Sistema Masa Resorte Multiple
Summary
TLDREn este vídeo se presenta un modelo matemático para un sistema de masa y resortes, donde cuatro resortes están dispuestos en pares a ambos lados de la masa. Se analiza la dinámica del sistema bajo la acción de una fuerza externa, sin considerar la fricción. Se establece un marco de referencia centrado en la masa, con ejes definidos hacia la derecha (eje x) y hacia abajo (eje y). Se realiza un análisis de fuerzas y se plantea una ecuación diferencial de segundo orden para describir el movimiento, donde la fuerza de cada resorte es proporcional a su deformación. La solución sugiere una oposición cuadrupla de los resortes a la fuerza externa, generando una ecuación que puede tener múltiples soluciones dependiendo de las constantes de los resortes.
Takeaways
- 🔍 Se presenta un modelo matemático para un sistema de masa y resorte, donde se asume la existencia de cuatro resortes.
- 🌐 Se establece un marco de referencia centrado en la masa, con los ejes direccionados hacia la derecha (eje x) y hacia abajo (eje y).
- 🔄 Se considera una fuerza externa que causa movimiento en el sistema, sin tener en cuenta la fricción entre la masa y el suelo.
- 📐 Se elabora un diagrama de cuerpo libre para la masa, identificando las fuerzas externas y las reacciones de los resortes.
- ⚖️ Se analiza la interacción de las fuerzas en el eje x, donde la masa se ve afectada por la fuerza externa y las reacciones de los resortes.
- 🔢 Se establece una ecuación de movimiento basada en la suma de fuerzas en el eje x, incluyendo la masa y la aceleración.
- 🔗 Se menciona la ley de Hooke, que relaciona la fuerza de un resorte con su deformación (delta).
- 📉 Se ajusta la ecuación para que los términos negativos se conviertan en positivos, facilitando la comprensión de la relación entre las fuerzas.
- 🔗 Se establece una ecuación diferencial de segundo orden que representa la relación entre la masa, las constantes de los resortes y la fuerza externa.
- 🌐 Se destaca que la ecuación es generalizada y que existen posibles soluciones particulares dependiendo de las constantes de los resortes.
Q & A
¿Qué es el sistema masa- resorte descrito en el video?
-El sistema masa-resorte es un modelo donde una masa está conectada a cuatro resortes que están dispuestos en pares a cada lado de la masa. Estos resortes están sujetos a una fuerza externa que causa movimiento en el sistema.
¿Por qué se supone que el marco de referencia está colocado en el centro de masa del objeto?
-Se coloca el marco de referencia en el centro de masa para simplificar el análisis, ya que se considera que todas las fuerzas actúan a través de este punto, facilitando la aplicación de leyes de Newton.
¿Cuál es la dirección del eje x en el análisis del video?
-En el análisis, el eje x se coloca hacia la derecha, lo que es típico en la mayoría de los análisis, aunque el video también destaca que la dirección del marco de referencia es irrelevante para el problema.
¿Por qué se coloca el eje y hacia abajo en el análisis?
-El eje y se coloca hacia abajo para observar la reacción de los resortes y la masa a la fuerza externa, lo que permite analizar la dinámica del sistema en una dirección específica sin complicaciones adicionales.
¿Qué fuerzas interactúan con la masa en el diagrama de cuerpo libre?
-En el diagrama de cuerpo libre, la masa interactúa con la fuerza externa y las reacciones de los cuatro resortes. Cada resorte genera una fuerza opuesta a la deformación que sufren.
¿Cómo se relaciona la fuerza de un resorte con su deformación según la ley de Hooke?
-La fuerza de un resorte está directamente proporcional a su deformación, según la ley de Hooke, que se expresa como F = -kΔx, donde k es la constante de elasticidad del resorte y Δx es la deformación.
¿Cuál es la ecuación diferencial que se obtiene al analizar las fuerzas en el eje x?
-La ecuación diferencial obtenida es m*a = -(k1*Δx + k2*Δx + k3*Δx + k4*Δx), donde m es la masa, a es la aceleración, y k1, k2, k3, k4 son las constantes de elasticidad de los resortes.
¿Por qué se menciona que la ecuación diferencial es de segundo orden?
-La ecuación diferencial es de segundo orden porque involucra la segunda derivada con respecto al tiempo, que en este caso es la aceleración, lo que indica que la ecuación modela un sistema dinámico complejo.
¿Qué implicaciones tiene que las constantes de elongación de los resortes sean iguales?
-Si las constantes de elongación de los resortes son iguales, se puede simplificar la ecuación diferencial a una forma más compacta, facilitando el análisis y la solución del sistema.
¿Qué se puede inferir de la solución particular del modelo matemático?
-Una solución particular del modelo matemático puede proporcionar una comprensión específica de cómo el sistema se comporta bajo ciertas condiciones, aunque no necesariamente refleje todas las posibles variaciones del sistema.
Outlines
📐 Análisis del Sistema Masa-Resorte
El primer párrafo explica cómo se realiza un modelo matemático para un sistema de masa y resortes. Se describe un sistema donde hay cuatro resortes distribuidos en pares a cada lado de la masa, y se menciona una fuerza externa que provoca el movimiento. Se asume que no hay fricción entre la masa y el suelo. Se establece un marco de referencia centrado en la masa, con los ejes horizontal y vertical hacia la derecha y hacia abajo respectivamente. Se procede a realizar un análisis de fuerzas en el eje X, considerando la fuerza externa y las reacciones de los resortes. Se establece una ecuación donde la suma de las fuerzas (fuerza externa y reacciones de los resortes) es igual a la masa por la aceleración. Se destaca que la fuerza de un resorte está directamente proporcional a su deformación, y se ajusta la ecuación para reflejar correctamente la dirección de las fuerzas.
🔍 Resolución de la Ecuación Diferencial
El segundo párrafo se enfoca en la resolución de la ecuación diferencial que modela el sistema anteriormente descrito. Se menciona que la ecuación es de segundo orden, ya que involucra la segunda derivada. Se observa que si todos los resortes tienen la misma constante de elongación, la ecuación se simplifica a una forma general que representa la oposición de la fuerza externa por parte de los resortes. Se destaca la posibilidad de que la solución no es única y que puede haber variaciones dependiendo de las constantes de los resortes y sus deformaciones. Finalmente, se invita a los espectadores a seguir disfrutando de su día y se menciona la creación de más contenido en el futuro.
Mindmap
Keywords
💡sistema masa resorte
💡fuerza externa
💡frcción
💡diagrama de cuerpo libre
💡fuerzas en x
💡aceleración
💡constante de elasticidad
💡ecuación diferencial
💡resolución generalizada
💡solución particular
Highlights
Se realiza el modelo matemático para un sistema masa-resorte.
Existen cuatro resortes dispuestos en pares a cada lado de la masa.
Una fuerza externa causa el movimiento en el sistema.
No se considera la existencia de fricción entre la masa y el suelo.
El marco de referencia se coloca en el centro de masa del objeto.
El eje x se dispone hacia la derecha y el eje y hacia abajo.
El diagrama de cuerpo libre muestra las interacciones de la masa con los resortes.
La fuerza externa crea interacciones en los resortes en sentido contrario.
Las reacciones de los resortes generan oposición a la fuerza externa.
Se realiza la sumatoria de fuerzas en x para el análisis dinámico.
La fuerza de un resorte es proporcional a su deformación.
Se plantea una ecuación con la masa, las constantes de los resortes y la aceleración.
La ecuación se ajusta para que los términos negativos se vuelvan positivos.
La ecuación resultante es una ecuación diferencial de segundo orden.
Se observa que la ecuación es cuadrática en términos de la fuerza.
Se generó una resolución generalizada del problema.
Es posible la existencia de soluciones particulares con constantes de elongación diferentes.
Se espera que el modelado matemático sea comprensible y útil.
Se promete crear más contenido relacionado en el futuro.
Transcripts
saludos a todos esperando estén pasando
un excelente día
en este vídeo se realiza el modelo
matemático para un sistema masa resorte
observando la existencia de cuatro
resortes dispuestos en pares a cada lado
de nuestra masa
teniendo una fuerza externa causante del
movimiento en el sistema
no se considera la existencia de
fricción entre él
la masa
y el suelo
y con ellos nos es posible comenzar con
el planteamiento
de nuestro
marco de referencia el cual se supondrá
colocado en el centro de masa de nuestro
objeto con las direcciones de los ejes
hacia la derecha el eje x
y en este caso a diferencia de
otros análisis desarrollados nuestro eje
será dispuesto hacia abajo
la intención de hacerlo de este modo y
es
notar que no
es relevante
la ubicación
del referencial y así las direcciones
realizando el planteamiento de un
diagrama de cuerpo libre
en el objeto en este caso la masa
como entrada tenemos la fuerza externa
la cual causa movimiento al objeto
esta fuerza
crea interacciones en los resortes de
manera contraria
primero observando para acá 3
una reacción en sentido opuesto a sí
mismo para acá 4
y al otro extremo de la masa
las reacciones de los resortes cada uno
y cada dos
también
generan oposición
eventualmente la misma masa está creando
una oposición
hacia la fuerza externa
una vez planteado nuestro diagrama de
cuerpo libre podemos notar todas las
interacciones que sufre nuestra masa
y comenzamos realizando nuestro análisis
a partir de la sumatoria de fuerzas en x
en donde se da una dinámica que es igual
a menos la masa
por la aceleración
el sentido positivo está a la derecha
y del mismo modo planteando las motos de
fuerzas en que aquí no hay un no hay
interacciones no hay dinámicas no hay
movimiento entonces éstas van a ser
nulas
y su sentido es positivo
realizando el planteamiento
de las interacciones de mx dado que es
un análisis unidimensional
tendremos que - la fuerza externa porque
se encuentra dirigida en sentido
contrario a lo que nosotros establecimos
más la fuerza del resorte 1
más la fuerza del resorte 2
más la fuerza del resorte 3
más la fuerza del resorte 4 es igual
a menos la masa por la aceleración
hacer notar que la fuerza de un resorte
aplica la ley de juego que nos dice que
la fuerza es directamente proporcional
a su deformación
de formación que en este caso la
denotamos como delta
y que para nuestro análisis tiene que
ver cuando un desplazamiento
en consecuencia
arreglemos un poco nuestra ecuación
anterior haciendo que los términos
negativos se vuelvan positivos y esto es
cambiando los
en la ubicación de la igualdad
este que está negativo al lado derecho
lo pasaremos al izquierdo volviéndose
positivo en tanto que la fuerza externa
la llevamos a la parte derecha se vuelve
positiva y nuestra ecuación quedará como
la masa por la aceleración que tiene que
ver únicamente en
el eje x +
la constante de la oración cada uno del
resorte
por equis
constante del resorte 2
nuevamente por equis
3x
a 4x igual a la fuerza externa
es interesante notar qué
sí
las constantes de elongación del resorte
son todas iguales cada uno igual acá dos
igual acá 3
igual acá 2 igual acá 3 de cada 4
nos generarían una ecuación diferencial
cómo
4k
x
es decir
estaría
cuatriplicando la fuerza
y los resortes para que la fuerza
externa encuentra oposición
observamos también que es una ecuación
de segundo orden puesto que la máxima
derivada es de grado 2
y de este modo hemos generado
una resolución
generalizada del problema
y también podemos observar
una solución particular
que claro no
necesariamente es la única puede haber
variantes de la misma
en el sentido de que cada uno de estos
resortes al tener diferentes constantes
la deformación que sufren será distinta
esperando que sea
comprensible
la creación de este modelado matemático
estaremos
creando un nuevo contenido para futuras
ocasiones hasta pronto y sigan pasando
un excelente día
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