87. Ecuación diferencial de coeficientes constantes (segundo orden, homogénea) EJERCICIO RESUELTO

MateFacil

29 Jan 201704:18

Summary

TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea. Se propone una solución de la forma \( y = e^{rx} \), se derivan y se sustituyen en la ecuación original, conduciendo a la ecuación característica. A través de factorización, se resuelven los valores de \( r \) y se obtienen dos soluciones linealmente independientes. La solución general se expresa como una combinación de ambas soluciones, multiplicadas por constantes arbitrarias. Además, se invita a los espectadores a practicar con un ejercicio similar y se anima a la interacción a través de comentarios y sugerencias.

Takeaways

🧮 En este video se resolverá una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes.
📊 La ecuación diferencial homogénea a resolver es: y'' + 4y' + 3y = 0.
🔧 El primer paso es proponer una solución de la forma y = e^(rx) y sustituirla en la ecuación diferencial.
📉 Al sustituir las derivadas, se obtiene una ecuación algebraica llamada ecuación característica.
✏️ La ecuación característica es r² + 4r + 3 = 0, una ecuación de segundo grado.
📐 Esta ecuación se puede resolver fácilmente mediante factorización: (r + 1)(r + 3) = 0.
🧑‍🏫 Las soluciones para r son r = -1 y r = -3, lo que permite obtener dos soluciones linealmente independientes.
📝 La solución general de la ecuación diferencial es: y = c1 * e^(-x) + c2 * e^(-3x).
🔍 Se deja un ejercicio similar al espectador: resolver la ecuación diferencial y'' - 10y = 0.
👍 Se invita a los espectadores a suscribirse al canal y dejar preguntas o sugerencias en los comentarios.

Q & A

¿Cuál es la ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve en el vídeo?
-La ecuación diferencial de segundo orden que se resuelve es \( y'' + 4y' + 3y = 0 \).
¿Qué método se utiliza para resolver la ecuación diferencial mencionada?
-Se utiliza el método de la ecuación característica para resolver la ecuación diferencial de segundo orden.
¿Cómo se propone una solución inicial para la ecuación diferencial?
-Se propone una solución de la forma \( y = e^{rx} \) y se sustituye en la ecuación diferencial para calcular las derivadas y simplificar.
¿Qué es la ecuación característica y cómo se obtiene?
-La ecuación característica es una ecuación algebraica que se obtiene de la ecuación diferencial al sustituir \( y = e^{rx} \), \( y' = re^{rx} \) y \( y'' = r^2e^{rx} \) y simplificar.
¿Cómo se resuelve la ecuación característica para la ecuación diferencial dada?
-Se resuelve la ecuación característica \( r^2 + 4r + 3 = 0 \) mediante factorización, encontrando los valores de \( r \) que satisfacen la ecuación.
¿Cuáles son los valores de \( r \) que se obtienen al resolver la ecuación característica?
-Los valores de \( r \) que se obtienen son \( r = -1 \) y \( r = -3 \).
¿Qué significan los valores de \( r \) en el contexto de la ecuación diferencial?
-Los valores de \( r \) representan las soluciones exponenciales de la ecuación diferencial, y son los exponentes de las soluciones particulares.
¿Cómo se determina la solución general de la ecuación diferencial?
-La solución general se determina como una combinación lineal de las soluciones particulares, que son \( c_1e^{-x} \) y \( c_2e^{-3x} \), donde \( c_1 \) y \( c_2 \) son constantes arbitrarias.
¿Por qué son necesarias dos soluciones linealmente independientes para la solución general?
-Son necesarias dos soluciones linealmente independientes para asegurar que la solución general abarque todo el espacio solución de la ecuación diferencial de segundo orden.
¿Cómo se relaciona la ecuación diferencial resuelta con las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes y homogéneas?
-La ecuación diferencial resuelta es un ejemplo de una ecuación diferencial de coeficientes constantes y homogénea, lo que significa que los coeficientes de las derivadas no dependen de la variable independiente y no hay términos no homogéneos.

Outlines

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📘 Resolución de una ecuación diferencial de segundo orden

El vídeo comienza explicando cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea. Se propone una solución de la forma y = e^(rx) y se procede a calcular las primeras y segundas derivadas para sustituir en la ecuación diferencial. Se menciona que la ecuación característica se puede obtener directamente de la ecuación diferencial sin la necesidad de derivar y sustituir, simplemente reemplazando donde aparece la segunda derivada con r^2, la primera derivada con r y la función y sin derivar sin r. Al aplicar esto, se obtiene la ecuación característica r^2 + 4r + 3 = 0, que se resuelve factorizando y encontrando los valores de r. Se explica que para una ecuación diferencial de segundo orden, se necesitan dos soluciones linealmente independientes, que en este caso son e^(-x) y e^(-3x). Finalmente, se escribe la solución general de la ecuación diferencial como una combinación de estas dos soluciones con constantes arbitrarias c1 y c2.

Mindmap

Keywords

💡Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una que involucra variables y sus derivadas. En el video, se resuelve una ecuación diferencial de segundo orden, que es una ecuación que contiene la función y sus derivadas de segundo grado. La ecuación diferencial es fundamental en el tema del video, ya que es el objeto principal de estudio y resolución.

💡Segundo orden

Este término se refiere a la cantidad de derivadas que aparecen en una ecuación diferencial. En el video, se menciona que la ecuación es de segundo orden, lo que implica que se requieren dos condiciones iniciales para determinar una solución única.

💡Coeficientes constantes

Se refiere a que los coeficientes que multiplican las derivadas en la ecuación diferencial no varían con el tiempo o la variable independiente. Esto simplifica la ecuación y permite resolverla usando métodos algebraicos, como se muestra en el video.

💡Homogénea

Una ecuación diferencial es homogénea si su término no homogéneo (independiente de la función) es cero. En el video, se resuelve una ecuación homogénea, lo que significa que no hay términos adicionales que no dependan de la función y sus derivadas.

💡Solución

En el contexto del video, una solución es una función que satisface la ecuación diferencial dada. Se busca encontrar una solución que, cuando se sustituye en la ecuación, haga que la ecuación se cumpla.

💡Ecuación característica

Es una ecuación algebraica que se obtiene a partir de una ecuación diferencial para determinar los valores posibles de la constante de amplificación. En el video, se resuelve la ecuación característica para encontrar los valores de 'r' que satisfacen la condición de la ecuación.

💡Factorización

Es un método algebraico para resolver ecuaciones polinomiales, donde se expresa el polinomio como el producto de sus factores. En el video, se utiliza la factorización para resolver la ecuación característica y encontrar los valores de 'r'.

💡Linealmente independientes

Se dice que dos funciones son linealmente independientes si no pueden expresarse como una combinación lineal de la otra. En el video, se menciona que se necesitan dos soluciones linealmente independientes para obtener la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

💡Solución general

Es una expresión que abarca todas las soluciones posibles de una ecuación diferencial, generalmente expresada en términos de funciones y constantes arbitrarias. En el video, se busca encontrar la solución general de la ecuación diferencial dada.

💡Condiciones iniciales

Son valores conocidos de la función y/o sus derivadas en un punto específico. Aunque no se mencionan explícitamente en el video, son importantes para determinar las constantes arbitrarias en la solución general de una ecuación diferencial.

Highlights

Introducción al vídeo sobre cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden.

Ecuación diferencial de segundo orden presentada: javi prima más 4y prima + 3y igual a 0.

La ecuación es una ecuación diferencial de coeficientes constantes y es homogénea.

Proponer una solución de la forma y = e^(rx).

Calcular la primera y segunda derivada de y y sustituir en la ecuación diferencial.

Obtener la ecuación característica directamente desde la ecuación diferencial.

La ecuación característica es r^2 + 4r + 3 = 0.

Resolver la ecuación algebraica de segundo grado por factorización.

Factorizar la ecuación para obtener (r + 1)(r + 3) = 0.

Determinar los valores de r como -1 y -3.

Explica que se necesitan dos soluciones linealmente independientes para la solución completa.

Solución 1: y = e^(-x).

Solución 2: y = e^(-3x).

Forma de la solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo de cómo escribir la solución general con constantes arbitrarias c1 y c2.

Ejercicio propuesto para el público: resolver la ecuación y'' - 10y' = 0.

Recordatorio de que la ausencia de y' en la ecuación no es un problema para la resolución.

Invitación a los espectadores a resolver el ejercicio y a compartir sus dudas en los comentarios.

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