consiste en lo siguiente este disco lo
dividimos en cuatro si con estas rectas
lo partimos en d1 d2 d3 y d4 en esta
región por ejemplo en de un pensemos que
está contada por una parte de ese 1 este
arco menem
luego este segmento de recta que une ese
1 con 0 este otro trozo de ese 2 y este
otro segmento que une c2 con seguro
entonces en la región de 1 nosotros
podemos aplicar sin ningún problema el
teorema de green valley
también lo podemos hacer para c 2 pero
no para de 2 de tres y de cuatro tal
entonces dividimos nuestro disco nuestra
arandela en cuatro regiones cada en cada
una de las cuales podemos aplicar el
teorema de green sin ningún problema ya
si se fijan en la de uno no hay ninguna
perforación no hay ningún hoyo ni en la
de 2003 ni en de cuatro
entonces por ejemplo para de uno
este la integral de línea sobre toda la
curva que es la frontera de de uno va a
ser igual a que pulsa la integral doble
cy sobre de uno de la parcial de cv sin
respecto x - la parcial de ella nada más
que la integral de de línea sobre la
estas cuatro curvas yo le escribo aquí
me como la suma de todas noten que es la
integral de línea del campo sobre este
trozo que les comentaba deseo lo que le
llamó hace 11 step esta parte sí que
significan es un cuarto deseo de veces
uno no usa de toda la curva que es el
círculo de
de temas más externos y entonces este
trozo de c-1 que es el once más la
integral del campo sobre gama uno que es
este segmento en este sentido sí más la
entrada de eje sobre el este otro trozo
de c2 que le llamamos de 21 aquí está
más la integran de línea del campo sobre
llamados que es el otro segmento que uno
hace dos conservan entonces si se fijan
por el teorema de green pensándolo en
esta región de uno se cumple esta
igualdad no la integral de línea sí que
la podemos dividir en cuatro
entrante línea sobre la frontera desde 1
es igual a la entidad doble de estas
parciales
y lo mismo podemos hacer para este de 2
lo mismo miren navas que ahora va a ser
de 12 gamma 3 c 22 y llama 1 pero en
sentido opuesto se fijan es el mismo
segmento pero en sentido opuesto lo
mismo hacemos para de 3 pero ahora con
gama 3 pero en sentido opuesto salen
gama 4 etcétera no tenga aquí es algo
importante esta integral de línea que
sobre gama 1 y esta integral de niña al
sumarlas se cancelan porque porque están
en sentidos opuestos es sobre el mismo
segmento pero en sentidos opuestos lo
mismo con gama a3 gama 4 y gama 2 salen
porque m porque se los comento pues
porque al final como lo estamos haciendo
por separado
pero si vamos a hacer 4 integrales
dobles y una sobre de 1 de 2 de tres de
cuatro las podemos sumar podemos sumar
esas cuatro así que las estamos haciendo
por separado pero las podemos sumar si
entonces más nos va a crear una sola
integral doble sobre todo este disco
perfora opción y noten eso es en
integrales doble entonces podemos decir
que va a caer una integral doble de q vx
menos peso bien sobre de que va a ser la
unión de hecho de toda la región
d1 d2 d3 d4 y del lado derecho pues me
van a quedar la suma de todas las
integrales del ine pero noten que las
integrales sobre los segmentos de recta
me van se van a ser cero porque como es
también esta que está aquí a sumar la
con esta como son este en dirección
opuesta se van a hacer cero
si estás también sobre la matriz sobre
gamma 4 sobre gamma 2 entonces ellas se
van a cancelar que en realidad son 2 468
integrales se me van a cancelar si nada
me van a quedar este otras 8 integrales
porque pueden ser que son 4 integrales
de línea por cada región
entonces en total son 16 pero 8 se me
van a cancelar porque porque son en
direcciones opuestas
noten que me va a quedar esta sobre el
el radio bueno el círculo exterior este
también y estas estas de aquí sobre el
círculo inter nos van a ser cuatro mil
una dos tres y cuatro así que las
podemos poner en una podemos unir las
pues tomarla como lo estamos sumando
podemos unirlas en una sola integral de
línea porque porque precisamente esos
cuatro este curvas conforman hace un
entonces del lado derecho nada me van a
quedar básicamente dos integrales una
historial sobre ese uno y la otra sobre
cero solamente que la de la que sobresee
uno va a ir en sentido antihorario y la
que está sobre ese dos en sentido
horario es nada más es la
el detalle sí es cierto cierta
observación que hay que considerar
entonces noten que yo me integral de
línea sobre ce que es c1 y c2 una
integral de línea sobre esas dos curvas
va a poder ser una sola integral doble
sobre qué región sobre la región de que
es la arandela tal entonces eso lo
resumo a cambio yo sumando hasta este
las cuatro integrales dobles sobre las
cuatro regiones va a ser igual a la suma
de las dos integrales de línea
simplificando así la integral de línea
del campo sobre ese uno que es el radio
bueno el círculo exterior y sobre el
círculo interior mandamos de que yo le
puse en dirección
antihorario y recuerden que como
orientamos estas curvas es en sentido
horario
entonces para mantener el mismo sentido
en ambas integrales yo le puse en
sentido antihorario por acuerdense saco
un signo menos sale por eso tiene menos
lo podríamos haber puesto más y aquí
quitado en el menos pero recordar que
ese dulce es en sentido horario pero
para mantener la misma orientación en
ambas
curvas
puse aquí un menos y por eso saqué el
otro medio
entonces en total miren mi integral de
línea sobre todo a 6 que sea 12 va a
quedar como una integral doble cy donde
de buses el s la región si la región que
es un disco perforado en esa región que
con un hoyo y entonces
pues deshace forma de esa forma se trata
este tipo de regiones sale y no hay
ningún problema se puede utilizar el
teorema de greene como ya lo vimos por
partes sale por regiones de 1 de 2 hasta
de 4 sale vamos a ver un ejemplo vamos a
ver un ejemplo de cómo calcular
esto en algo en específico me da en mi
campo me da me dan mi campo vectorial si
aquí le ponemos que ese es la puedo aquí
podría ser más sea uno más c 2
jaja que son dos dos circunferencias una
de radio 2 y otra de radio ceros es la
externa se uno es la interna
entonces me piden calcular la integral
de líneas sobre estas dos curvas
entonces lo que vamos a hacer va a ser
evaluar contra de madryn como ya lo
vimos podemos orientar nuestras nuestra
curva pero de esta forma dividimos en
cuatro regiones de uno de dos de tres de
cuatro y lo hacemos en d1 d2 d3 y d4 al
final al sumar me va a quedar una única
e integral doble sobre toda la región
sobre todo el la arandela sí y del otro
lado pues me va a quedar
acuérdense pues la integral de línea que
se puede descomponer en dos una sobre el
círculo de mayor radio más la gota en
sobre el círculo de menor radio una
sobre dos sobre ese dos perdón y otra
sobre un tal entonces pues noten que me
va a quedar de esta forma integral del
campo sobre sea una mala en grande
campos sobre ese dos recuerden estaba en
sentido antihorario y está en sentido
horario ok pero al final de cuentas al
sumarlas me dan
una integral doble y aplicando el
teorema de green y el análisis que ya
hicimos anteriormente
sobre la arandela
de hecho con la forma que tiene la
arandela pues yo voy a utilizar
coordenadas polares para no complicar en
los límites de integración se describe
la región como de 0 a 2 pi y del radio
que vaya de 2 a 4 hago mi cambio de
variable me va a salir una r
recuerden que x cuadrada maggi cuadrada
y seré cuadrada por la r del cambio de
variables mcr cúbica y finalmente esto
lo calculó de humedad 360 entonces el
trabajo ahí éste
realizados y lo podemos ver así como esa
interpretación
por campo de fuerza a lo largo de la
curva sobre la partícula pues va a ser
de 360
bien
como comentábamos otra aplicación del
teorema de verín puede ser cálculo de
áreas yo tengo mi integral doble
que me va a dar un área entonces yo la
puedo calcular como
una integral de línea sin sentido
tenemos una región cuya frontera es una
forma cerrada simple en la que se puede
aplicar el teorema de ley entonces este
el área de la región d es precisamente
esta integral del y entonces un área y
la puede calcular con una con una
integral de línea porque vamos a ver es
muy sencillo ver la mente
vamos a calcular esto
vamos a calcular está integrado aquí p
es menor
xx desde la elección ahí que nos permite
ver esto como una integral doble donde
estoy integrando es uno ok
esa es la el truquito y noten que la
parcial de q respecto a x es que aquí
aplicó teorema de vino este es mi campo
cuyos componentes son pq
en el medio lo arrastró esto es la
frontera desde mi región sobre la cual
voy a entrar en la integral doble
parcial de cv respecto x 1 parcial de p
respecto y es existe menos suelo con el
menos te hace más noten que esto nos da
un 2 que se cancela con el media y
simplemente me está integral de línea es
igual a esta integral doble donde en
integrales 1 recuerden que cuando esto
sucede pues el integrar 1 significa
obtener
el área de la región de la adb entonces
noten que en realidad esta integral de
línea es lo mismo que el área de la
región de entonces si yo tengo una
región
en la cual yo pueda aplicar el teorema
de green pues el área de esa región yo
la puedo calcular con esta integral como
pues simplemente para matizando lo que
es la frontera de la región y entonces
aplicando esta integral en forma
diferencial obtengo su valor y eso va a
ser el área de la región
un ejemplo
en este caso pues tenemos una elipse si
ustedes se han dado cuenta puedes
calcular la del elipse pues ahí
encontramos ciertas integrales un
poquito largas una forma mucho más
sencilla es aplicando el teorema de ley
precisamente vamos a aplicar el
corolario que vimos que es consecuencia
entre madryn en el que es lo que hacemos
que está nuestra gráfica de nuestra
elipse pues parametrizados la elipse
secuencia que se puede parametrizar de 0
a 2 p
a cocinar esta vez en 90 entonces pues
aplicamos aplicamos la fórmula que
obtuvimos x igualada coseno su
diferencial a llegó a la vez en su
diferencial y aplicamos pues que el área
se puede ver como éste integral integral
del niño
0 2 p x multiplicada por su diferencia
nos va a haber coseno cuadrado menos ye
por su diferencial de x nos va nos da
ave seno cuadrado
y entonces factor izamos en la b
recordar que cursen al cuadrado más sé
no creo es un noten que integran los que
es súper sencillo simplificamos y
obtenemos que el área de la elipse y ave
dio ya lo sabíamos pero es un ejemplo en
en donde los podemos aplicar si siempre
y cuando conozcamos la la
parametrización ahí se de cierta cierta
región entonces en lugar de hacerla con
un interior doble lo hacemos con una
integral
dell inc entonces
pues esta es otra de las aplicaciones
del programa de green y eso es todo por
esta ocasión nos vemos la próxima
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