Conservación de la energía y resorte vertical | Física | Khan Academy en Español

Summary

El video explica el comportamiento de una masa unida a un resorte, tanto en orientación horizontal como vertical, y cómo la energía se transforma entre potencial elástica y cinética. Se analiza el punto de equilibrio, donde la fuerza neta es cero, y cómo al mover la masa fuera de esta posición se genera energía. A través de la conservación de la energía, se deduce la velocidad de la masa al pasar por el punto de equilibrio, tanto en sistemas horizontales como verticales, donde también se consideran la gravedad y la energía potencial gravitacional.

Takeaways

• 😀 El punto de equilibrio de una masa unida a un resorte es cuando la fuerza neta es cero y el resorte está en su longitud natural.
• 🤔 Si desplazamos la masa desde su posición de equilibrio, el resorte gana energía potencial elástica que se convierte en energía cinética cuando la masa se mueve.
• 🚀 La velocidad de la masa al pasar por el punto de equilibrio puede calcularse usando la conservación de la energía: la energía potencial elástica se transforma en energía cinética.
• 🌍 Cuando un resorte es vertical y tiene una masa colgando, la gravedad afecta la nueva posición de equilibrio, desplazándola desde la longitud natural del resorte.
• 📐 En el caso de un resorte vertical, la posición de equilibrio se calcula igualando la fuerza del resorte y la fuerza gravitacional: x = mg/k.
• 🌡️ Al soltar la masa desde una posición por debajo del equilibrio, la velocidad con la que pasa por el punto de equilibrio puede calcularse de manera similar a un resorte horizontal, ignorando la energía potencial gravitacional.
• ⚖️ La energía inicial en un sistema de resorte vertical incluye la energía potencial del resorte, que depende del estiramiento total desde su longitud natural.
• ⏩ Al resolver el problema usando conservación de la energía, la energía potencial gravitacional se puede ignorar si se mide el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio.
• 🔄 Los términos relacionados con la energía gravitacional y la constante del resorte se cancelan en los cálculos, simplificando el problema al equivalente de un resorte horizontal sin fricción.
• 💡 Al medir el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio, el problema se simplifica y es posible calcular la velocidad de la masa al pasar por dicho punto sin considerar la gravedad.

Q & A

¿Qué ocurre cuando la masa está en el punto en donde la longitud del resorte es natural?

Cuando la masa está en el punto en donde la longitud del resorte es natural, el resorte no ejerce ninguna fuerza, ni empuja ni jala. En este punto, la masa está en equilibrio porque no hay energía en el sistema.

¿Qué es la posición de equilibrio en un sistema de masa-resorte?

La posición de equilibrio es el punto donde la fuerza neta sobre la masa es igual a cero. En el caso de un resorte en su longitud natural, la masa se quedaría en reposo en esa posición.

¿Qué sucede cuando movemos la masa hacia la derecha desde la posición de equilibrio?

Cuando movemos la masa hacia la derecha, se almacena energía potencial elástica en el resorte. Al soltar la masa, el resorte la empuja hacia la izquierda y la masa atraviesa la posición de equilibrio ganando velocidad.

¿Cómo se determina la rapidez de la masa cuando pasa por la posición de equilibrio?

La rapidez de la masa se puede determinar utilizando la conservación de la energía. La energía potencial elástica del resorte se convierte en energía cinética cuando la masa pasa por la posición de equilibrio. La velocidad se calcula con la fórmula: v = √(k/m) * d.

¿Qué ocurre si el resorte está colgando verticalmente en lugar de estar en posición horizontal?

En un resorte vertical, además de la energía potencial elástica y la cinética, también debemos tener en cuenta la energía potencial gravitacional. Sin embargo, la rapidez de la masa al pasar por la posición de equilibrio es la misma, v = √(k/m) * d.

¿Por qué no consideramos la energía potencial gravitacional en la conservación de la energía para el resorte vertical?

Podemos ignorar la energía potencial gravitacional si medimos el desplazamiento de la masa desde la nueva posición de equilibrio (desplazada por la gravedad). Esto simplifica el cálculo al hacer que la gravedad simplemente cambie la posición de equilibrio sin afectar la conservación de la energía.

¿Qué representa la nueva posición de equilibrio en un sistema de resorte vertical?

La nueva posición de equilibrio es el punto en el que la fuerza del resorte hacia arriba es igual a la fuerza de la gravedad hacia abajo. El resorte se estira una distancia 'x' desde su longitud natural, que se puede calcular como x = mg/k.

¿Qué sucede si jalamos la masa hacia abajo desde la nueva posición de equilibrio en el resorte vertical?

Si jalamos la masa hacia abajo, el resorte ejercerá una fuerza mayor que la gravedad al soltarla, lo que hará que la masa suba y pase por la posición de equilibrio con cierta velocidad. Luego, la gravedad volverá a hacer que la masa descienda, y el ciclo continuará.

¿Cómo se puede calcular la energía total del sistema cuando la masa se encuentra en reposo?

La energía total del sistema se calcula como la suma de la energía potencial del resorte y la energía cinética. En reposo, la energía cinética es cero y solo hay energía potencial elástica, que se calcula como 1/2 * k * (a + b)^2, donde 'a' es el desplazamiento por la gravedad y 'b' el desplazamiento adicional por la fuerza aplicada.

¿Cómo simplifica el cálculo de la energía el medir el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio?

Medir el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio permite ignorar la energía potencial gravitacional, ya que esa energía se compensa en la posición de equilibrio. Esto reduce el problema a uno equivalente al de un resorte horizontal sin fricción, facilitando los cálculos.

Outlines

00:00

📐 El equilibrio de una masa y un resorte horizontal

El párrafo describe cómo una masa unida a un resorte horizontal, sobre una superficie sin fricción, no se moverá si el resorte está en su longitud natural, ya que se encuentra en su posición de equilibrio. En este punto, la fuerza neta sobre la masa es cero. Si la masa es desplazada y luego liberada, comenzará a oscilar debido a la energía potencial elástica del resorte, la cual se convierte en energía cinética cuando la masa atraviesa la posición de equilibrio. Utilizando la conservación de energía, se puede calcular la velocidad de la masa en dicho punto de equilibrio.

05:00

🔄 El resorte vertical y la gravedad

Este párrafo introduce un resorte vertical al que se le cuelga una masa. Explica cómo, a diferencia del caso horizontal, la posición de equilibrio del resorte vertical está desplazada debido a la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa. La fuerza neta en el punto de equilibrio será cero cuando la fuerza del resorte compense la fuerza gravitacional. La distancia que se estira el resorte en equilibrio se puede calcular con base en la masa, la gravedad y la constante del resorte. Al mover la masa, el sistema comenzará a oscilar, de manera similar al caso del resorte horizontal.

10:02

⚖️ Energía potencial del resorte y la conservación de la energía

Este párrafo detalla cómo calcular la energía potencial total en un sistema de resorte vertical. La energía potencial del resorte incluye tanto el estiramiento inicial debido a la masa como cualquier estiramiento adicional que se realice al tirar de la masa. La energía potencial gravitacional también se toma en cuenta, y para simplificar los cálculos, se selecciona un punto de referencia para la altura. El objetivo es mostrar cómo las energías potenciales del resorte y gravitacional se transforman en energía cinética cuando la masa pasa por el punto de equilibrio.

15:04

🧮 Simplificación de los términos y conservación de energía

Este párrafo continúa con la explicación matemática, mostrando cómo se pueden simplificar los términos al aplicar la conservación de la energía en el sistema del resorte vertical. Al utilizar la posición de equilibrio como referencia, se eliminan los términos relacionados con la energía potencial gravitacional, lo que facilita los cálculos. El proceso muestra cómo la gravedad afecta la posición de equilibrio y cómo se puede tratar el sistema de forma análoga al resorte horizontal, midiendo el desplazamiento desde el nuevo punto de equilibrio.

20:04

🌍 Conservación de energía en resortes verticales y horizontales

En este párrafo final, se compara el comportamiento de los resortes verticales y horizontales. Aunque los resortes verticales incluyen la fuerza gravitacional, es posible ignorarla si se mide el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio. Esto permite resolver problemas de energía en resortes verticales de la misma manera que en resortes horizontales, utilizando solo la conservación de la energía elástica sin necesidad de preocuparse por la energía potencial gravitacional.

Keywords

💡Masa

La masa en física se refiere a la cantidad de materia de un objeto, que en este caso está conectada a un resorte. En el video, se describe cómo la masa afecta el movimiento del sistema resorte-masa, especialmente al analizar cómo se mueve cuando se estira o se comprime el resorte. Ejemplos incluyen la masa al pasar por la posición de equilibrio o cuando se suelta tras haber sido jalada.

💡Resorte

El resorte es un dispositivo que almacena energía elástica cuando se estira o comprime. En el video, se usa para ilustrar el comportamiento de la energía potencial elástica. El resorte tiene una 'longitud natural' y una 'constante de resorte' que determinan su capacidad para regresar a su forma original y generar fuerza hacia la masa conectada.

💡Posición de equilibrio

La posición de equilibrio es el punto donde las fuerzas netas que actúan sobre la masa son cero. En el video, esta posición ocurre cuando el resorte no está ni comprimido ni estirado, y por lo tanto, la masa no experimenta ninguna fuerza que la empuje o jale. Se explica cómo este concepto cambia en un sistema con un resorte horizontal y uno vertical.

💡Energía potencial elástica

Es la energía almacenada en el resorte cuando se estira o comprime. El video explica cómo esta energía se convierte en energía cinética cuando la masa conectada al resorte es liberada, y cómo se calcula usando la constante del resorte y la distancia de estiramiento del mismo.

💡Energía cinética

Es la energía asociada al movimiento de la masa. En el video, se describe cómo la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética a medida que la masa se mueve hacia la posición de equilibrio. Se analiza la relación entre la velocidad de la masa y la conservación de la energía.

💡Conservación de la energía

Este principio físico establece que la energía total en un sistema aislado permanece constante. En el video, se muestra cómo la energía potencial elástica del resorte se convierte en energía cinética mientras la masa se mueve, sin pérdida de energía, ignorando la fricción y otras fuerzas externas.

💡Constante del resorte

Es una medida de la rigidez del resorte, representada por la letra 'k'. En el video, se usa para calcular la energía potencial elástica y la velocidad de la masa cuando pasa por la posición de equilibrio. Cuanto mayor sea 'k', más difícil será estirar o comprimir el resorte.

💡Superficie sin fricción

Una superficie sin fricción es un entorno ideal donde no hay resistencia al movimiento. El video menciona este tipo de superficie al discutir un sistema de resorte-masa horizontal, lo que permite centrarse en el comportamiento del resorte sin que la fricción influya en el movimiento.

💡Gravedad

Es la fuerza que atrae a los objetos hacia la Tierra. En el video, se menciona cómo la gravedad afecta el comportamiento del resorte vertical, ya que la masa estira el resorte debido a su peso. Aunque se puede ignorar en algunos cálculos, se debe considerar cuando se trabaja con sistemas verticales.

💡Posición natural del resorte

La posición natural es cuando el resorte no está ni estirado ni comprimido. En el video, se explica que en esta posición el resorte no ejerce ninguna fuerza sobre la masa. Esto contrasta con la posición de equilibrio en un sistema vertical, donde el resorte está estirado debido al peso de la masa.

Highlights

La posición de equilibrio se refiere al punto donde la fuerza neta sobre la masa es igual a cero.

Cuando una masa está en su posición de equilibrio, el resorte no empuja ni jala, ya que se encuentra en su longitud natural.

Al mover la masa una distancia 'd' desde su posición de equilibrio, se genera energía potencial elástica en el resorte.

La energía potencial del resorte se convierte en energía cinética a medida que la masa pasa por la posición de equilibrio.

La rapidez de la masa al pasar por la posición de equilibrio se puede calcular usando la conservación de la energía.

La fórmula para la energía potencial inicial del resorte es \( \frac{1}{2}k d^2 \), donde 'k' es la constante del resorte y 'd' es la distancia que se estiró.

En un resorte vertical, la gravedad también influye, generando energía potencial gravitacional además de la energía del resorte.

La distancia que se estira el resorte vertical para llegar a su nueva posición de equilibrio se puede calcular como \( x = \frac{mg}{k} \).

Al soltar la masa desde una nueva posición de equilibrio, la masa oscilará arriba y abajo debido a la interacción entre la gravedad y el resorte.

La conservación de la energía sigue aplicándose en un sistema con un resorte vertical, aunque se deben considerar los efectos de la gravedad.

La energía potencial total del resorte vertical es la suma de la energía elástica del resorte y la energía potencial gravitacional.

Podemos ignorar la energía potencial gravitacional si medimos el desplazamiento del resorte desde su nueva posición de equilibrio.

Al medir el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio, el sistema del resorte vertical se comporta como uno horizontal sin fricción.

La velocidad de la masa al pasar por la posición de equilibrio es \( v = \sqrt{\frac{k}{m}d^2} \), independientemente de la orientación del resorte.

El análisis de un sistema con resorte vertical se puede simplificar midiendo el desplazamiento desde la nueva posición de equilibrio.

Aplicando la conservación de la energía desde la nueva posición de equilibrio, se puede calcular la velocidad de la masa sin incluir la energía potencial gravitacional.

Transcripts

digamos que tenemos una masa que está

unida a un resorte horizontal y esta

masa se encuentra sobre una superficie

sin fricción si la masa se encuentra en

un punto en donde la longitud del

resorte se encuentra en reposo y si la

masa se encuentra en un punto en el

resorte se encuentra en su longitud

natural pues no se va a mover a ningún

lado ya que cuando un resorte se

encuentra en su longitud natural se

encuentra contento en su lugar en el

universo no va a querer moverse no va a

empujar no va a jalar ese resorte no

tendrá energía y va a estar como yo la

mayor parte de los días de verano y a

este punto en donde el resorte ni

empujan y jala y se encuentra en su

longitud natural si tenemos una masa que

está unida a un resorte horizontal este

punto también será su posición de

equilibrio

y la posición de equilibrio significa o

se refiere a que el punto en donde la

fuerza neta de esa masa es igual a cero

y este punto de equilibrio para la masa

significa que el resorte se encuentra en

su longitud natural porque pues porque

el resorte no va a estar ni empujando ni

jalando a esta masa se va a quedar

quieto si yo coloco esta masa en este

punto se va a quedar quietecita por

siempre y como esto sería aburrido vamos

a decir que tomamos esta masa y la

movemos a la derecha una distancia de y

con esto vamos a darle a este resorte

una energía potencial elástica y si

liberamos a esta masa de esta nueva

posición pues este resorte va a jalar a

esta masa hacia la izquierda entonces

esta masa va a atravesar el punto de

equilibrio con cierta rapidez cual será

esta rapidez pues podemos encontrarla

usando la conservación de la energía la

energía potencial inicial del resorte no

es difícil es un medio porque la

constante del resorte

multiplicada por d al cuadrado que es la

distancia que se estiró este resorte y

aquí no tendremos energía cinética

inicial ya que vamos a soltar esta masa

que estaba en reposo y conforme esta

masa vaya hacia la izquierda va a

comenzar a ganar energía cinética así

que esta energía potencial del resorte

se va a transformar en energía cinética

es un medio por la masa y cuando la masa

esté en este punto de equilibrio no

vamos a tener energía elástica el

resorte no tendrá energía

tendremos solamente la energía cinética

y nos quedará esta sencilla relación

toda la energía del resorte va a ser

igual a toda la energía cinética en la

posición de equilibrio y si despejamos

ve de esta masa en esta posición de

equilibrio va a ser igual a la raíz

cuadrada

de acá entre la masa por la distancia al

cuadrado podríamos quitar esta de de

aquí ya que tenemos de al cuadrado y se

le está sacando la raíz cuadrada pero

esta es la idea

esta es la rapidez que tendremos de esta

masa cuando pase por la posición de

equilibrio ahora déjenme preguntarles

algo qué pasaría si ahora tuviéramos un

resorte vertical del cual estuviera

colgando nuestra masa y digamos que

quiero jalarlo hacia abajo una distancia

de pues si la jalamos hacia abajo y la

soltamos cuando esta masa vuelva a pasar

por la posición de equilibrio su

velocidad también va a ser la raíz

cuadrada de k entre m d al cuadrado y

ustedes se pueden preguntar bueno será

otra velocidad que tenga aquí bueno la

constante del resorte va a ser la misma

aquí la distancia también entonces todo

esto también se va a cumplir y esto

debería sorprendernos

que en esta circunstancia no sólo

tenemos el resorte y la masa y la

distancia en la que la movemos como aquí

en este caso aunque tampoco tengo

fricción lo que sí tengo es la fuerza de

gravedad aquí no sólo tengo la energía

del resorte y la energía cinética sino

que también tengo mi fuerza de gravedad

conforme esto se vaya moviendo de abajo

hacia arriba también tendremos cambios

en la energía potencial gravitacional

así que porque no estamos tomando en

cuenta la energía potencial

gravitacional en esta fórmula porque no

la estamos tomando en cuenta en esta

ecuación de la conservación de la

energía pues justo esto es lo que les

voy a demostrar en este vídeo si ustedes

solo querían conocer la respuesta tengan

en cuenta que esta la pueden usar en

ambas circunstancias así que si no

quieren conocer más de esto estamos bien

con esta información se pueden quedar

pero yo les recomiendo que sigan viendo

todo el vídeo ya que el saber el por qué

no tomamos en cuenta está m&g en esta

conservación de la energía

ayudar a entender realmente qué

significa está de esta h y esta vez al

igual que comprender exactamente a qué

nos referimos con la posición de

equilibrio y esto nos va a ayudar

conceptualmente si es que se encuentra

en un problema que sea más complicado

así que vamos a probar porque puedo

ignorar esta m g por h aquí

aquí tengo un resorte solito que está

colgando del techo está acá es la

constante de este resorte y digamos que

es un resorte ligero ya que si fuera

pesado es posible que él solito

estuviera jalándose por su propio peso

hacia abajo así que este es un resorte

ligero que está colgando aquí

tranquilito y se encuentra en su

longitud natural no está empujando ni

está jalando se encuentra en reposo como

lo vemos aquí pero ahora le ponemos la

masa m aquí no estamos jalando ni

soltando la masa simplemente la estamos

conectando al resorte y estamos dejando

que cuelgue hasta que quede en reposo de

manera que quede en su posición de

equilibrio

esta sería la nueva posición de

equilibrio

esto de aquí sería la nueva posición de

equilibrio

en otras palabras este es el punto en

donde las fuerzas netas sobre la masa

van a ser igual a cero pero en esta

ocasión no se encuentra este punto en la

longitud natural del resorte como lo

teníamos en el resorte horizontal en

esta ocasión la posición de equilibrio

está desplazada una distancia a alejada

del punto natural de equilibrio del

resorte ya que ahora se encuentra

equilibrando la fuerza de gravedad en

otras palabras la fuerza del resorte

hacia arriba acá x menos la fuerza

gravitacional m por g tienen que ser

igual a cero para que esta masa pueda

estar en equilibrio incluso podemos

saber cuál es la distancia a en términos

de estas variables y ya que está x es la

distancia que se ha estirado el resorte

nos queda que x es igual a m por g entre

k que es la constante del resorte

entonces esta x va a ser igual a nuestra

esta es la distancia que se ha estirado

el resorte para llegar a la nueva

posición de equilibrio con la masa

conectada a él y esto es algo clave así

que vamos a tener en mente este

resultado de acá pero ahora yo les

pregunto si tomamos nuestra masa y la

jalamos hacia abajo de manera que ahora

de manera que ahora tenga esta posición

aquí las fuerzas no van a estar en

equilibrio en este caso la fuerza con la

que estoy jalando el resorte va a ser

mayor que la fuerza de gravedad y si yo

suelto esta masa va a regresar así esta

posición de equilibrio con cierta

velocidad va a pasar a este punto de

equilibrio y ahora aquí la fuerza del

resorte será menor que la fuerza de

gravedad lo que hará que en este caso

gane la gravedad y vaya de nuevo hacia

abajo y esto va a continuar de arriba

hacia abajo y nos podemos hacer la misma

pregunta que hicimos anteriormente si yo

hallo el resorte hacia esta posición ve

cuál será la velocidad a la que pasará

de regreso este resorte aquí cuando pase

por este punto de equilibrio y

nuevamente podemos usar la conservación

de la energía podemos decir que la

energía inicial de nuestro sistema va a

ser igual a la energía final de nuestro

sistema vamos a elegir como punto

inicial este de aquí en donde liberamos

nuestra masa del reposo cuando jalamos

está más a una distancia ve por debajo

de esta nueva posición de equilibrio y

nuestro punto final va a ser justamente

aquí donde tenemos nuestra nueva

posición de equilibrio ya que es en

donde queremos conocer la velocidad de

esta masa así que vamos a tratar de

conocer cuál es la energía inicial en

este sistema cuando jalamos esta masa

hacia abajo y estamos por liberarla y en

este punto si voy a soltar la masa esta

masa va a estar inicialmente en reposo

si está en reposo no va a tener

velocidad y si no tiene velocidad no va

a

la energía cinética así que no tendremos

energía cinética al inicio cuando

tenemos esta masa en reposo pero si

vamos a tener la energía potencial del

resorte y aquí vamos a tener bastante

energía potencial en el resorte no solo

voy a tener esta masa que voy a jalar

hacia abajo por debajo de esta nueva

posición de equilibrio una distancia vez

sino que además cuando teníamos esta

masa en reposo con el resorte en esta

nueva posición de equilibrio el resorte

de todas maneras ya se había estirado

una distancia

y cuando tenemos esta fórmula de un

medio por la constante del resorte por

la distancia que se ha estirado el

resorte va a ser la distancia total la

distancia total que se ha estirado el

resorte a partir de su longitud natural

va a ser a + b y además voy a elevar al

cuadrado todo este término y esta es

toda la energía potencial del resorte

que voy a tener en el sistema al inicio

y cuánta energía gravitacional voy a

tener aquí bueno yo aquí puedo

elegir cuál va a ser mi punto de

referencia para esta energía

gravitacional y muchas veces por

conveniencia se elige este punto hasta

abajo como referencia esta va a ser mi

línea de referencia para h igual a 0 y

todas las alturas las voy a medir a

partir de esta línea y eso lo podemos

hacer así ya que solo estamos

interesados en medir las diferencias de

la energía potencial gravitacional solo

hay que ser consistente siempre con

nuestra elección y con mi elección de

que h igual a 0 sea esta línea pues la

posición de mi masa al inicio va a ser 0

y por eso mi energía potencial

gravitacional mgh en este punto inicial

va a ser igual a 0 así que en términos

de la energía en este punto inicial esta

va a ser toda la energía que yo tengo y

esto va a ser igual a la energía final

del sistema así que me pregunto tengo

energía potencial del resorte en este

punto final y quizás ustedes me digan no

ya que esta posición final se encuentra

en la nueva posición de equilibrio

pero recuerden que esta nueva posición

de equilibrio está desplazada de la

longitud natural del resorte una

distancia así que aquí sí voy a tener

energía potencial del resorte y es un

medio por la constante del resorte

multiplicada por la distancia que se

estiró el resorte en esta nueva posición

que es ah y esto lo tengo que elevar al

cuadrado ya que es un medio por acá por

x al cuadrado y con respecto a la

energía cinética esta masa va a ganar

velocidad hacia arriba ya que la estoy

soltando y se va a acelerar hacia arriba

así que la energía cinética en este

punto va a ser un medio por la masa por

la velocidad al cuadrado y esta

velocidad es la que tiene esta masa

cuando está pasando por este nuevo punto

de equilibrio que es justamente lo que

queremos encontrar pero además voy a

tener energía potencial gravitacional y

establecimos nuestra h cero aquí de

manera que si la masa se encuentra en

esta referencia

su h será igual a 0 pero como la

soltamos y va hacia arriba ahora sí va a

tener energía potencial gravitacional

por lo que mi h va a ser igual a b

recuerden que tomamos esta masa y la

jalamos de manera que el resorte ahora

está en esta posición de su longitud + b

y de aquí lo soltamos entonces esta

distancia que está por arriba de nuestra

línea de referencia es b así que aquí

vamos a agregar m por g por esta

longitud que la movimos hacia abajo

y que ocasionó que ganara energía

potencial gravitacional y bueno yo aquí

quiero despejar mi incógnita d al

cuadrado pero pues tengo bastantes cosas

por ejemplo tengo este término al

cuadrado así que vamos a comenzar por

este aquí tengo este un medio por acá y

ahora tenemos este binomio al cuadrado

así que esto me va a dar el primer

término al cuadrado a al cuadrado más el

término cruzado multiplicado por 2 más 2

a volver más el cuadrado del segundo

término b al cuadrado esto es lo que

obtengo de elevar al cuadrado todo esto

de aquí y esto se comienza a ver algo

complicado pero no desesperen créanme

algo maravilloso está por suceder y esto

va a ser igual a todo lo que tengo en el

lado derecho

y del lado izquierdo me queda un medio

por acá por al cuadrado más un medio por

acá qué es esto multiplicado por este

término de acá 2a por ver más nuevamente

esto un medio de acá pero ahora por b al

cuadrado y podemos decir que todo esto

es igual a lo que tenemos del lado

derecho y aquí hay algunas cosas que

puedo cancelar por ejemplo tengo este un

medio acá al cuadrado en ambos lados de

la igualdad por lo que la puedo quitar

este un medio se va a cancelar con este

2 de aquí por lo que me va a quedar acá

ahora por b más un medio k por b al

cuadrado pero que se está acá por a

bueno si ustedes recuerdan tenemos aquí

está acá y esta si las multiplicamos es

como si multiplicamos ambos lados de

esta igualdad por acá por lo que esta

caja es igual a m por g este enunciado

representa mi posición de equilibrio así

que está cab ahora la puedo reemplazar

por

m porque y ustedes me pueden preguntar

bueno y a mí qué me sirve reemplazar

está acá por a por esta m por g que

multiplica a esta vez bueno porque ahora

este término se va a poder cancelar con

esta otra mgb de este otro lado así que

voy a tener que esto es igual a un medio

m por b al cuadrado más m g b y ahora

puedo cancelar este mgb con este otro

mgb es por eso que reemplazamos estos

términos con esto de acá para poder

cancelar los y ahora mágicamente nos

queda la misma relación que teníamos con

el resorte horizontal pero ahora medida

desde nuestra nueva posición de

equilibrio y esto es importante así que

permítanme volver a mencionar todo esto

cuando ustedes tienen estos problemas de

resortes verticales pueden resolverlos

de dos formas ustedes pueden medir el

desplazamiento del resorte a partir de

su longitud natural como lo hicimos aquí

en donde sumamos a más

ya que fue la distancia que se estiró el

resorte a partir de su longitud natural

hasta donde pusimos la masa pueden hacer

esto y además incluir la energía

potencial gravitacional y así obtener la

respuesta correcta o pueden hacerlo como

lo deducimos aquí ya que vimos que estos

términos siempre se cancelan solamente

medimos lo que se extiende el resorte a

partir de la nueva posición de

equilibrio y si lo hacemos entonces

podemos dejar afuera todos los términos

que tengan que ver con la energía

potencial gravitacional y seguiremos

teniendo la respuesta correcta pueden

ver a la gravedad como simplemente el

desplazamiento de la posición de

equilibrio la bajamos un poco y a partir

de aquí esta masa se comportaría como si

tuviéramos este resorte encima de una

superficie horizontal sin fricción y

esto nos funciona si consideramos

solamente el desplazamiento a partir de

esta nueva posición de equilibrio

en otras palabras si limpiamos todo esto

y nos quedamos con este problema y nos

dicen que una masa de 3 kilogramos está

colgando de un resorte cuya constante es

de 50 minutos por metro y esta línea de

acá representa la nueva posición de

equilibrio ya que en este punto nuestra

masa se encuentra en reposo y nosotros

jalamos esta masa desde esta posición de

equilibrio hacia abajo una distancia de

punto tres metros cuál será la velocidad

de esta masa cuando vuelva a pasar por

este punto de equilibrio pues lo que

vamos a hacer es aplicar lo que acabamos

de encontrar vamos a decir que un medio

por la constante acá que es cincuenta

newtons por metro

multiplicada por la distancia pero vamos

a considerar solamente la distancia que

cambia la masa a partir de esta nueva

posición de equilibrio así que aquí

solamente ponemos 0.3 metros al cuadrado

aquí no lo voy a preocupar de que el

resorte ya haya sido estirado

a esta nueva posición simplemente voy a

poner esta distancia que se estira a

partir de ese nuevo punto de equilibrio

y esto va a ser igual a la energía

cinética que tiene la masa en este nuevo

punto de equilibrio y sabemos que esta

masa es de 3 kilogramos por b al

cuadrado y aquí no voy a incluir

información sobre la energía potencial

gravitacional ya que estoy midiendo mi

desplazamiento a partir de la nueva

posición de equilibrio así que aquí no

me queda más que despejar me ve y si

resolvemos esto algebraica mente va a

quedar este un medio se cancela con este

otro en medio dividimos ambos lados

entre 3 y obtenemos la raíz cuadrada y

nos quedará que la masa cuando pasa por

este punto de equilibrio va a tener una

velocidad de 1.2 metros por segundo en

resumen aunque pareciera que los

resortes verticales son mucho más

difíciles que los resortes horizontales

ya que tenemos fuerzas gravitacionales y

energía potencial gravitacional

medimos el desplazamiento a partir de la

nueva posición de equilibrio en lugar de

tomarla a partir de la longitud natural

del resorte podremos usar la

conservación de la energía sin tener que

mencionar nada de la energía potencial

gravitacional