FOURIER SERIES SOLVED PROBLEM 1 (LECTURE 9) @TIKLESACADEMY

Summary

In this educational video, the instructor embarks on a detailed exploration of Fourier series, starting with the basics and progressing to solve a simple problem. The lesson covers the standard formula for Fourier series, the process of finding coefficients a0, an, and bn using integration by parts, and emphasizes the importance of understanding basic concepts. The instructor provides a step-by-step approach to solving the problem, illustrating the application of limits and integration techniques, and encourages practice with a variety of problems to demystify the complexity often associated with Fourier series.

Takeaways

• 📚 The video is part of a series on Fourier series, starting with the basics and progressing to more complex problems.
• 🔍 The presenter suggests reviewing previous lectures for a clear understanding of the basic concepts of Fourier series.
• 📈 The first problem of the series is introduced, which involves finding the Fourier series for a simple function over a given interval.
• 📝 The standard formula for Fourier series is provided, which is essential for solving any Fourier series problem.
• 🧭 The process of finding the coefficient a_0 is explained, which involves integrating the function over the given interval.
• 📉 The integration by parts method is discussed for finding the coefficients a_n and b_n of the Fourier series.
• 🔢 The importance of recognizing and applying the formula for successive integration by parts is emphasized for solving complex problems.
• 📚 The video provides a step-by-step solution to the first problem, including calculating limits and integrating functions.
• 🔑 The final values of a_0, a_n, and b_n coefficients are determined to construct the Fourier series for the given function.
• 📝 The presenter instructs to substitute the found values back into the original equation to complete the solution.
• 📈 The video concludes by encouraging practice with a variety of problems to master the unit on Fourier series, which is considered challenging by many students.

Q & A

What is the main topic of the video series?

The main topic of the video series is Fourier series, focusing on solving problems related to it.

What is the significance of watching the previous lectures before starting this series?

The previous lectures provide the foundational concepts of the Fourier series, which are essential for understanding the material covered in this series.

What is the first problem discussed in the script?

The first problem discussed is to find the Fourier series for a simple function defined over the interval from 0 to 2.

What is the standard formula for a Fourier series mentioned in the script?

The standard formula for a Fourier series is given by \( f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right) \), where \( L \) is half the period of the function.

How is the coefficient \( a_0 \) calculated in the Fourier series?

The coefficient \( a_0 \) is calculated using the formula \( a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx \), where the integral is taken over one period of the function.

What is the process of finding the coefficient \( a_n \) in the script?

The coefficient \( a_n \) is found by integrating the product of the function and the cosine term over one period, using integration by parts and applying limits from 0 to 2\pi.

What is the role of the formula for successive integration by parts in solving the problem?

The formula for successive integration by parts is crucial for integrating the product of the function and the trigonometric terms, which is necessary to find the coefficients of the Fourier series.

What is the final result for the coefficient \( a_0 \) obtained in the script?

The final result for the coefficient \( a_0 \) is \( 2\pi \), as calculated using the given formula and limits of integration.

How are the limits of integration applied in the process of finding the coefficients?

The limits of integration are applied according to the period of the function, with the upper limit being \( 2\pi \) and the lower limit being 0 for the integration by parts formula.

What is the importance of practicing a variety of problems in understanding Fourier series?

Practicing a variety of problems helps in solidifying the understanding of the concepts and allows students to tackle more complex problems with ease.

What is the misconception about the difficulty of the Fourier series unit among students, as mentioned in the script?

The misconception is that the Fourier series unit is one of the most difficult units, but the script emphasizes that with a clear understanding of the basics and practice, even complex problems can be approached easily.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Fourier Series Problem Study

This paragraph introduces the start of a new problem study within the Fourier series educational series. The instructor emphasizes the importance of reviewing previous lectures to understand basic concepts and various formulas and rules. The first problem to be solved involves a simple function on the interval from 0 to 2, and the standard formula for the Fourier series is introduced, highlighting the need to know this formula to solve any Fourier series problem.

05:01

🔍 Calculation of Coefficient a0 in Fourier Series

The paragraph focuses on the process of determining the coefficient a0 for a Fourier series. The formula for finding a0 is explained, which involves integrating the function over the given interval and applying limits. The integration process is detailed, including the steps to find the integral of x squared divided by 2 and taking the limit as x approaches infinity. The result for a0 is calculated, revealing the value to be 2π.

10:02

📘 Deriving Coefficients an and bn Using Integration by Parts

This section delves into the calculation of coefficients an and bn for the Fourier series. The formula for an is introduced, and the process of finding bn is explained using integration by parts, a technique that requires understanding the function and its derivatives. The integration by parts formula is provided, and the steps to apply it to the specific function, including the differentiation and integration of terms, are outlined. The limits for the integration are also discussed, with the upper limit being π and the lower limit being 0.

15:05

📌 Solving for bn Coefficient and Simplifying the Series

The paragraph continues the discussion on finding the bn coefficient, modifying the formula for an to suit the calculation of bn. The process involves integrating and differentiating the function, applying limits, and simplifying the expression to isolate bn. The result for bn is derived, and the terms of the series are simplified, showing that most terms cancel out, leaving a simple expression for the Fourier series of the given function.

20:07

📝 Finalizing the Fourier Series and Encouraging Practice

The final paragraph wraps up the solution of the Fourier series problem by inserting the calculated coefficients a0, an, and bn into the general equation of the Fourier series. The instructor simplifies the series and emphasizes the importance of practicing a variety of problems to understand the Fourier series concept. The paragraph concludes with a note on the common misconception that the Fourier series is a difficult unit, but with proper practice and understanding of basic problems, any difficulty can be overcome.

Keywords

💡Fourier Series

A Fourier series is a mathematical tool used to represent periodic functions as an infinite sum of sines and cosines. In the video, the Fourier series is the central theme, with the script discussing its properties, formulas, and applications in solving problems. The script mentions the standard formula for the Fourier series and how it is applied to a given function over a specific interval.

💡Integration by Parts

Integration by parts is a method in calculus used to integrate products of functions. In the context of the video, integration by parts is crucial for finding the coefficients of the Fourier series. The script refers to a special video explaining the formula for successive integration by parts, which is used in the calculations for the coefficients a_n and b_n.

💡Coefficients (a0, an, bn)

In the Fourier series, coefficients a0, an, and bn are the constants that multiply the cosine and sine terms. The script explains how to calculate these coefficients using integrals over the given interval. For instance, a0 is calculated using the integral of the function over the interval, and an and bn are found using integration by parts and the properties of the function f(x).

💡Interval

The interval refers to the range of values over which the Fourier series is defined and the function is integrated. In the script, the interval is given as from 0 to 2π, which is a common period for functions in Fourier analysis. The interval is essential for setting up the limits of integration when calculating the coefficients.

💡Limits

Limits are used in calculus to define the value of a function or sequence as the input approaches a certain value. In the script, limits are applied when integrating by parts to evaluate the integrals at the boundaries of the interval, which is necessary for solving for the coefficients of the Fourier series.

💡Periodic Function

A periodic function is one that repeats its values at regular intervals or periods. The Fourier series is a method to represent such functions. The script implies that the function being analyzed is periodic, which is why the Fourier series is an appropriate tool for its representation.

💡Basic Concepts

The script mentions that the viewers should review the basic concepts of the Fourier series from previous lectures. These basic concepts are fundamental to understanding the more complex problems discussed in the video, such as the properties of the series and the formulas for calculating its components.

💡Problem Solving

The script walks through the process of solving a specific problem using the Fourier series. Problem-solving is a key aspect of the video, as it demonstrates how to apply the concepts of the Fourier series to find the series representation of a given function.

💡Properties

Properties refer to the characteristics or behaviors inherent in the Fourier series. The script discusses the properties of the series, such as how the coefficients are determined and how they relate to the original function. These properties are essential for understanding and working with Fourier series.

💡Series Expansion

Series expansion is the process of expressing a function as a sum of terms in a series. In the context of the video, the Fourier series is an example of a series expansion where the function is represented as a sum of sine and cosine terms. The script details the steps involved in performing this expansion.

💡Practice

The script emphasizes the importance of practice in understanding and applying the Fourier series. It suggests that by practicing a variety of problems, students can become more comfortable with the concepts and methods involved in Fourier analysis, including the calculation of coefficients and the representation of functions.

Highlights

Introduction to the first problem study of the Fourier series unit.

Emphasis on reviewing previous lectures for a clear understanding of the basic concepts of the Fourier series.

Explanation of the standard formula for the Fourier series as the starting point for solving any problem.

The importance of knowing the properties of the sample function in Fourier series problems.

Detailed steps to find the value of a_0 using integration and limits.

Integration by parts method introduced for solving complex integrals in Fourier series.

Application of the integration by parts formula in the context of Fourier series.

Solving for the coefficients a_n and b_n in the Fourier series.

Use of special functions and their properties in the integration process.

The calculation of limits for the integration by parts formula in Fourier series.

Derivation of the final expression for the Fourier series of a given function.

Explanation of how to handle the terms that result in zero in the Fourier series.

The significance of practicing a variety of problems to understand the Fourier series concept.

Clarification that the Fourier series unit is not as difficult as students might think if the basics are clear.

Encouragement to start with basic problems and gradually move to more complex ones for a better grasp of the subject.

Conclusion of the video with an invitation to continue with the next problem in the subsequent video.

Transcripts

वेलकम एवरीवन टू आवर

youtube4 ईयर सीरीज यह यूनिट का फर्स्ट

प्रॉब्लम स्टडी करेंगे यह आज फर ईयर

सीरीज़ का नाइंथ लेक्चर है इसके पहले हमने

फोर ईयर सीरीज के जो एट लेक्चर जो हमने

इसके पहले अपलोड किए थे वह वीडियोस आप याद

से देखिए क्योंकि उससे आपका फोर ईयर सीरीज

का पूरा बेसिक कांसेप्ट क्लियर हो जाएगा

फ्रॉम लेक्चर वन टू लेक्चर एट उसमें

डिफरेंट डिफरेंट फॉर्मूले डिफरेंट डिफरेंट

रूल्स उसकी जो प्रॉपर्टीज है उसके वरायटी

ऑफ़ कुछ सैंपल अ जो प्रॉब्लम्स होते हैं

जो अ जिसमें आपका पूरा बेसिक कवर होता है

वह इसके पहले के सभी लेक्चर में हमने कवर

किए थे तो इसके पहले के सभी लेक्चर को

आपको याद से स्टडी करना है वह सभी का लिंक

हमने आज के वीडियो डिस्क्रिप्शन में भी दे

दिया है तो चलो अब आज से हम फोर ईयर सीरीज

का फर्स्ट प्रॉब्लम यहां पे स्टडी करेंगे

तो यह देखिए फर्स्ट प्रॉब्लम क्या है अ

देखो क्वेश्चन में क्या लिखा है फाइंड द

फोर ईयर सीरीज फॉर बिल्कुल सिंपल एक

प्रॉब्लम लिया है हमने

fxxx.pro इंटरवल दिया है फ्रॉम 0 < x < 2

पा तो चलो हम ये प्रॉब्लम सॉल्व करेंगे और

यह प्रॉब्लम सॉल्व करते समय हमें सबसे

पहले 4 ईयर सीरीज का स्टैंडर्ड फार्मूला

यहां पे पता होना चाहिए देखो स्टैंडर्ड

फार्मूला यहां पे लिख के देते हैं फोर ईयर

सीरीज का स्टैंडर्ड फार्मूला वहीं से इसकी

शुरुआत होती है कोई भी फोर ईयर सीज का

प्रॉब्लम सॉल्व करते समय f ऑफ x आपको दिया

रहेगा अभी तो यहां पे सिंगल यहां पे एक

दिया है ओनली x लेकिन आगे जैसे-जैसे हम

बढ़ेंगे वैसे-वैसे डिफिकल्ट से डिफिकल्ट

प्रॉब्लम हम सॉल्व करने वाले हैं तो सबसे

पहले हम यहां पे गिवन लिख लेंगे क्या दिया

हुआ है सो गिवन fxxx.pro

यूज़ करने वाले हैं क्या लिखा है यहां पे

फार्मूला f x = a0 / 2 + सम n = 1 अप टू

इनफिनिटी

anx1 = 1 अप टू इनफिनिटी bn7 nx4

फर्मूला वही रहेगा जो इसके पहले हमने जो

फार्मूले के बेसिक जो लेक्चर थे उसमें जो

हमने बताए थे चलो सबसे पहले a0 यहां पे

फाइंड आउट करना स्टार्ट कर लेते हैं तो a0

फाइंड आउट करने का फार्मूला ऐसा होता है

दैट इज 1 बा पा इंटीग्रेशन हम यहां पे 0

टू 2 पा ले लेंगे क्योंकि यहां पे देखो 0

से 2 पा उसकी है ना टाइम पीरियड जो है वो

0 से लेके 2 पा है इसलिए हमने 0 से 2 पा

देन यहां पे लिखना है fx2

dx5 आउट करने के लिए इसका यूज करके आप a0

फाइंड आउट करें करेंगे इसके बाद हमें

x पुट करेंगे *

dx8 कर लेंगे x का इंटीग्रेशन हो जाएगा x

स् / 2 ठीक है और फिर वहां पे हमें लिमिट

भी पुट अप करना है सो 1 / पा सो x को हमने

इंटीग्रेट करने के बाद ये रिजल्ट आया x स्

बा 2 और यह देखिए इसका लिमिट यहां रखो 0

टू 2p ये देखिए इस तरह से और अब चलो लिमिट

पुट अप करेंगे हमने यहां पे इंटीग्रेट तो

कर लिए लिमिट पुट अप नहीं किए तो चलो

लिमिट पुट अप करेंगे 1 / पा ठीक है और

लिमिट पुट अप करेंगे तो सबसे पहले आपको

क्या करना है यहां पर अपर लिमिट यहां पर

रखना है 2 पा और फिर लोअर लोअर लिमिट रखना

है दैट इज जीरो सो जहां जहां पे x है वहां

पे आएगा सो ये x का स्क्वायर है इसलिए 2

पा का होल स्क्वा बाय 2 माइनस अब आएगा

जीरो लोअर लिमिट दैट इज 0/2 ठीक है तो यह

हमने अपर लिमिट और लोअर लिमिट पुट किए हैं

और अब यहां पर इसको सॉल्व करो थोड़ा सा हम

इसको ऊपर उठा लेते हैं ठीक है तो अब चलो

इसको सॉल्व

करेंगे तो यहां हम लिख लेंगे दैट इज 1 बाय

पाई ठीक है और यह क्या रहेगा यहां पर यह

जो है यह हो जाएगा 4 पाई स्क्र बाय 2 इस

तरह से और यह जीरो वाला टर्म छोड़ दो ठीक

है और अब यहां

पे यह देखिए यहां पे कट जाएगा यहां पे टू

रहेगा ओके तो यह 2 पाई स्क्र यहां पे पाई

और पाई गया यहां पे एक पाई बचा ठीक है

यहां पर एक पाई रहा सो 2 पाई बस इतना

रहेगा इसका आंसर ठीक है तो य हम लिख लेंगे

सो यह हमें क्या मिला है 2 पाई सो ये

किसका वैल्यू हुआ यह हमने a0 का वैल्यू जो

है यहां पर फाइंड आउट कर लिया है a0 हमें

मिल गया क्या मिला 2 पा अब आपको ए और बी ए

भी फाइंड आउट करना है उम्मीद करते हैं कि

यहां तक आपको समझ में आया होगा a0 हमने

फाइंड आउट कर लिए जो हमें यहां पर पुट

करना है यह जो इक्वेशन है f एक वाली इसको

हम इक्वेशन नंबर वन कहेंगे क्योंकि उसमें

हमें बाद में पुट करना है इसको हमने

इक्वेशन नंबर वन कहा चलो a0 हो गया अब चलो

ए और ब की बारी तो सबसे पहले ए फाइंड आउट

करेंगे सो ए फाइंड आउट करने के लिए

फार्मूला क्या है चलो ए हम इधर में यहां

पर सॉल्व करेंगे थोड़ा इसको फिर से नीचे

ले लेते हैं क्योंकि य बाद में ऊपर जाएगा

ठीक है तो चलो अब यहां पर हम ए लिख लेते

हैं सो ए का फार्मूला है फिर से 1 बा पाई

बाहर रहेगा ठीक है इंटीग्रेशन फ्रॉम 0 टू

2 पाई वही रहेगा क्योंकि यहां पर जीरो से

लेकर 2 पाई दिया है ठीक है इसलिए और अब

इसके बाद है f एक इन क ऑफ n x *

dx1 का वैल्यू पुट करना है जो कि x है और

फिर उसको इंटीग्रेट करना है तो यहां पे

देखो

fx5 बाहर में है 0 से लेके 2 पा उसका

लिमिट fxxx.pro

पार्ट्स का फार्मूला यूज करना है क्योंकि

देखो यहां पे इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स होगा

क्योंकि x * क n x है इंटीग्रेट करने के

लिए इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लेकिन

इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स में हमने एक

स्पेशल वीडियो एक बनाए थे जिसमें हमने

सक्सेसिव इंटीग्रेशन बाय पार्ट का

फार्मूला बताए थे वो भी पता होना चाहिए

वही फार्मूला आपको हर जगह यूज करना है फोर

ईयर सीरीज का फोर ईयर सीरीज में जहां कहीं

पे भी आपको इंटीग्रेशन करने की बात आई

जहां कहीं पे भी इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स

का फार्मूला यूज करने की बात आई तो वहां

पे आपको स्पेशल चलिए सक्सेसिव इंटीग्रेशन

बाय पार्ट्स का फार्मूला यूज करना है जो

कि सबसे इंपॉर्टेंट है तो देखो सक्सेसिव

इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का फार्मूला यहां

पे बता देते हैं जो अब हमें यहां पे यूज

करना है तो चलो फार्मूला ऐसा है देखो दैट

इज इंटीग्रेशन ऑफ u v ठीक है इं

dx1 - यड * v2 ठीक है प्लस

u डबल ड * v3 तो यह काफी इंपॉर्टेंट

फार्मूला है इसका अब हमें यहां पे यूज़

करना है यह फार्मूला अगर आपके पास अभी भी

नहीं लिखा है तो यह फार्मूला आप लिख के

रखो यह काफी इंपॉर्टेंट फार्मूला है ठीक

है चलो अब यही फार्मूले का यूज़ करना है

यह है सक्सेसिव इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का

फार्मूला तो यहां पे u और v देखो यहां पे

u और v क्या है जो अभी हम सॉल्व कर रहे

हैं इसमें u क्या है और v क्या है वो समझ

लो तो ये देखिए ये जो x है ये u के प्लेस

पे है और ये जो

cosx-sinx तो ये हो जाएगा

v3 फिर v4 इस तरह से उसी के साथ-साथ यहां

पे य है य को

डिफरेंशिएबल

किए तो u डबल ड उसको एक और बार

डिफरेंशिएबल

हो जाएगा n स् हो जाएगा तो यह देखिए यहां

तक हमने इसको एक्सटेंड किए है फार्मूले का

हमने यूज कर ली अब इसको थोड़ा बहुत सॉल्व

करो तो यहां पर देखो ये माइनस माइनस हो

जाएगा प्लस और इसको बस यही होगा और तो कुछ

यहां सॉल्व नहीं होगा लेकिन अभी तक हमने

लिमिट पुट अप नहीं किए हैं सो लिमिट यहां

रखो रो से लेकर 2 पाई तक की लिमिट ठीक है

बाद में हमें लिमिट भी पुट करना है पहले

उसको प्लस कर लेते हैं बाद में लिमिट पुट

अप करेंगे सो 1 बा पा तो ये हो जाएगा x *

सा n x बा n और यह माइनस माइनस हमने कहा

प्लस करने के लिए कहा है और यह हो जाएगा c

n x बा n स् और अब इसके बाद हमें यहां पे

वैल्यूज पुट अप करना है सॉरी हमें लिमिट

पुट करना है तो चलो लिमिट पुट करना

स्टार्ट करते हैं अपर लिमिट है 2 पा एंड

लोअर लिमिट है रो और जहां-जहां पे x है

वहां पे ये लिमिट आपको पुट करना है तो हम

यहां पे पुट करेंगे तो / पा एज इट इज है

ठीक है इसको कर्ली ब्रैकेट में देंगे अब

आपको क्या करना है यह पूरा टर्म यह पूरा

टर्म बा अपर लिमिट लिखो तो यह जब आप पूरा

बाय यूजिंग अपर लिमिट लिख लेंगे तो कुछ हम

इसको ऐसा दे देंगे 2 पा इन साइन 2n

पाई बाय n ठीक है यहां पर देखो यहां दोनों

जगह हमने 2 पाई रखे प्लस कॉस ऑफ 2n

पा ए स्क्वा तो यह देखिए यह हमने यहां पर

अपर लिमिट का यूज कर लिए और अब माइनस अब

आपको फिर अब आपको लोअर लिमिट का यूज करना

है माइनस तो यह पूरा ब्रैकेट बाय यूजिंग

लोअर लिमिट तो लोअर लिमिट है जीरो तो यहां

पे रो रखो और यहां पे रो रखो तो यह हो

जाएगा यहां पे

0 सा 0 बा n प्स क ऑफ 0 बा n स् ठीक है यह

देखिए यह हमने अपर लिमिट में अपर लिमिट और

लोअर लिमिट इस तरह से पुट कर लिए और अब

इसका देखो वैल्यू क्या आता है पता होगा

आपको शायद ज्यादा डिफिकल्ट नहीं है और अब

आगे कंटिन्यू करेंगे तो यह हम यहां लिख

लेंगे 1 बा पा ठीक है और अब देखो यहां पे

यह देखो सा ऑफ 2n पा ये रो हो जाएगा यह

पूरा टर्म रो ठीक है तो ये हम यहां लिख

लेंगे रो देन ये प्लस ये क ऑफ 2n पा क ऑफ

2n पा 1 होता है ठीक है सो हम ये लिख

लेंगे + 1 / n स् ठीक है देन यहां पे सा 0

ये वाला टर्म जो है ये रो हो जाएगा ये

माइनस से मल्टीप्लाई करना है ध्यान में

रखो यहां माइनस है सा 0 0 होता है सो

माइनस ऑफ 0 और ये माइनस से यहां

मल्टीप्लाई करो क 0 जो है वो वन हो जाएगा

सो ये माइनस ऑफ 1 बा n स् ठीक है इस तरह

से तो ये देखिए ये हमने पुट कर दिए और अब

देखो यहां पे ये दोनों टर्म जो है वो कट

जाएंगी ठीक है तो यह देखो ये प्लस है ये

माइनस है 1 बा n स् - 1 बा स् ये कट गया

तो जाहिर सी बात है यहां पे सीधा-सीधा

जीरो बचा तो हम यहां पे लिख लेंगे जो हमें

रिजल्ट मिलने वाला है ए हमें इनडायरेक्टली

मिल गया है ए कितना मिला है ए मिला है रो

तो इस तरह से जो है ये फाइनली हमने ए

फाइंड आउट कर लिया है हमने आपको कहा था a0

ए

bn-a और ए यहां पे हमने सॉल्व किया है ये

a0 है ये ए है और अब क्या बचा है अब बचा

है bn1 फाइंड आउट करने के लिए आपको क्या

करना है ये जो ए का जो फार्मूला है बस इसी

में थोड़ा चेंज करना है ये जो क n x है क

nxnn.com

इसको हम थोड़ा सा ऊपर उठा लेते हैं ठीक है

तो और इधर हम सॉल्व करेंगे या या फिर हम

एक काम करेंगे हम इसको इधर सॉल्व कर लेते

हैं क्योंकि यहां पे ए है ए के साइड में

हम ब ए को सॉल्व कर लेंगे ताकि जो है आपको

बिल्कुल प्रॉपर्ली समझ में आए देखो ये ए

है बिल्कुल ऐसा ही हम उधर यहां पे बी ए

सॉल्व करने वाले हैं तो चलो अब हम यहां पे

बी ए सॉल्व करेंगे तो बी ए सॉल्व करने के

लिए यहां पे फार्मूला लिख लेंगे ब ए का

देखो ऐसा जो हमने कहा

था तो बी इक्व ट 1/5 एज इट इज रहेगा

इंटीग्रेशन 0 से लेक 2p यह भी एज इट इज

रहेगा fxxx.pro

*

फार्मूला यूज करना है तो देखो कुछ स्टेप्स

ऐसी रहेंगी / पा बाहर का एज इट इज रहेगा

और अब जो है हम इसको ब्रैकेट में सॉल्व

करेंगे ये देखो फर्स्ट टर्म यानी x इनटू

ये देखो v1 देखो य के बाद क्या है v1 v1

यानी v का इंटीग्रेशन तो ये जो v है सा n

x इसको इंटीग्रेट करो सो इसको

इंटीग्रेटिंग ये करने के बाद माइनस ऑफ क n

x हो जाएगा तो हम यहां पर लिख लेंगे माइनस

ऑफ जस्ट अ मिनट माइनस ऑफ कॉ

ऑफ n एक बा n ठीक है ये हमने इंटीग्रेट कर

लिए और अब माइनस देखो क्या लिखा है u v1

हो गया माइनस u ' u ' माने u का

डिफरेंशिएबल करो तो वो हो जाएगा वन देन

इसके बाद क्या है v2 यानी v1 का

इंटीग्रेशन तो ये जो v1 है आपके पास इसको

इंटीग्रेट करो तो ये इसको इंटीग्रेट करने

के बाद ये हो जाएगा माइनस ऑफ

sinx-cosx रो से लेकर 2 पा है बिल्कुल सेम

टू सेम स्टेप्स चल रही है जो यहां पे हमने

सॉल्व किए थे बिल्कुल उसी तरह के स्टेप जो

है वो वहां पे चल रही है उसको भी थोड़ा सा

इसी टाइप से सॉल्व करो और फिर जो है हम

अपर लिमिट लोअर लिमिट पुट कर लेंगे तो

यहां पे हम इसको सॉल्व कर लेंगे 1 बा पा

ठीक है 1 बा पा देन यहां ब्रैकेट के अंदर

ये माइनस हम बाहर ले लेंगे - x * क ऑफ

nxnn.com

बाय ए स्क्वा और यहां पर लिखेंगे जीरो से

लेकर 2 पाई उसकी लिमिट और अब चलो लिमिट

पुट अप कर लेंगे अपर लिमिट माइनस लोअर

लिमिट करना है तो जहां जहां पर एक्स है

वहां पर पहले अपर लिमिट जो कि पाय है वह

हम यहां पर पुट कर लेंगे तो देखो यह क्या

होगा व बाय

पाई ठीक है तो देखो पुट करेंगे सबसे पहले

अपर लिमिट पुट कर रहे अपर लिमिट है 2 पाई

तो हम य लिख लेंगे -2 पा कॉस ऑफ 2 ए पा

बाय एक्स सॉरी बाय

n प्लस साइन

ऑफ

2n पा बाय n स्क्र यह हो गया अपर लिमिट मा

और अब माइनस लोअर लिमिट ठीक इसके नीचे

लिखते हैं तो आपको लोअर लिमिट जीरो रखना

है तो यह पूरा टर्म जीरो हो जाएगा ट इज 0

कॉस ऑफ 0 बाय n ठीक है प्लस ये साइन ऑफ 0

बाय n स्कय य देखिए यह हमने इस तरह से

लिमिट पुट अप कर ली और अब बिल्कुल इसी तरह

से यहां पर सॉल्व करो देखो हमने यहां बताए

थे आपको अगर नहीं लिख के दिए है तो चलो

लिख के दे देते हैं आई थिंक हमने लिखना

भूल गए यहां पे कि यहां पर साइन ऑफ जैसे

साइन ऑफ क्या है 2n पा है साइन ऑफ 2n पाई

2n पाई यह होता है जीरो देन कॉस ऑफ 2n पाई

यह होता है वन देन साइन ऑफ 0 यह होता है

जीरो और फिर कस ऑफ 0 ये होता है वन जो

इसके पहले हमने यूज किए थे ना वो हमने

यहां पर आपको बता दिए ठीक है इस तरह की

छोटी-मोटी चीजें अगर आपको पता है तो आप

कोई भी प्रॉब्लम आसानी से सॉल्व कर लोगे

ठीक है तो ये हमने आपको बता दिए तो अब चलो

कंटिन्यू

करेंगे ठीक है तो यहां पे देखो क ऑफ 2pn

है तो यहां पे आ जाएगा ये देखो क ऑफ 2pn

के जगह यहां वन आ जाएगा यहां जीरो आ जाएगा

और यहां वन आ जाएगा यहां जीरो आ जाएगा तो

देखो इसके बाद का रिजल्ट हम यहां लिखते

हैं 1 बा पाई बाहर में है देखो इसके के

जगह यहां वन आया यहां पे आएगा इसके जगह रो

ठीक है यहां पे आएगा वन और ये सा 0 इसके

जगह आ जाएगा रो ठीक है क वाले दो दोनों

टर्म में वनव रखना है और सा वाले दोनों

टर्म में जीरो जीरो रखना है तो देखो अब

यहां पे क्या मिलता है तो यहां पे ये हो

जाएगा वन आने के बाद -2 पा बा n सो यहां

लिख लेंगे -2 पा बा n ये पहला टर्म और

यहां पे आ जाएगा रो तो ये रो इसका रिजल्ट

रो यहां पे भी जीरो हो जाएगा क्योंकि क के

सामने जीरो है और माइनस से मल्टीप्लाई

करेंगे तो भी जीरो तो ये भी जीरो और ये

टर्म भी जीरो तो ये देखो सभी टर्म्स यहां

पे जीरो आ चुके हैं और अब यहां पे क्या

बचा है - 2 पा / n यहां पे जो है पाई पाई

जो है वो कैंसिल हो जाएगा ये पाई और ये

पाई कट गया तो क्या बचा -2 बा n ऐसा बचा

सो फाइनली हमें यहां पे

bn1 मिल चुका है क्या मिला है - 2 बा n

हमें ऐसा मिला है ठीक है और इस तरह से यह

हमने बी ए फाइंड आउट कर लिया है ठीक है ए

बी ए ए इसके पहले हमने फाइंड आउट किए थे ए

का वैल्यू तो जीरो आया था लेकिन इस बार जो

है बी ए का वैल्यू जीरो नहीं आया -2 बा ए

ऐसा आया है और इस तरह से फाइनली हमने a0 ए

बी तीनों फाइंड आउट किए हैं हमने आपको कहा

था यह तीनों फाइंड आउट होने के बाद इसको

फिर इक्वेशन नंबर वन में पुट करना है तो

चलो देखते हैं इक्वेशन नंबर वन यहां पर

क्या है तो इक्वेशन नंबर वन कहा है देखो

इसके

पहले इक्वेशन नंबर वन इसको थोड़ा छोटा कर

लेते हैं तो ये देखिए अभी तक हमने इतना

सॉल्व किया है ये देखो ये फर्स्ट पेज ये

था ठीक है इसके बाद हमने सबसे पहले हमने

a0 फाइंड आउट किए 2p आया देन इसके बाद

हमने ए फाइंड आउट किए वो ये है और अभी-अभी

हमने

bn-y इक्वेशन नंबर वन में पुट करना है ये

देखिए ये इक्वेशन नंबर वन है इसमें पुट

करना है इससे जो है फोर ईयर सीरीज का ये

जो प्रॉब्लम है फर्स्ट ये पूरा हो जाएगा

तो चलो ये तीनों इक्वेशन नंबर वन में पुट

करते हैं तो चलो इसको थोड़ा सा ऊपर यहां

पे हम रखेंगे क्योंकि यहां पे अब हमें पुट

करना है ठीक है देखो यह वाले इक्वेशन में

पुट करना है ठीक है तो हम यहां पे लिखेंगे

अ इक्वेशन नंबर वन

एंप्लॉई इक्वेशन नंबर वन में हम रख रहे

सबसे पहले है f

xxxxxx2 a0 है 2 पा तो हम यहां रखेंगे 2

पा बा 2 ठीक है देन इसके बाद क्या है प्लस

तो प्लस सम n = 1 अप टू इनफिनिटी और यह है

ए क ऑफ

nxxn.com कर लिया है इस तरह से बस इसको

थोड़ा सा एक स्टेप हम यहां पे लिख लेंगे x

इ ू क्या हो जाएगा देखो यहां पे 2 2 कट

जाएगा ठीक है ये टू और ये टू गया ठीक है

ये टर्म ये टर्म लिखने की जरूरत नहीं है

क्योंकि यहां पे ज़ीरो है और यहां पे जो

माइनस है ये माइनस टर्म यहां बाहर ले लो

और अब देखो यह क्या होता है सो हम यहां पे

लिख लेंगे पाई ठीक है ये फर्स्ट टर्म

रहेगा पाई देन इसके बाद यहां ये टर्म मत

लिखो ये माइनस बाहर ले लो जो टू है -2 भी

बाहर ले लो सो -2 बाहर आ गया और अब समेशन

n = 1 अप टू इनफिनिटी और ये हो जाएगा

बुक में जरूर प्रैक्टिस करके देख लेना

चाहिए ये बिल्कुल सिंपल सा प्रॉब्लम है ये

सबसे आसान प्रॉब्लम हमने इसीलिए यहां से

स्टार्ट किया है क्योंकि फोर ईयर सीरीज जो

है वो नंबर ऑफ स्टूडेंट्स को कंफ्यूज ंग

लगता है नंबर ऑफ स्टूडेंट्स को लगता है कि

ये जो यूनिट है फोर ईयर सीरीज ये वन ऑफ द

मोस्ट डिफिकल्ट यूनिट है लेकिन ऐसा कुछ भी

नहीं है अगर आप बेसिक प्रॉब्लम से लेकर

सॉल्व करोगे और अगर आपका बेसिक पूरा अगर

क्लियर है तो आपको इसमें का कोई भी

डिफिकल्ट प्रॉब्लम जो है वो भी आसान लगेगा

लेकिन इसके लिए आपको वरायटी ऑफ प्रॉब्लम्स

की प्रैक्टिस करना पड़ेगा और आपको इजी

प्रॉब्लम से स्टार्ट करना पड़ेगा जिस तरह

से ये इजी प्रॉब्लम है यहां से हमने

स्टार्ट कि अब यहां से धीरे-धीरे जिसस तरह

से हम आगे जाएंगे डिफिकल्ट से डिफिकल्ट

प्रॉब्लम हम सॉल्व किया करेंगे तो फिलहाल

आज के वीडियो में इतना ही मिलते हैं

नेक्स्ट वीडियो में इसके सेकंड प्रॉब्लम

के साथ थैंक यू वेरी मच