Aplicación de la función cuadrática

Summary

El guion describe cómo resolver un problema de maximizar el área de un jardín rectangular usando una función cuadrática. Se tiene 60 metros de cable para rodear tres lados del jardín, con el cuarto lado limitado por la casa. Se establece la ecuación de área \( A = x(60 - 2x) \), donde \( x \) es el ancho del jardín. A través del análisis gráfico y la fórmula de puntos máximos de una parábola, se determina que el área máxima se alcanza cuando el ancho es de 15 metros, resultando en dimensiones del jardín de 15 metros por 30 metros.

Takeaways

• 😀 El problema planteado es encontrar las dimensiones de un jardín rectangular para maximizar su área, usando 60 metros de cable para los tres lados.
• 🏡 Se asume que el cuarto lado del jardín limita con la casa, por lo que no requiere cable.
• 📏 Se definen las variables: el ancho del jardín como 'x' y el largo como '60 - 2x', basado en la restricción del cable.
• 📉 Se establece que la función para el área del jardín es cuadrática, y se busca el valor de 'x' que maximiza esta área.
• 📊 Se utiliza el método gráfico para analizar la ecuación y encontrar el punto máximo, que representa el área máxima.
• 🔢 Se sugiere probar valores negativos, cero y positivos para 'x' para entender el comportamiento de la función y determinar el rango donde se alcanza el máximo.
• 📐 Se aplica la fórmula x = -b / (2a) para encontrar el punto de máxima área, donde 'a' y 'b' son coeficientes de la ecuación cuadrática.
• 🧮 Se calcula que el valor de 'x' que maximiza el área es 15 metros, lo que significa que el ancho del jardín debe ser de 15 metros.
• 📏 Se determina que las dimensiones del jardín para maximizar el área son 15 metros de ancho y 30 metros de largo (largo calculado como 60 - 2*15).
• 📝 El área máxima del jardín, con las dimensiones calculadas, es de 450 metros cuadrados.

Q & A

¿Cuál es el problema planteado en el guion?

El problema planteado es encontrar las dimensiones de un jardín rectangular para obtener el área máxima, sabiendo que solo se puede colocar tres lados de cercado con 60 metros de cable, ya que el cuarto lado limita con la casa.

¿Cómo se representa la longitud del cable en la ecuación?

La longitud del cable se representa como 60 metros y se usa para definir la variable 'x', que es el ancho del jardín, y el largo se representa como '60 - 2x'.

¿Cuál es la fórmula para el área del rectángulo en este problema?

La fórmula para el área del rectángulo es base por altura, es decir, 'x * (60 - 2x)'.

¿Qué tipo de función se utiliza para modelar el área del jardín?

Se utiliza una función cuadrática para modelar el área del jardín, ya que la ecuación de área es de segundo grado.

¿Cómo se determina el punto máximo de la función cuadrática?

El punto máximo se determina analizando gráficamente la parábola o utilizando la fórmula x = -b / (2a), donde 'a' y 'b' son los coeficientes de la función cuadrática.

¿Cuál es el valor de 'x' que maximiza el área del jardín según el guion?

El valor de 'x' que maximiza el área del jardín es 15 metros.

¿Cuál es la dimensión del largo del jardín cuando el área es máxima?

Cuando el área es máxima, la dimensión del largo del jardín es de 30 metros, ya que '60 - 2 * 15' da 30.

¿Cuál es el área máxima del jardín que se puede obtener con 60 metros de cable?

El área máxima del jardín que se puede obtener es de 450 metros cuadrados.

¿Cómo se utiliza el método gráfico para encontrar el punto máximo de la parábola?

El método gráfico se utiliza proponiendo valores para 'x' y observando cómo varía el área. Se busca el punto donde la parábola alcanza su nivel máximo antes de comenzar a disminuir.

¿Qué herramienta matemática se utiliza para encontrar el punto máximo sin gráficos?

Se utiliza la fórmula de los puntos máximos y mínimos de una parábola, que es x = -b / (2a), para encontrar el punto máximo sin necesidad de gráficos.

¿Cómo se justifica la elección de valores negativos y positivos para 'x' en el análisis gráfico?

Los valores negativos y positivos para 'x' se eligen para comprender el comportamiento de la función en todo el rango y para asegurarse de que no se pierdan puntos críticos, como el máximo, que podrían estar fuera del rango de valores positivos comunes.