Volumen entre 2 cilindros verticales y logaritmo natural | POLARES | Ej. 36 Sección 14.3 LARSON

Ronny Online

20 Mar 202014:18

Summary

TLDREn este video, el canal online aborda el desafío de resolver un ejercicio de cálculo de la novena edición del texto de cálculo de Larson, que involucra la utilización de integrales dobles en coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido determinado. El problema se centra en un sólido acotado por las gráficas de logaritmos naturales y los radios de dos cilindros concéntricos de radios 1 y √4. Para visualizar y resolver el ejercicio, se utiliza la herramienta GeoGebra para modelar tanto el sólido como el plano de integración. El proceso incluye la integración de la región anular entre los cilindros, utilizando técnicas de integración por partes y el teorema fundamental del cálculo. El resultado final se verifica con programas de matemáticas y se ofrece una respuesta detallada en forma de volumen en unidades cúbicas. El video también anima a los espectadores a utilizar tecnologías gratuitas para facilitar el aprendizaje de cálculo y a practicar con más ejercicios de integrales dobles y triples.

Takeaways

📚 Se resuelve un ejercicio de cálculo de volumen utilizando integrales dobles polares.
📖 El texto de referencia es de 'Cálculo' de Ron Larson y Edwards, novena edición, página 1009.
📏 El problema involucra un sólido acotado por dos cilindros de radio 1 y √4, respectivamente.
🚫 El volumen se encuentra entre el plano z=0 y la superficie definida por el logaritmo natural de (x² + y²).
📈 Se utiliza GeoGebra para modelar gráficamente el sólido y las regiones de integración.
🛠️ La integración es por partes, con límites desde 1 hasta 2, y el ángulo varía de 0 a 2π.
🧮 La integral resultante es resuelta aplicando técnicas de integración por partes.
📐 Se simplifica la expresión integral utilizando propiedades trigonométricas y logarítmicas.
📉 El límite superior del cilindro exterior es 2, y el inferior es 1, formando una región anular.
🎨 Se modela el sólido en 3D para visualizar mejor la región de integración y el volumen a calcular.
📝 Se recomienda el uso de tecnología para facilitar el cálculo de integrales dobles y triple, como Maple o aplicaciones similares.

Q & A

¿De qué texto de cálculo se trata el ejercicio que se resuelve en el video?
-El ejercicio proviene del texto de cálculo de Ron Larson, incluso Edwards, en su novena edición.
¿En qué página del libro se encuentra el ejercicio que se discute?
-El ejercicio se encuentra en la página mil nueve.
¿Qué tipo de integral se utiliza para encontrar el volumen del sólido en cuestión?
-Se utiliza una integral doble en coordenadas polares.
¿Cuál es la forma de la región que limita el sólido cuyo volumen se busca encontrar?
-La región está limitada por dos cilindros concéntricos, uno de radio 1 y otro de radio 2 (raíz de 4).
¿Qué herramienta se utiliza para modelar el sólido y visualizar el ejercicio?
-Se utiliza GeoGebra para modelar el sólido y visualizar el ejercicio.
¿Cómo se determina el 'techo' del sólido en coordenadas cartesianas?
-El 'techo' del sólido es determinado por la expresión del plano xy formado por los dos cilindros, que es z = logaritmo natural de (r^2).
¿Cuál es la región a integrar en el plano xy?
-La región a integrar es la zona anular entre el cilindro de radio 1 y el cilindro de radio 2.
¿Cómo se abordan las coordenadas polares en la integral doble?
-Se utilizan las ecuaciones polares para convertir la región a integrar en coordenadas polares, donde 'r' es el radio y 'θ' es el ángulo de barrido.
¿Cómo se evalúa la integral doble para encontrar el volumen?
-Se evalúa la integral doble aplicando el teorema fundamental del cálculo, integrando primero con respecto a 'r' y luego con respecto a 'θ', y utilizando la propiedad logarítmica del volumen.
¿Qué resultado se obtiene para el volumen del sólido?
-El volumen del sólido se calcula como 4π(r^2 log(r)) evaluado entre los radios 1 y 2, lo que resulta en 4π(2^2 log(2) - 1^2 log(1)).
¿Cómo se verifica la respuesta obtenida en el video?
-La respuesta se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple, que confirman el volumen calculado.
¿Qué consejo se da al final del video para mejorar la comprensión de integrales dobles y triples?
-Se recomienda la práctica y el uso de tecnología, como aplicaciones gratuitas para modelar integrales, para mejorar la comprensión y habilidad en cálculo de integrales dobles y triples.

Outlines

00:00

📘 Introducción al ejercicio de cálculo de volumen

El primer párrafo presenta el tema del video, que es la resolución de un ejercicio de cálculo de volumen de una figura geométrica determinada por límites específicos en coordenadas polares. Se menciona que el ejercicio proviene del texto de cálculo de Larson, Edwards, en su novena edición, página 1009. El problema involucra el uso de integrales dobles polares para encontrar el volumen de un sólido acotado por gráficos determinados. Se indica que se utilizará GeoGebra para modelar el sólido y visualizar el plano en el espacio.

05:00

📐 Modelado del sólido y definición de límites

Este párrafo se enfoca en la modelación del sólido y la definición de sus límites. Se describen los cilindros concéntricos con radios 1 y √4 (2), respectivamente, y cómo se define la región anular que se va a integrar. Se utiliza la aplicación GeoGebra para visualizar y modelar los cilindros y la región de integración en el plano XY. Se destaca la importancia de entender la geometría del sólido y cómo se recorta la integral doble para representar el volumen del sólido.

10:00

🧮 Proceso de integración y cálculo del volumen

El tercer párrafo detalla el proceso de integración para calcular el volumen del sólido. Se discuten las ecuaciones polares y cómo se aplican para definir la integración. Se menciona la técnica de integración por partes para manejar el logaritmo natural en la integral. Se proporciona un resumen de los pasos para resolver la integral y se destaca la importancia de entender las propiedades logarítmicas y las reglas de integración para simplificar el cálculo. Finalmente, se evalúa la integral y se presenta la respuesta final del volumen, que se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple.

Mindmap

Keywords

💡Cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia la variación y los cambios en las cantidades. En el video, se utiliza el cálculo para resolver un ejercicio de volumen utilizando integrales dobles polares, que es fundamental para entender el tema principal del video.

💡Integral doble polar

Una integral doble polar es una herramienta matemática utilizada para calcular áreas en el plano polar o volúmenes en el espacio tridimensional. En el video, se utiliza para encontrar el volumen de un sólido determinado por las gráficas de funciones en coordenadas polares.

💡Volumen

El volumen representa la cantidad de espacio que ocupa un objeto en tres dimensiones. El video se centra en calcular el volumen de un sólido limitado por diferentes superficies, usando técnicas de integrales dobles polares.

💡Cilindro

Un cilindro es una figura geométrica tridimensional con dos bases paralelas y congruentes, generalmente circulares, y una superficie lateral que es un prisma circular. En el video, se mencionan dos cilindros concéntricos con radios diferentes que definen las limitaciones del sólido cuya volumen se está calculando.

💡Logaritmo natural

El logaritmo natural, a menudo representado por la letra 'e', es una función matemática fundamental en muchos campos, incluida la física y la economía. En el contexto del video, el logaritmo natural de 'kiko gramos' se utiliza para definir una de las superficies que limitan el volumen del sólido.

💡Coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema de referencia para points en el plano o en el espacio, que utiliza un radio y un ángulo en lugar de las coordenadas cartesianas. El video utiliza coordenadas polares para resolver la integral doble y encontrar el volumen del sólido en cuestión.

💡GeoGebra

GeoGebra es un software de matemáticas que permite la modelación gráfica de diferentes conceptos matemáticos. En el video, se utiliza GeoGebra para visualizar y modelar el sólido cuya volumen se desea calcular, facilitando la comprensión del ejercicio.

💡Integral por partes

La técnica de integral por partes es una regla utilizada para calcular integrales definidas de funciones producto de dos funciones. En el video, se utiliza esta técnica para resolver la integral doble que define el volumen del sólido.

💡Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo es una propiedad fundamental en el cálculo integral que relaciona la derivada de una integral indefinida con la función original. En el video, se aplica este teorema para concluir la evaluación de la integral doble y encontrar el volumen.

💡Modelado

El modelado es el proceso de representar una situación o un fenómeno a través de una modelo, que puede ser matemático, gráfico o computacional. En el video, el modelado se refiere a la representación gráfica del sólido y su volumen utilizando herramientas como GeoGebra.

💡Maple

Maple es un software de computación simbólica y numérica que se utiliza para resolver problemas matemáticos complejos. En el video, se menciona el uso de Maple para verificar la respuesta obtenida a través de la integral doble y la modelación del sólido.

Highlights

El ejercicio proviene del texto de cálculo de Larson, Novena Edición, página mil nueve.

Se utiliza una integral doble en coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido acotado por gráficas específicas.

El volumen buscado está limitado por el plano z=0 y la intersección de dos cilindros de radio 1 y raíz de 4.

Para visualizar el sólido, se utiliza la aplicación GeoGebra para modelar y representar el espacio en 3D.

La región de integración es anular, excluyendo el cilindro de radio 1 y dentro del cilindro de radio 2.

La integral doble se resuelve utilizando las coordenadas polares y las ecuaciones polares para x y y.

La función z es el logaritmo natural de r, donde r es el radio en coordenadas polares.

La integral se realiza primero con respecto al radio y luego al ángulo, utilizando técnicas de integración por partes.

El límite superior de integración para el radio es el radio del segundo cilindro, y el inferior es el del primer cilindro.

El ángulo se integra sobre un intervalo completo de 0 a 2π, sin restricciones.

La solución final del volumen se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple.

El resultado final del volumen se expresa en términos de π y logaritmos naturales.

El uso de tecnología y aplicaciones educativas, como GeoGebra, es fundamental para facilitar la comprensión de conceptos complejos.

El proceso de modelado y la integración se describen paso a paso para que el espectador pueda seguir y entender.

Se destaca la importancia de la precisión en las operaciones de integración por partes y el manejo de límites.

El video ofrece recursos adicionales, como enlaces a secciones de integrales y cálculo triple, para reforzar el aprendizaje.

El ejercicio de cálculo es un ejemplo de cómo se pueden resolver problemas de volumen en geometría analítica.

El canal ofrece soporte y recursos para ayudar en la resolución de ejercicios de cálculo de manera efectiva.