Escribir el límite de una suma de Riemann como una integral definida | Khan Academy en Español

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16 Aug 201704:51

Summary

TLDREste video explica cómo una suma de Riemann puede convertirse en una integral definida. Se describe el proceso de calcular el límite cuando n tiende al infinito y cómo se relaciona con el área bajo una curva, usando rectángulos. A través de un ejemplo con la función logaritmo natural, se determina el límite superior y se muestra cómo la suma de Riemann se aproxima a la integral cuando se aumenta el número de divisiones. El objetivo es entender este método para obtener una mejor aproximación del área exacta bajo una curva entre dos puntos.

Takeaways

📈 El objetivo del video es reescribir una suma de Riemann como una integral definida.
🔢 La integral definida se relaciona con la suma de Riemann mediante el límite cuando n tiende a infinito.
📏 La base de los rectángulos en la suma de Riemann es Δx, y la altura es el valor de la función evaluada en algún punto de Δx.
📐 Para una suma de Riemann por la derecha, la altura del rectángulo se toma del lado derecho de cada base.
🧮 Se identificó que la función parece ser el logaritmo natural, es decir, f(x) = ln(x).
➗ El valor de Δx se define como 5/n, basándose en los términos de la suma proporcionada.
📝 El límite inferior de integración es 2, y se deduce que el límite superior de integración es 7.
📊 La integral definida representa el área bajo la curva de f(x) = ln(x) entre los límites 2 y 7.
🧱 Cada rectángulo en la suma de Riemann tiene una base de 5/n, y la altura se calcula usando el logaritmo natural.
🔄 La suma de Riemann se aproxima a la integral definida cuando n tiende a infinito, mejorando la precisión del área.

Q & A

¿Qué es una suma de Riemann?
-Una suma de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva, sumando las áreas de varios rectángulos bajo dicha curva. A medida que aumenta el número de rectángulos, la aproximación se vuelve más precisa.
¿Cómo se relaciona la suma de Riemann con una integral definida?
-La suma de Riemann es una aproximación de una integral definida. Cuando tomamos el límite de la suma de Riemann conforme el número de rectángulos tiende a infinito, obtenemos el valor exacto de la integral definida.
¿Qué representa delta x en una suma de Riemann?
-Delta x representa la base de cada rectángulo en la suma de Riemann. Es la distancia entre los puntos de partición y se calcula como la diferencia entre los límites de integración dividida por el número de rectángulos (n).
¿Cómo se determina la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?
-En una suma de Riemann por la derecha, la altura de cada rectángulo se determina evaluando la función en el extremo derecho de la base del rectángulo, es decir, en el valor de x correspondiente al extremo derecho de cada intervalo.
¿Qué función se está evaluando en el ejemplo del video?
-En el ejemplo del video, se está evaluando la función logaritmo natural (ln(x)). Esta es la función que se utiliza para calcular la altura de los rectángulos en la suma de Riemann.
¿Cómo se reescribe una suma de Riemann como una integral definida?
-Para reescribir una suma de Riemann como una integral definida, se identifica la función, los límites de integración y se expresa la suma como el límite de la suma de áreas de rectángulos conforme n tiende a infinito. En este caso, la integral es desde 2 hasta 7 de ln(x) dx.
¿Cuál es el límite superior de la integral en el ejemplo del video?
-El límite superior de la integral en el ejemplo del video es 7. Este se determina al resolver la ecuación que surge al relacionar delta x con los límites de integración.
¿Qué representa el área bajo la curva en una integral definida?
-El área bajo la curva en una integral definida representa el valor acumulado de la función entre dos puntos (los límites de integración). En términos geométricos, es el área entre la curva de la función y el eje x en ese intervalo.
¿Cómo se aproxima el área bajo la curva usando sumas de Riemann?
-El área bajo la curva se aproxima sumando el área de los rectángulos formados bajo la curva. A medida que n (el número de rectángulos) aumenta, la aproximación se vuelve más precisa, y el área total converge al valor de la integral definida.
¿Qué sucede cuando n tiende a infinito en una suma de Riemann?
-Cuando n tiende a infinito en una suma de Riemann, el tamaño de los rectángulos se reduce y la suma de sus áreas se aproxima más a la verdadera área bajo la curva, convergiendo al valor exacto de la integral definida.

Outlines

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🔢 Relación entre sumas de Riemann e integrales definidas

Este párrafo introduce la relación entre las sumas de Riemann y las integrales definidas, mencionando cómo se puede reescribir una suma de Riemann como una integral. Se invita a los espectadores a intentar resolver el problema por su cuenta antes de continuar. Luego se recuerda que una integral definida de a a b de f(x) es igual al límite cuando n tiende a infinito de la suma de áreas de rectángulos pequeños, con la base delta x y la altura f(x) evaluada en un punto dentro de la base delta x.

🧮 Descripción de la suma de Riemann por la derecha

Aquí se explica cómo se construyen las sumas de Riemann por la derecha, comenzando desde el límite inferior a y sumando las bases delta x tantas veces como indique el índice. Se describe cómo la base de cada rectángulo es delta x, y cómo la altura corresponde al valor de f(x) evaluado en el lado derecho del rectángulo. Se continúa sumando hasta cubrir el rango de la integral.

📈 Reconocimiento de un patrón y definición de variables

Se analiza el patrón en la función, observando que f(x) parece ser el logaritmo natural de x. Se identifican otros elementos clave, como el valor de a (2) y delta x, que es 5/n. Se menciona que esta estructura permite escribir la suma de Riemann como una integral definida con un límite inferior de 2, aunque aún se debe encontrar el límite superior.

🧩 Cálculo del límite superior

Este párrafo detalla el proceso para encontrar el límite superior de la integral, que se basa en analizar la delta x. Se menciona que la diferencia entre los límites de integración dividida entre el número de particiones (n) es igual a delta x. Después de reemplazar los valores conocidos, se concluye que el límite superior es 7. Con esto, se reescribe la suma de Riemann como una integral definida completa.

📊 Interpretación gráfica de la integral definida

Se enfatiza cómo la integral definida representa el área bajo la curva entre 2 y 7, describiendo la relación entre la suma de Riemann y una aproximación a esa área. Se explica que, aunque la suma de Riemann se usa para aproximar el área, cuando n tiende a infinito, la aproximación se vuelve exacta. Finalmente, se ilustra cómo se dividen los rectángulos para calcular el área.

Mindmap

Keywords

💡Suma de Riemann

La Suma de Riemann es una técnica utilizada para aproximar el área bajo una curva mediante el uso de rectángulos. En el vídeo, se menciona que la suma de Riemann es una suma donde se suman áreas de rectángulos cuya base es delta x y la altura es el valor de la función en cierto punto dentro de ese intervalo. Se relaciona con el tema del vídeo al intentar transformar una suma de Riemann en una integral definida.

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en matemáticas que se refiere a la tendencia de una función o secuencia hacia un valor específico cuando su argumento se acerca a cierto punto. En el vídeo, se discute cómo el límite cuando n tiende a infinito es crucial para transformar una suma de Riemann en una integral definida.

💡Integral definida

La integral definida es una herramienta matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva en un intervalo determinado. En el vídeo, se explica que la integral definida se relaciona con la suma de Riemann al tomar el límite cuando n tiende a infinito, lo cual se ilustra con la transformación de la suma de Riemann en una integral definida.

💡Función

Una función es una relación entre dos conjuntos en la que cada elemento del primer conjunto está asociado a un único elemento del segundo conjunto. En el vídeo, la función f(x) es el logaritmo natural de x, que se evalúa en diferentes puntos para determinar la altura de los rectángulos en la suma de Riemann.

💡Logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo de una cantidad con la base e (una constante matemática aproximadamente igual a 2.71828). En el vídeo, la función f(x) es el logaritmo natural de x, y se usa para evaluar la altura de los rectángulos en la suma de Riemann.

💡Delta x

Delta x representa el intervalo o el paso que se utiliza en la suma de Riemann. En el vídeo, se discute cómo delta x es la diferencia entre los límites de integración dividida por el número de rectángulos (n), y se usa para determinar la base de los rectángulos en la suma de Riemann.

💡Rectángulo

En el contexto del vídeo, un rectángulo se refiere a la forma geométrica utilizada en la suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva. La base de estos rectángulos es delta x y la altura es el valor de la función en un punto dentro de ese intervalo.

💡Aproximación

La aproximación en matemáticas es el acto de estimar un valor o resultado de manera no exacta pero cercana a la verdad. En el vídeo, la suma de Riemann se describe como una aproximación del área bajo una curva que se vuelve más precisa a medida que n se acerca a infinito.

💡Área

El área en el vídeo se refiere al espacio bajo la curva de una función que se desea calcular. La integral definida y la suma de Riemann son métodos para encontrar este área, y el vídeo explica cómo la suma de Riemann se relaciona con el cálculo del área.

💡Curva

Una curva en matemáticas es una traza que sigue un punto que varía de manera continua. En el vídeo, se menciona que la integral definida calcula el área bajo una curva, y se usa para ilustrar cómo la suma de Riemann aproxima este área.

💡Análisis

El análisis en matemáticas es el estudio de las magnitudes y sus relaciones mediante el uso de limites y derivaciones. En el vídeo, el análisis se refiere al proceso de encontrar el límite superior de la integral definida a partir de la definición de delta x en la suma de Riemann.

Highlights

El objetivo del vídeo es reescribir una suma de Riemann como una integral definida.

Se relaciona una integral definida con la suma de áreas de muchos rectángulos.

La base de los rectángulos en una suma de Riemann se expresa como delta x.

La altura de cada rectángulo es el valor de la función evaluada en un punto dentro de delta x.

Cuando se hace una suma de Riemann por la derecha, se usa la altura en el lado derecho del rectángulo.

La función en este caso es el logaritmo natural de x, que se utilizará para definir la altura.

Se reconoce que delta x en este problema es igual a 5/n, una clave para establecer la integral.

El límite inferior de integración es 2, pero inicialmente no se conoce el límite superior.

Para encontrar el límite superior, se analiza cómo se define delta x.

Se deduce que el límite superior es 7, completando así los límites de la integral.

La integral definida es el área bajo la curva del logaritmo natural de x entre 2 y 7.

La suma de Riemann se usa como una aproximación del área bajo la curva antes de tomar el límite.

Cada rectángulo tiene una base de 5/n y una altura que depende del logaritmo natural.

El primer rectángulo tiene una altura de logaritmo natural de 2 más 5/n multiplicado por 1.

Al tomar el límite cuando n tiende a infinito, se obtiene una mejor aproximación del área exacta.