Why there are no 3D complex numbers
Summary
TLDRВ этом видео представлен простой аргумент о том, почему не существует трехмерных комплексных чисел. Автор вдохновился видео Майкла Пенна, в котором используется абстрактная алгебра для объяснения перехода от вещественных чисел к комплексным, затем к кватернионам и далее. В видео показывается, что для трехмерных комплексных чисел невозможно определить умножение, сохраняющее важные свойства, такие как вращение на 90° при умножении на единицу虚. Это делает невозможным их использование в геометрии трехмерного пространства.
Takeaways
- 🔢 Существует интересный вопрос, почему не существует трёхмерных комплексных чисел.
- 🔍 Идея видео вдохновлена сложным объяснением от Майкла Пенна, который использует абстрактную алгебру для этого вопроса.
- 🧮 Комплексные числа определяются как решения уравнения x² = -1, что не имеет реального решения.
- 📈 Комплексные числа можно представить в виде a + bi, где a и b — это действительные числа, а i² = -1.
- 🔄 Умножение на i в комплексной плоскости поворачивает числа на 90°, что является важным свойством комплексных чисел.
- 🌐 Трёхмерные комплексные числа могли бы быть полезны в трёхмерном пространстве, но такие числа не могут быть определены.
- ❌ Основная проблема заключается в невозможности корректно определить произведение i * j для трёхмерных комплексных чисел.
- ⚠️ Если попытаться определить i * j = 1 или -1, возникают противоречия, и не удается сохранить ортогональность осей.
- 🔧 Умножение i на j также приводит к противоречиям, если попытаться определить его как линейную комбинацию других осей.
- 🚫 В результате, трёхмерные комплексные числа невозможны, так как невозможно соблюсти необходимые алгебраические свойства.
Q & A
Почему не могут существовать трехмерные комплексные числа?
-Трехмерные комплексные числа не могут существовать, потому что невозможно определить операцию умножения для этих чисел так, чтобы сохранить свойства, которые делают комплексные числа полезными, например, возможность вращения и ортогональность осей.
Что происходит при попытке определить произведение i и j в трехмерных комплексных числах?
-При попытке определить произведение i и j возникают противоречия, такие как невозможность сохранить ортогональность осей и независимость измерений, что делает невозможным определение таких чисел.
Какое основное свойство комплексных чисел делает их удобными для использования в математике?
-Одним из основных свойств комплексных чисел является то, что умножение на мнимую единицу i приводит к вращению на 90 градусов на комплексной плоскости, что позволяет использовать обычные алгебраические операции для решения геометрических задач.
Что происходит, если попытаться определить i * j как реальное число?
-Если попытаться определить i * j как реальное число, возникает противоречие, так как это приводит к тому, что одна из осей становится зависимой от другой, что нарушает требование трехмерности и независимости осей.
Почему невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей?
-Невозможно определить i * j как произвольную линейную комбинацию осей, потому что при этом возникает противоречие: например, при попытке решить получившееся уравнение для коэффициентов оказывается, что один из коэффициентов должен быть мнимым числом, что неприемлемо в рамках реальных чисел.
Какую роль играет ассоциативность в доказательстве невозможности существования трехмерных комплексных чисел?
-Ассоциативность используется для упрощения операций и проверки противоречий. Если бы ассоциативность отсутствовала, многие алгебраические операции, которые делают числа полезными, были бы невозможны.
Какую аналогию можно провести между комплексными числами и гипотетическими трехмерными комплексными числами?
-Аналогия заключается в том, что, как и комплексные числа, трехмерные комплексные числа должны иметь оси, ортогональные друг другу, и умножение на одну из мнимых единиц должно приводить к вращению в соответствующей плоскости. Однако в случае трехмерных чисел это невозможно без противоречий.
Какие типы чисел существуют, если продолжить расширение от вещественных чисел?
-После вещественных чисел существуют комплексные числа (двумерные), кватернионы (четырехмерные) и октанионы (восьмимерные). Однако трехмерных комплексных чисел не существует.
Почему важно сохранять независимость измерений при определении трехмерных комплексных чисел?
-Независимость измерений важна, потому что это позволяет каждой оси быть независимой от других, что необходимо для выполнения алгебраических операций и описания трехмерного пространства.
Что произойдет, если попытаться определить i * j = j?
-Если попытаться определить i * j = j, это приведет к противоречию, так как получится, что j равно 1, что не должно быть возможным, поскольку это нарушает требование независимости осей.
Outlines
🧮 Почему не существует трёхмерных комплексных чисел
В первом параграфе обсуждается основная тема видео — почему не существуют трёхмерные комплексные числа. Видео вдохновлено более сложным и детализированным роликом Майкла Пенна, где он использует абстрактную алгебру для объяснения этой проблемы. Автор объясняет, что при переходе от вещественных чисел к комплексным числам, а затем к кватернионам и октанионам, невозможно определить трёхмерные комплексные числа из-за невозможности определять умножение в этом случае. Видео начинается с введения комплексных чисел как решений уравнения x² = -1 и их представления в виде двухмерных векторов, которые можно умножать и вращать в комплексной плоскости.
🔢 Проблема с определением умножения в трёхмерных комплексных числах
Во втором параграфе подробно рассматривается проблема, возникающая при попытке определить умножение для трёхмерных комплексных чисел. Если бы существовали такие числа, они могли бы быть представлены в виде A + B * I + C * J, где A, B и C — вещественные числа, а I и J — обозначения для воображаемых единиц. Однако проблема возникает при попытке определить, чему равно произведение I на J. Если предположить, что I * J равно 1 или -1, то это приводит к противоречию, где одно из значений J можно выразить через I, что нарушает ортогональность измерений.
📐 Ассоциативность и коммутативность в трёхмерных комплексных числах
В третьем параграфе исследуются возможные варианты, как можно было бы определить произведение I на J, сохраняя ассоциативность и коммутативность в трёхмерных комплексных числах. Автор использует различные математические манипуляции, чтобы показать, что любые попытки определить I * J приводят к противоречию, если мы хотим сохранить ортогональность измерений и ассоциативность операций. В результате, оказывается, что нельзя определять трёхмерные комплексные числа, которые сохраняют свойства, необходимые для работы с ними в алгебраических вычислениях.
🚫 Заключение: Почему трёхмерные комплексные числа невозможны
Четвёртый параграф подводит итог обсуждению, подчеркивая, что невозможно определить трёхмерные комплексные числа, сохранив свойства, которые делают комплексные числа полезными. Проблема заключается в невозможности определить произведение I на J без нарушения ортогональности измерений и других важных математических свойств. Видео завершается выводом о том, что трёхмерные комплексные числа просто не могут существовать.
Mindmap
Keywords
💡комплексные_числа
💡квадрат_отрицания
💡комплексная_плоскость
💡уравнение
💡кватернионы
💡октаньоны
💡абстрактная_алгебра
💡множество
💡ортогональность
💡ассоциативность
💡некоммутативность
Highlights
The video presents a simple reason why three-dimensional complex numbers cannot exist.
Inspired by Michael Pen's elaborate video using abstract algebra to explain the progression from real to quaternions, skipping three dimensions.
Three-dimensional complex numbers are hypothesized as an extension of complex numbers for three-dimensional space.
Complex numbers are defined by solving equations like x^2 = -1, introducing the imaginary unit i where i^2 = -1.
Complex numbers allow algebraic calculations in a plane with a real and imaginary part.
Multiplication by i results in a 90° rotation in the complex plane, a key property for potential 3D complex numbers.
The concept of 3D complex numbers would simplify calculations in three-dimensional space using a single number.
The attempt to define 3D complex numbers involves extending the complex number system with an additional dimension represented by j.
The challenge is to define a multiplication rule for i and j while maintaining the properties of orthogonality and independence.
Any attempt to define i*j results in contradictions, such as expressing one dimension in terms of another, losing the third dimension.
Associativity is assumed to preserve the ability to perform algebraic calculations with these hypothetical numbers.
The video demonstrates that defining i*j as any real number or another dimension results in contradictions.
The impossibility of defining a product for i and j that does not violate the desired algebraic properties is the core reason 3D complex numbers do not exist.
The video concludes that the inability to reasonably define the product of i and j leads to the non-existence of 3D complex numbers.
The video provides a clear and simple argument against the existence of 3D complex numbers, using basic algebraic principles.
For those interested in the detailed mathematical reasoning, a link to Michael Pen's video is provided for further exploration.
Transcripts
in today's video I want to present a
simple reason why they cannot be
three-dimensional complex
numbers so this video was inspired by a
much more complex and elaborate video by
Michael pen who's got a very nice math
Channel it will be will be a link to the
video that I'm talking about below where
he makes a very elaborate argument using
abstract algebra as to why when you go
from certain structur certain algebras
that have certain properties you can
start from the real numbers you go to
the complex numbers and then you skip to
the quaternions which are four
dimensional and then you get the
octonion and other structures but you
can look at the video if you want all
the details but the reason in fact is
that um it we don't have
three-dimensional complex numbers
because there is some multiplication
that cannot be defined and that's a
simple argument as to why this specific
case of TR dimensional complex numbers
don't exist so what do I mean by
threedimensional complex numbers so the
idea is that we all know that we can
represent some numbers as real numbers
and we represent them on the line so we
have the zero one e pi and so
on now you can approach complex numbers
in two different ways and basically
they're kind of equivalent but the
complex numbers are defined when we try
to solve equations of the form x^2 =
minus1 so this doesn't have any real
solution
and we introduce some number which we
will call
I so that satisfies i² =
-1 and from that we can write numbers
that include a real part and a complex
part so they have real part length a
plus b * I so A and
B are real
numbers and we represent them in a
plane we have the complex plane here
where you have the real
part on this axis and the imaginary part
on this axis so here we have the number
one here we will have the number I it we
have minus I and minus
one one interesting property here is
that when you multiply something by I
you rotate it 90° in a complex plane so
rotations can be represented in
multiplication that's very interesting
property and it's also interesting that
with the complex numbers you take two
numbers basically a two dimensional
Vector but you perform algebraic
calculation using the the the laws we
use to to use for uh real numbers so
instead of having to deal with two
different numbers and remembering the
way to combine them we just combine them
in this specific Manner and then we can
use ordinary algebra and a lot of the
properties that we're used
to now what would be very interesting it
would be to have 3D complex numbers
because if we can do a lot of
calculations in the plane we live in a
three-dimensional world it would be very
interesting if we could have the same
trick and instead of having to use three
numbers to represent the position of a
any object in space and then track these
numbers and do the calculation the we
we're used to doing them we could
instead have a single number which would
represent all three dimensions but
unfortunately that will not
work so the TR be complex numbers don't
exist
and why don't they exist well let's say
we want to Define one such number so we
would put would have the form a + b * I
so it would include the complex numbers
because we want to expand on what we
already know
and we have another part uh with another
coordinate C and we will give it the
number the letter J to represent the
third dimension so if we look at this we
would
have so we have the real numbers here
and
the I Axis and the J
axis and to keep our analogy with the
the complex
numbers what we would really like to do
is to have J
squar equals minus1 so why do we want
that because we know that multi
multiplying by I will rotate us 90° so
if we rotate by 90° once 90° twice then
we get to minus one we would like to
have the same property in the J axis so
that if we start with the real numbers
and we multiply by
J we get the number J and if we multiply
Again by
J we get to minus one so that the nice
properties that we had before the that
made the complex numbers very useful are
still
present well unfortunately that will not
work and that's what we'll see on the
next board okay we've been trying to
Define threedimensional complex numbers
have the form A+ I * B plus J * C and A
B and C are real
numbers
unfortunately we will run into a problem
when we try to Define I *
G we know that we want I
squared to be minus
one and j s to be minus one
also but if we want to multiply these
numbers together let's say we have two
numbers of this form eventually we will
have to multiply I by G and we have to
decide what this number will be so let's
give it a try
can we have I * g equals
1 or minus one it doesn't matter it will
see why well okay that's a possibility I
* g equals 1 or minus one or any real
number for that matter
well what we can do is we will multiply
by I on each side of this equation so we
have I * I * j = i
and we know that i^ 2 is
min-1 so that means that - J equals
I so if this is true then minus J must
equal to to I sorry well that's a
problem because we want i j and the real
numbers to be in different dimensions so
we shouldn't be able to express J in
terms of I that doesn't work because
then we don't have
three dimensions we really only have two
Dimensions because we can express this
one in term of the other
one okay so I * = 1 doesn't work let's
sayy if we can have I * J equals I well
now you will see the trick uh we use the
same trick each time we will multiply by
something to get a square and that
square will be equal to minus one and we
will get to a contradiction so here uh
we can multiply by I on both
sides I *
itimes
J
equals I * I so that means this is
minus1 this is minus one and that means
that J equal one once again that doesn't
work because what we want to do is to
have three different uh axis that are
orthogonal to each other that Cann be
expressed in terms of each other so J
equals 1 if I * a equals I okay doesn't
work so let's give it a try for the the
last possibility that we could think of
that would be reasonable and you see by
the way that if you could I time 2
equals any real number this one was
replaced by five for example well then
we will keep the five all around and at
the end if this is five minus G will be
equals to 5 * I so we would keep keep
the eye along the calculations and it
still doesn't work so we just have to do
one case of each to see that it can be
on that General
axis so I * 3 equals J here we want to
get rid of this J so what we'll do is or
we can even we multiply by a j on each
side so I * G * g = g * G so I'm
multiplying on the right here and I
multiplying on the left here because
maybe these numbers I don't commute
because when you get to the quion I
haven't mentioned it but it's not a
video about the quadion the higher
Dimensions don't commute together the N
commute so I * J equals minus J * I with
the quion so we don't know if this is
the case here and we don't want to
assume that will there will be
commutativity between I and J so so we
just keep it very clean and multiply by
J on the right this
time um we could preserve associativity
because otherwise we will lose a lot and
we won't be able to do the calculations
that we want to do so if associativity
that is not assumed with this algebra
then all the calculations we we want to
do uh with these numbers to help us uh
which would be one of the reasons why we
would want to use these numbers this
three dimens
complex numbers is to take uh geometry
in 3D and bring it back to algebraic
calculations that won't work either so
we will assume that this is associative
so that I J * G is equal to I * J *
three and if you want to have all the
details of how this works you can look
at the video I mentioned before the
Michael pen
video so I * G * g = g *
G once again this is minus one this is
minus1 so we would
have I = to 1 which is not true I it's
not equal to one because it's on a
different
dimension okay and uh now we will say
well okay we cannot have I * equals 1 I
or J can it be equal to any arbitrary
number well that won't work either uh
I'm sure for the sake of sake of
completeness because here uh I think
that all the reasonable assumptions have
been made and if this doesn't work it's
very unlikely that we will be able to
have practical results that would be
helpful or that would make sense but for
the sake of completeness on the next
board I show what happens if we uh Set
uh I * g equals any arbitary
number okay so now we want to see if we
can Define I * 3 as to any arbitrary
linear combination of the real part the
I part and the J part and to do that we
would simp to see if this works or not
we would simply try to get to a
contradiction like we did with the uh on
the other board so let's
say let's see what what I I do I will
multiply by J on both sides for example
so let's say I have I equals a plus I B
plus J * C and we want to determine what
these a b and c could be so that
this works and so we can multiply by can
multiply by I anything we do a i * I
equals to A
I plus well I * I would be minus
B plus I * g j
um time C now this is min - one - J
goes that to a i minus B plus then what
is I * 3 well it's a + I B+ J C so it
would be C * a + i b plus GC so far we
just took our hypothesis we use it we
multiply by I on both sides reinserted
the value of I * J and now we want to
see if we can get a B and C so how are
we going to do that we want as you can
recall is we want to have three
different axes that are orthogonal to
each other that are independent from
each other real the high part and the J
part so what we do if these two things
are equal then each part must be equal
like like with the complex numbers two
complex numbers are equal to each other
if the real part is equal to their IM to
their real parts are equal to each other
and the imaginary parts are equal to
each other so we're going to do the
same uh okay
so after multiplying this we have let's
say the J part here we' get three
equations the J part here is minus one
and there is no J part there is no J
part and the J part will be equal to c^
2 J now so minus one
equals
c^2 and then now we we have a big
problem because we want these ABCs to be
part of the real
numbers
but c^2 = minus1 doesn't have a solution
in the real numbers C must be imaginary
and that's where we get a contradiction
once again it doesn't work so basically
the reason why we cannot have numbers of
the form a plus I B plus JC with a s
sorry i^2 and j^2 equal minus1 that are
like the complex numbers but in three
dimensions is because we cannot
reasonably Define the product I * J
while keeping a lot of the properties
that we want these numbers to have so
that we can use them and that's it for
today
Browse More Related Video
5.0 / 5 (0 votes)