56. Razón de cambio instantánea
Summary
TLDREl script explica el concepto de razón de cambio media y su transición a la razón de cambio instantánea en el contexto de la derivada en cálculo. Se utiliza un ejemplo de temperatura que varía con el tiempo, ilustrando cómo la razón de cambio media se calcula dividiendo el cambio en la temperatura entre el cambio en el tiempo. A través de una gráfica con puntos cada minuto, se muestra cómo la función se vuelve suave y se aproxima a la recta secante, que representa la razón de cambio instantánea. Al acercar el tiempo final al inicial, la recta secante se convierte en la tangente a la curva, representando la derivada, esencial para entender cambios en física y matemáticas.
Takeaways
- 📈 La razón de cambio media es fundamental para entender la variación de una función en un intervalo de tiempo.
- 📊 La razón de cambio instantánea se obtiene al aproximar el tiempo final al tiempo inicial, lo que se traduce en una recta tangente en lugar de una secante.
- 🕒 El delta de tiempo (Δt) se calcula como la diferencia entre el tiempo final y el tiempo inicial.
- 🌡️ El delta de temperatura (ΔT) se calcula como la temperatura final menos la temperatura inicial.
- 🔍 La razón de cambio media se representa geométricamente como el triángulo formado por los puntos de inicio y final y la recta secante.
- 📐 La recta secante es una línea que toca dos puntos de la curva y representa la razón de cambio en ese intervalo.
- 🎯 Al acercar el tiempo final al tiempo inicial, la recta secante se vuelve más vertical, lo que indica una razón de cambio más alta.
- 📉 La temperatura final puede ser más baja que la inicial, dependiendo de las condiciones, como la oscurecimiento o la noche.
- 🧮 La derivada de la temperatura respecto del tiempo es la razón de cambio instantánea y se representa cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
- 🌐 La derivada es una herramienta esencial en física, ciencias y matemáticas para estudiar cambios en funciones.
Q & A
¿Qué es la razón de cambio media y cómo se calcula?
-La razón de cambio media es una medida de la variación de una cantidad con respecto a otra, y se calcula dividiendo el cambio en la cantidad (delta de temperatura) entre el cambio en la otra (delta de tiempo). Geométricamente, se representa como la pendiente de la línea secante entre dos puntos en una gráfica.
¿Cuál es la diferencia entre la razón de cambio media y la razón de cambio instantánea?
-La razón de cambio media es el cambio promedio entre dos puntos, mientras que la razón de cambio instantánea es el cambio en un punto específico. La razón instantánea se obtiene tomando el límite de la razón de cambio media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
¿Qué es un 'delta' en el contexto de la derivada?
-Un 'delta' (denotado como Δ) es una medida de cambio en una variable. Por ejemplo, Δt representa el cambio en el tiempo y ΔT representa el cambio en la temperatura.
¿Cómo se interpreta la inclinación de la recta secante en una gráfica?
-La inclinación de la recta secante en una gráfica representa la razón de cambio media entre dos puntos. Cuanto más vertical sea la línea, mayor será la razón de cambio, indicando un aumento o disminución más rápido de la variable dependiente.
¿Qué es la derivada de una función y cómo se relaciona con la razón de cambio instantánea?
-La derivada de una función es un concepto matemático que representa la razón de cambio instantánea de una variable con respecto a otra. Es el límite de la razón de cambio media cuando el intervalo de tiempo se hace infinitesimalmente pequeño.
¿Qué significa que la temperatura final puede ser más baja que la inicial?
-Que la temperatura final puede ser más baja que la inicial indica que la temperatura está disminuyendo, lo que podría ocurrir, por ejemplo, durante la noche cuando el sol se ha puesto y el ambiente se enfría.
¿Cómo se representa geométricamente la aproximación de la razón de cambio instantánea?
-Geométricamente, la aproximación de la razón de cambio instantánea se representa haciendo que el punto final se acerque al punto inicial en la gráfica, lo que hace que la recta secante se venga más vertical y se asemeje más a la tangente en el punto de interés.
¿Qué es la tangente en una gráfica y cómo se relaciona con la derivada?
-La tangente en una gráfica es la línea que toca la curva en un solo punto y tiene la misma inclinación que la curva en ese punto. La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente en ese punto.
¿Por qué es importante entender la diferencia entre la razón de cambio media y la instantánea en el estudio de funciones?
-Es importante entender esta diferencia porque la razón de cambio instantánea, representada por la derivada, es fundamental en el análisis de la tasa a la que las cosas cambian en un momento dado, lo que es crucial en áreas como la física y las ciencias.
¿Cómo se relaciona el concepto de límite con la definición de la derivada?
-El concepto de límite es esencial en la definición de la derivada, ya que la derivada se obtiene tomando el límite de la razón de cambio media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo que nos da la razón de cambio instantánea.
Outlines
📈 Introducción al cambio de razón media y instantánea
Este párrafo introduce la importancia de comprender la diferencia entre la razón de cambio media y la razón de cambio instantánea en el contexto de un vídeo educativo sobre cálculo. Se enfatiza la necesidad de entender el concepto más allá de las reglas y propiedades tradicionales de cálculo. Se utiliza un ejemplo de la temperatura para ilustrar cómo la razón de cambio media se calcula a través de la diferencia entre la temperatura final y la inicial dividida por el tiempo transcurrido. Además, se presenta una gráfica con puntos que representan la temperatura medida cada minuto, en contraste con una lectura menos precisa cada hora, para mostrar una función suave y continua de la temperatura en función del tiempo.
🔍 Refinando la razón de cambio hasta el instante
El segundo párrafo profundiza en cómo aproximar la razón de cambio instantánea a partir de la razón de cambio media. Se explica que al acercar el tiempo final al tiempo inicial, la recta secante entre dos puntos de la curva se vuelve más vertical, lo que indica una razón de cambio más alta. A través de la repetición de este proceso, la recta secante se refina hasta que se convierte en una tangente, representando así la razón de cambio instantánea en un punto específico. Se hace un paralelismo con el concepto de límites en matemáticas, donde el intervalo de tiempo tiende a cero y la derivada de la temperatura respecto del tiempo se obtiene, que es una medida de la razón de cambio instantánea. Este concepto es fundamental en física y ciencias para estudiar funciones y sus cambios en un punto específico.
Mindmap
Keywords
💡razón de cambio media
💡razón de cambio instantánea
💡delta tiempo
💡delta temperatura
💡término
💡función suave
💡recta secante
💡límite
💡derivada
💡geometría
Highlights
Introducción a la diferenciación entre razón de cambio media y razón de cambio instantánea.
Importancia de comprender la diferenciación entre ambas razones de cambio en cálculo.
Representación gráfica de la temperatura con un termómetro más preciso que mide cada minuto.
Explicación de la función suave y cómo se relaciona con la temperatura y el tiempo.
Definición de los deltas de tiempo y temperatura en el contexto de la gráfica.
Cálculo de los deltas de temperatura y tiempo para determinar la razón de cambio media.
Geometría detrás de la razón de cambio media representada por un triángulo en la gráfica.
Explicación de la recta secante y su relación con la razón de cambio media.
Cómo la recta secante representa la inclinación y ritmo de cambio de la temperatura.
Proceso de acercar el tiempo final al tiempo inicial para aproximar la razón de cambio instantánea.
Visualización de cómo la recta secante se vuelve más precisa al acercar el tiempo final al inicial.
Límite de la razón de cambio media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, introducción a la derivada.
Definición de la derivada de la temperatura respecto del tiempo como razón de cambio instantánea.
Importancia de la derivada en física, ciencias y matemáticas para estudiar funciones.
Redefinición geométrica de la definición de la derivada para aplicarla a otras funciones.
Transcripts
se comienza a poner bueno el asunto
ahora vamos a pasar de la razón con
acento de cambio media a la razón de
cambio instantánea esto es fundamental
que se entienda así que el vídeo
repítalo una y otra vez o no me importa
que se vayan con la competencia en
youtube pero es importantísimo que se
entienda esto lo demás que se ve en el
curso tradicional de cálculo son puras
cuentas aprender reglas de las derivadas
propiedades que si la derivada de eeuu
por la derivada de b y hacer cuentas
pero en el fondo el corazón lo que
importa es entender lo que significa
entonces ahora tenemos la misma gráfica
pero ahora le estoy representando con un
montón de puntos recuerden que en el
vídeo anterior nosotros teníamos una
lectura de la temperatura para cada hora
a las 8 a las 9 a las 10 a pues ahora
tenemos un termómetro mucho más preciso
que nos mide cada minuto la temperatura
entonces cómo nos mire cada minuto ahora
tenemos un montón de puntos por todos
lados
de manera que como son muchísimos puntos
ahora ya no se ve una la curva en
pedazos o sea con vértices ahora tenemos
una función suave una función que se ve
más elegante pues justamente esta es la
función de la temperatura que depende
del tiempo recuerden que esto es el
equivalente a efe de x perfecto ahora
nosotros queremos encontrar y ya lo
sabemos la razón de cambio en este
intervalo de tiempo que estoy
proponiendo cuál es ese intervalo de
tiempo pues entre tiempo inicial y
tiempo final observe que aquí hay un
delta de tiempo o sea ponerlo con verde
aquí tenemos un delta de tiempo
o sea la distancia que hay aquí vamos a
ponerlo así como los arquitectos la
distancia que está aquí es delta tiempo
y también vean que en el eje vertical la
temperatura tenemos un delta de
temperatura que también lo podemos poner
aquí así como los arquitectos
se nos quedaría algo así y acá vamos a
tener alta temperatura ya sabemos cómo
calcular esos deltas el delta
temperatura muy fácil pues es
temperatura final lo que valga menos
temperatura inicial lo que valga y el
delta tiempo pues va a ser igual a
tiempo final menos tiempo inicial
lógicamente en este caso el tiempo final
pues tiene que ser mayor que el tiempo
inicial o sea no tiene sentido que el
tiempo inicial sea mayor que el tiempo
final en las temperaturas no pasa nada
fíjense que la temperatura final puede
ser más baja que la temperatura inicial
por ejemplo que esté
oscureciendo o que ya sea de noche y
conforme avanza la noche o la
temperatura va a bajar aquí vemos como
la temperatura sube pero durante la
noche esta gráfica posible para abajo
muy bien bueno pues eso nada más es un
poco de contexto físico para que se
entienda un poquito más el ejemplo pues
ahora queremos calcular la razón de
cambio media primero
son de cambio
y media
promedio
promedio esta palabra es importante no
nos va a quedar del tate tiempo
temperatura entre delta tiempo pues va a
ser igual a
tiempo final alta y daley o temperatura
final menos temperatura inicial
entre el partido
ahora sí tiempo final
menos tiempo inicial pues nos queda esta
división esta razón de aquí
geométricamente que significa vean que
nosotros aquí tenemos un triangulito ya
lo hacíamos en los vídeos anteriores de
aquí aquí sabemos que es de alta tiempo
y de aquí aquí de alta temperatura los
los suelo poner no importa esto es de
alta temperatura
esto es de alta tiempo y observen que se
forma un triángulo entre estos dos
puntos de aquí
yo puedo unir solamente con fines
temáticos los dos puntos prolongó la
línea y fíjense que esa línea me está
diciendo
lógicamente me dice la inclinación pero
me está diciendo el ritmo de cambio o
sea la razón
de cambio
como en el ejemplo anterior de los
vídeos anteriores entre más vertical
entre más paradas de la línea si está
más parada la línea por la temperatura
aumenta más rápido y si está más
acostada la línea la temperatura
disminuye
aumenta más lento bueno pues esta línea
que está aquí tiene un nombre para ser
estrictos se llama recta secante secante
porque toca dos puntos de la curva muy
bien ahora si nosotros queremos
que esta razón de cambio pero medio por
qué promedio porque es la razón de
cambio que hay entre el punto inicial y
el punto final si la queremos aproximar
o la queremos hacer más precisa lo que
tenemos que hacer es juntar el tiempo
final
acercarlo acercarlo al tiempo inicial
entonces nosotros queremos que lo voy a
poner
queremos
a hacer
el tiempo final
se acerque al tiempo inicial esto sí
también lo podemos pensar como que
tienda recuerden el tema de límites que
el tiempo final tienda al tiempo inicial
de manera que vean lo que sucede voy a
borrar aquí unas cositas esto ya lo
saben bien si yo acercó este punto final
lo vamos a poner con morado y yo lo
acercó ahora aquí digo nada muy bien
ahora mi tiempo final es este perfecto
pues ahora me del tate es esto de aquí
delta tiempo y qué pasa con la
temperatura por la temperatura se viene
hasta acá hasta donde yo que aquí se
queda
perfecto pues ahora mi temperatura final
es esta de aquí
y el triángulo es justamente este las
voy a borrar esto que se ve mejor acá
este es mi triángulo ahora entonces
fíjense que ahora mis dos puntos son
este y este y si yo hago la recta
secante aunque interesante si yo hago la
recta secante ahora tengo la recta así o
sea está un poquito más para la recta
está un poquito más vertical que
significa a que la razón de cambio es
más alta de lo que yo al principio había
estimado y ahora si vuelvo a repetir
esto y ahora lo acercó todavía más vamos
a poner otro color no lo sé este tal vez
el rosita
viene si yo me acerco ahora y el tiempo
final es este tiempo final perfecto pues
si este es el tiempo final
vengo aquí pues ahora el punto llega
aquí
esta va a ser ahora mi té final
ahora mi triángulo va a ser este
este va a ser mi otro punto vuelvo a
hacer la recta espero que ya estén
teniendo la idea vuelvo a hacer la recta
se dan cuenta que se parece mucho a la
recta morada pero cada vez se refina más
es decir cada vez es más más precisa
entonces la idea es la siguiente la idea
es llevar este punto prácticamente a que
colapse a que se forme un único punto de
manera que estas rectas secantes como lo
dijimos que es una recta que toca dos
puntos cuando nosotros vamos a aplicar
un límite esos dos puntos se van a
convertir en uno entonces si aplicamos
un límite aquí vean
tenemos que delta temperatura entre
delta tiempo esto es la razón de cambio
media pero si el tiempo ese intervalo de
tiempo lo hacemos más chiquito y más
chiquito y más chiquito como lo estamos
haciendo aquí en el esquema pues aquí le
podemos poner límite
cuando delta tiempo tiende a cero que
significa que el paso entre una medición
y otra va a ser
infinitesimalmente pequeño pues esto que
está aquí se llama derivada de la
temperatura
respecto del tiempo y esto damas y
caballeros es una razón
de cambio
instantánea
instantánea
porque porque ocurre justo en un punto
no el promedio de dos justo en un punto
y esto digamos que es una expresión muy
útil en en física en ciencias y en
matemáticas para estudiar funciones
típicas fx vamos a hacer un pequeño
arreglo vamos a redefinir un poco más
geométricamente esta definición para
poder aplicarla a funciones de las que
hemos estudiado
antes
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