OPTIMIZACIÓN [Resuelve CUALQUIER PROBLEMA en 7 PASOS]

Summary

Este video enseña cómo resolver un problema de optimización paso a paso, utilizando un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 9 cm. A través de siete pasos clave, se aborda la derivación de una función para maximizar el área del triángulo. Se explica la relación entre las variables usando el teorema de Pitágoras, la optimización de la función de área, y cómo derivar e igualar a cero para encontrar el valor de la base. Finalmente, se verifica que el valor encontrado sea un máximo y se calcula el área máxima, demostrando cómo la optimización puede ser aplicada para resolver problemas matemáticos de manera eficiente.

Takeaways

• 😀 El primer paso para resolver el problema es realizar un dibujo del triángulo rectángulo, con la hipotenusa de 9 cm, y asignar variables para la base (x) y la altura (y).
• 😀 El objetivo del ejercicio es encontrar el área máxima de un triángulo rectángulo con hipotenusa de 9 cm.
• 😀 El área de un triángulo es igual a la base por la altura dividida por dos. Esto se puede expresar como A = (x * y) / 2.
• 😀 Debido a que hay dos variables (x y y), es necesario escribir una ecuación que relacione estas dos variables y expresarlas en términos de una sola, utilizando el teorema de Pitágoras.
• 😀 La ecuación de Pitágoras nos da la relación: x² + y² = 9² (o 81), lo que permite aislar y en términos de x.
• 😀 Una vez aislada y, la función de área se convierte en A(x) = x * √(81 - x³) / 2, que es la función que se debe maximizar.
• 😀 Para maximizar el área, se deriva la función de área con respecto a x y se iguala a cero para encontrar el valor de x que maximiza el área.
• 😀 El proceso de derivación puede ser complejo debido a las raíces y multiplicaciones, pero se recomienda tratar el factor 1/2 como un multiplicador y simplificar la expresión.
• 😀 Al derivar, se obtiene una ecuación que se puede resolver para encontrar los posibles valores de x que maximizan el área, y la solución es x = 9√2 / 2.
• 😀 Es importante descartar el valor negativo de x, ya que las dimensiones no pueden ser negativas, y se elige el valor positivo de x = 9√2 / 2 ≈ 6.36 cm.
• 😀 Para verificar que este valor de x corresponde a un máximo, se utiliza el criterio de la primera derivada, comprobando que la derivada cambia de positiva a negativa alrededor de este valor de x.
• 😀 Finalmente, al sustituir el valor de x en la ecuación de y, se obtiene que y = 9√2 / 2 cm. El área máxima es entonces 81 / 4 = 20.25 cm².

Q & A

¿Cómo podemos visualizar el problema para hacerlo más fácil de resolver?

El primer paso siempre debe ser dibujar el triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 9 cm, y luego etiquetar las variables correspondientes: 'x' para la base y 'y' para la altura.

¿Qué fórmula se utiliza para calcular el área de un triángulo rectángulo?

El área de un triángulo rectángulo se calcula con la fórmula: Área = (base * altura) / 2. En este caso, se usa 'x' para la base y 'y' para la altura, por lo que el área es igual a (x * y) / 2.

¿Por qué necesitamos relacionar las dos variables, 'x' y 'y', en una sola expresión?

Necesitamos relacionar 'x' y 'y' para poder expresar el área solo en función de una variable. Esto nos permite optimizar el área en función de una sola incógnita y hacer el proceso de derivación más sencillo.

¿Qué herramienta matemática se utiliza para relacionar las variables 'x' y 'y' en este problema?

Se utiliza el teorema de Pitágoras, que establece que x² + y² = hipotenusa². Dado que la hipotenusa es 9 cm, sustituimos en la ecuación y obtenemos x² + y² = 81.

¿Cómo se puede expresar 'y' en función de 'x'?

A partir de la ecuación x² + y² = 81, aislamos 'y' y obtenemos y = √(81 - x²). Esta expresión relaciona 'y' con 'x' y la sustituimos en la fórmula del área.

¿Por qué es útil expresar el área solo en términos de 'x'?

Expresar el área solo en términos de 'x' hace que el proceso de optimización sea más sencillo, ya que ahora solo necesitamos derivar una función de una sola variable, lo que simplifica los cálculos.

¿Qué estrategia se utiliza para derivar la función del área?

Para derivar la función del área, se utiliza la regla del producto y la regla de la cadena. Se deriva primero el término 'x' y luego el término √(81 - x²), aplicando las derivadas de cada término en consecuencia.

¿Cómo se encuentra el valor de 'x' que maximiza el área?

Se encuentra el valor de 'x' que maximiza el área igualando la derivada a cero. Esto nos da una ecuación en términos de 'x' que se resuelve para obtener el valor de 'x' que maximiza el área.

¿Por qué se descarta la solución negativa para 'x'?

La solución negativa para 'x' se descarta porque no tiene sentido físico: una de las longitudes de los catetos del triángulo no puede ser negativa, por lo que solo se toma la solución positiva.

¿Cómo verificamos que la solución encontrada es un máximo?

Se verifica que la solución es un máximo utilizando el criterio de la primera derivada. Sustituyendo valores alrededor de la solución en la derivada, podemos confirmar que el área aumenta antes de llegar a 'x = 6.36' y disminuye después, lo que indica un máximo.