Cambio de Bases | Esencia del álgebra lineal, capítulo 09
Summary
TLDREl guion del video explica cómo describir un vector en un espacio 2D utilizando coordenadas y escalares. Se introduce la idea de sistemas de coordenadas y vectores base, ejemplificando con dos sistemas diferentes: uno estándar y otro alternativo propuesto por 'Jennifer'. Se discute cómo traducir entre sistemas de coordenadas utilizando matrices de cambio de base y multiplicación matriz-vector. El video también explora la representación de transformaciones lineales como rotaciones y cómo estas se aplican en diferentes sistemas de coordenadas, enfatizando la importancia de la multiplicación de matrices para la composición de transformaciones.
Takeaways
- 📏 El script habla sobre cómo describir un vector en un espacio 2D utilizando coordenadas.
- 🔍 Se menciona que las coordenadas son una forma de describir el movimiento de un vector en términos de escala y dirección.
- 📚 Se introduce el concepto de vectores base y su importancia en el sistema de coordenadas estándar.
- 🎯 Se describe cómo diferentes sistemas de coordenadas pueden tener vectores base diferentes, lo que afecta la forma en que se describen los vectores.
- 🤔 Se plantea la idea de la transformación de vectores entre sistemas de coordenadas usando matrices de cambio de base.
- 📐 Se discute cómo la elección de vectores base afecta la representación de las coordenadas en un espacio 2D.
- 🧩 Se explica que la multiplicación de matrices corresponde a la composición de transformaciones y cómo se puede utilizar para traducir entre sistemas de coordenadas.
- 🔄 Se menciona la inversa de una matriz de cambio de base y su papel en la traducción de vectores de un sistema a otro.
- 📈 Se da un ejemplo de cómo calcular las coordenadas de un vector en un sistema de coordenadas dado las coordenadas en otro sistema.
- 🌐 Se destaca la importancia de comprender la multiplicación de matrices y la representación de transformaciones para entender la traducción de vectores entre sistemas de coordenadas.
Q & A
¿Qué significa que un vector tenga coordenadas 3 2 en un espacio 2D?
-Las coordenadas 3 2 indican que para ir de la cola al punto final del vector, se debe moverse 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba en el espacio 2D.
¿Cómo se describen las coordenadas de un vector en términos de álgebra lineal?
-En álgebra lineal, las coordenadas de un vector se consideran como escalares que estiran o comprimen vectores unitarios. La primera coordenada es un escalar multiplicado por el vector unitario en dirección horizontal, y la segunda coordenada es un escalar multiplicado por el vector unitario en dirección vertical.
¿Qué son los vectores de la base en un sistema de coordenadas y por qué son importantes?
-Los vectores de la base son vectores especiales que encapsulan las suposiciones implícitas de un sistema de coordenadas. Sirven para escalar y traducir entre vectores y conjuntos de números, lo que permite la descripción de cualquier vector en el espacio usando solo números.
¿Qué es un sistema de coordenadas y cómo se relaciona con los vectores de la base?
-Un sistema de coordenadas es una forma de describir la posición de un punto en el espacio usando un conjunto de números. Los vectores de la base son los vectores que se escalan para representar cualquier otro vector en ese espacio según ese sistema.
¿Cómo se describe un vector usando un sistema de coordenadas con base diferente?
-Se describe un vector multiplicando cada uno de los vectores de la nueva base por las coordenadas correspondientes y sumando los resultados. Esto da una representación del vector en el nuevo sistema de coordenadas.
¿Por qué pueden ser diferentes las coordenadas de un mismo vector en sistemas de coordenadas diferentes?
-Las coordenadas de un vector varían según el sistema de coordenadas porque cada sistema tiene su propia base de vectores. Las coordenadas son el resultado de la proyección del vector sobre los vectores de la base de ese sistema.
¿Cómo se traducen las coordenadas de un vector de un sistema de coordenadas a otro?
-Para traducir las coordenadas de un vector de un sistema a otro, se utiliza una matriz de cambio de base que relaciona los vectores de la base de un sistema con los del otro. Se multiplica esta matriz por el vector en el sistema original para obtener las coordenadas en el nuevo sistema.
¿Qué es la multiplicación matriz-vector y cómo se relaciona con la traducción de vectores entre sistemas de coordenadas?
-La multiplicación matriz-vector es una operación que se utiliza para aplicar una transformación lineal a un vector. En el contexto de la traducción de vectores entre sistemas de coordenadas, esta operación se utiliza para convertir las coordenadas de un vector de un sistema a otro mediante una matriz de cambio de base.
¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de cambio de base y por qué es importante?
-La inversa de una matriz de cambio de base se calcula usando el método estándar para encontrar la inversa de una matriz. Es importante porque permite traducir vectores de un sistema de coordenadas a otro, y viceversa, permitiendo la comunicación entre diferentes sistemas de coordenadas.
¿Por qué es útil el concepto de sistemas de coordenadas alternativos en álgebra lineal?
-Los sistemas de coordenadas alternativos son útiles porque permiten entender y aplicar transformaciones en diferentes referencias. Son fundamentales para el estudio de vectores propios, valores propios y para entender cómo se ven las mismas transformaciones desde diferentes perspectivas.
Outlines
📏 Descripción de vectores en el espacio 2D
El primer párrafo introduce el concepto de vectores en un espacio 2D y cómo describirlos utilizando coordenadas. Se menciona que el vector [3, 2] implica moverse 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. Se explica que en álgebra lineal, los números se consideran escalares que estiran o comprimen vectores. Los vectores unitarios î y ĵ son usados como base para el sistema de coordenadas estándar. El texto también discute la posibilidad de utilizar diferentes sistemas de vectores base, como los usados por una amiga llamada Jennifer, y cómo esto afecta la descripción de un vector en términos de coordenadas.
🔍 Traducción entre sistemas de coordenadas
El segundo párrafo se enfoca en cómo traducir entre diferentes sistemas de coordenadas. Se describe el proceso de escalar vectores base y sumarlos para obtener el vector deseado en el sistema de Jennifer, que es diferente al del narrador. Se utiliza el ejemplo de un vector con coordenadas [-1, 2] en el sistema de Jennifer y cómo se calcula en el sistema del narrador. Se introduce la idea de la multiplicación matriz-vector y cómo se relaciona con la transformación lineal, y se sugiere que la matriz que representa los vectores base de Jennifer en el sistema del narrador puede ser vista como una transformación que mueve nuestros vectores base.
🔄 Composición de transformaciones y sistemas de coordenadas alternativos
El tercer párrafo explora cómo aplicar transformaciones a vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Se discute la composición de matrices para realizar transformaciones en el lenguaje de Jennifer, donde se traduce primero al sistema del narrador, se aplica la transformación y luego se traduce de vuelta al sistema de Jennifer. Se da un ejemplo específico de una rotación de 90 grados y cómo se compone la matriz de transformación en el lenguaje de Jennifer. El párrafo concluye con la importancia de entender la multiplicación de matrices y la composición de transformaciones para trabajar con sistemas de coordenadas alternativos y se menciona que se profundizará en este tema en un próximo video sobre vectores propios y valores propios.
Mindmap
Keywords
💡Vector
💡Coordenadas
💡Escalar
💡Sistema de coordenadas
💡Vectores base
💡Transformación lineal
💡Matriz de cambio de base
💡Matriz
💡Multiplicación de matrices
💡Inversa de una matriz
💡Transformación
Highlights
Descripción de vectores en espacio 2D utilizando coordenadas (3, 2).
Representación de coordenadas como escalares que estiran o compriman vectores.
Explicación de los vectores unitarios i y j como base del sistema de coordenadas.
Introducción de un sistema de coordenadas alternativo con vectores base diferentes.
Descripción de cómo Jennifer utiliza vectores base que apuntan en direcciones específicas.
Comparación de coordenadas de un vector en sistemas de coordenadas diferentes.
Método para calcular coordenadas de un vector en un sistema de referencia dado otro sistema.
Importancia de la elección de vectores base para definir sistemas de coordenadas.
Representación de la cuadrícula en un espacio 2D y su dependencia de la base elegida.
Proceso de traducción entre sistemas de coordenadas utilizando matrices.
Multiplicación matriz-vector como aplicación de una transformación lineal.
Explicación de cómo una matriz de cambio de base traduce vectores de un sistema a otro.
Uso de la inversa de una matriz de cambio de base para traducir vectores en el otro sentido.
Introducción de la multiplicación de matrices para representar la composición de transformaciones.
Ejemplo práctico de cómo calcular las coordenadas de un vector en un sistema de Jennifer.
Importancia de entender la multiplicación de matrices para representar transformaciones.
Discusión sobre la representación de transformaciones y cómo se relaciona con la elección de vectores base.
Método para calcular la matriz de transformación en el lenguaje de Jennifer a partir de una transformación dada.
La matriz resultante de la composición de matrices representa la transformación vista desde la perspectiva de otro sistema.
La relevancia de los sistemas de coordenadas alternativos en el contexto de vectores propios y valores propios.
Transcripts
ah
ah
ah
si tengo un vector acomodado aquí en el
espacio 2 d existe una forma estándar
para describirlo con coordenadas en este
caso el vector tiene coordenadas 3 2 lo
que significa que para ir de su cola a
su punta se requiere pasar 3 unidades a
la derecha y 2 unidades hacia arriba
ahora la forma más propia del álgebra
lineal para describir coordenadas es
considerar a cada uno de estos números
como un escalar algo que estira o
compacta vectores piensa en esa primera
coordenada como escalar y sombrerito el
vector de longitud 1 que apunta a la
derecha mientras que la segunda
coordenada escala j sombrerito el vector
de longitud 1 apuntando hacia arriba las
coordenadas van a indicar la suma de
esos dos vectores escala 2 puedes pensar
en estos dos vectores especiales como si
encapsular en todas las suposiciones
implícitas de nuestro sistema de
coordenadas el hecho de que el primer
número indica el movimiento hacia la
derecha y que el segundo indique el
movimiento hacia arriba exactamente en
cuántas unidades de distancia todo esto
está sujeta a la elección de i
sombrerito y j sombrerito como los
vectores que las coordenadas tienen el
propósito de escalar cualquier manera de
traducir entre vectores y conjuntos de
números es lo que se llama un sistema de
coordenadas
y los vectores especiales y sombrerito y
j sombrerito se llaman los vectores de
la base de nuestro sistema de
coordenadas estándar lo que me gustaría
mencionar aquí es la idea de utilizar un
conjunto diferente de vectores base por
ejemplo digamos que tienes una amiga
jennifer que utiliza un conjunto
diferente de vectores base que llamaré
b1 y b2 su primer vector base b 1 apunta
hacia arriba y un poco a la derecha y el
segundo vector b 2 apunta a la izquierda
y hacia arriba ahora echa otro vistazo a
ese vector que mostré antes aquel que
describíamos usando las coordenadas 3 2
usando nuestros vectores base y
sombrerito y j sombrerito jennifer en
realidad describiría este vector con las
coordenadas 5 tercios un tercio lo que
esto significa es que la manera
particular para llegar a ese vector
usando sus dos vectores de la base es
multiplicar b1 por cinco tercios
multiplicar b 2 por un tercio y luego
sumarlos a ambos
en un momento más te voy a mostrar cómo
te podrías haber dado cuenta de esos dos
números cinco tercios y un tercio en
general siempre que jennifer utiliza
coordenadas para describir un vector
ella piensa en su primera coordenada
común múltiplo de v 1 y la segunda
coordenada como un múltiplo de b 2 luego
añade los resultados lo que ella obtiene
normalmente será completamente diferente
del vector que tú y yo podríamos pensar
que tiene esas coordenadas para ser un
poco más precisos acerca de la
configuración aquí su primer vector base
b 1 es algo que nosotros escribiríamos
con las coordenadas 2 1 y su segundo
vector base b 2 es algo que describiría
moss como menos 11 pero es importante
darse cuenta desde su punto de vista que
en su sistema esos vectores tienen
coordenadas 1 0 y 0 1
ellos son los que definen el significado
de las coordenadas 1 0 y 0 1 en su mundo
así que en efecto estamos hablando de
diferentes idiomas estamos mirando a los
mismos vectores en el espacio pero
jennifer utiliza diferentes palabras y
números para describir las permíteme
decir unas palabras sobre la forma en
que estoy representando aquí las cosas
cuando hago animaciones en un espacio 2d
típicamente uso esta cuadrícula pero
ésta es sólo una construcción una forma
de visualizar nuestro sistema de
coordenadas y por lo tanto depende de
nuestra elección de la base el espacio
propiamente no tiene ninguna cuadrícula
intrínseca jennifer podría dibujar su
propia cuadrícula que sería una
construcción igualmente inventada lo
cual significa que no es más que una
herramienta visual para ayudar a seguir
el significado de sus coordenadas su
origen sin embargo en realidad se
alinearía con el nuestro porque todo el
mundo está de acuerdo en lo que las
coordenadas 0 0 deben significar es lo
que se obtiene cuando sea escala
cualquier vector x 0 pero la elección de
sus ejes y el espaciamiento de las
líneas de su cola será diferente
dependiendo de su elección de vectores
base así que después de todo esto una
pregunta muy natural es como traducimos
entre sistemas de coordenadas si por
ejemplo jennifer describe un vector con
coordenadas menos 12 que vector sería
eso en nuestro sistema de coordenadas
como se traduce de su idioma al nuestro
bueno lo que nuestras coordenadas dicen
es que este vector es menos 1 por b 1 +
2 b 2 y desde nuestro punto de vista b
uno tiene coordenadas 2 1 y b 2 tiene
coordenadas menos 1 1
así que en realidad podemos calcular
menos 1 por b 1 + 2 b2 como se
representa en nuestro sistema de
coordenadas y calculando esto se obtiene
un vector con coordenadas menos 41 por
lo tanto esa es la forma en que
describiríamos el vector que ella piensa
como menos 12
este proceso de escalar cada uno de sus
vectores base por las coordenadas
correspondientes de algún vector y luego
sumarlos puede parecer algo familiar es
la multiplicación matriz vector con una
matriz cuyas columnas representan los
vectores de la base de jennifer en
nuestro idioma
de hecho una vez que entiendas la
multiplicación matriz vector como la
aplicación de una cierta transformación
lineal digamos viendo el que considero
el vídeo más importante de esta serie el
capítulo 3 te darás cuenta que hay una
manera muy intuitiva para pensar en lo
que está pasando aquí una matriz cuyas
columnas representan los vectores de la
base de jennifer puede ser considerada
como una transformación que mueven
nuestros vectores base y sombrerito y j
sombrerito las cosas que nosotros
pensamos cuando decimos 1 0 y 0 1 y
moverlos a la base de vectores de
jennifer que son en lo que ella piensa
cuando dice 1 0 y 0 1 para mostrar cómo
funciona esto vamos a seguir los pasos
de lo que significaría tomar el vector
que nosotros consideramos que tiene
coordenadas menos 12 y aplicar esa
transformación antes de la
transformación lineal nosotros pensamos
en este vector como una cierta
combinación lineal de los vectores de la
base menos uno por y sombrerito más dos
por jota sombrerito y la característica
clave de una transformación lineal es
que el vector resultante será la misma
combinación lineal pero él nuevos
vectores de la base menos una vez el
lugar donde queda y sombrerito más dos
veces el lugar donde queda jota
sombrerito
entonces lo que esta matriz hace es que
transforma nuestra idea equivocada de lo
que se refiere y jennifer en el vector
real al cual se está refiriendo
recuerdo que cuando estaba aprendiendo
esto por primera vez siempre sentía que
era algo al revés geométricamente esta
matriz transforma nuestra cuadrícula en
la cuadrícula de jennifer pero
numéricamente es la traducción de un
vector descrito en su idioma a nuestro
idioma lo que hizo que finalmente
pudiera entenderlo fue pensar en cómo se
traduce nuestra idea equivocada de lo
que jennifer quiere decir esto es el
vector que conseguimos utilizando las
mismas coordenadas pero en nuestro
sistema y luego se transforma en el
vector que ella quería decir en realidad
qué tal hacerlo al revés
en el ejemplo que he utilizado antes en
este vídeo cuando tengo el vector de
coordenadas 32 en nuestro sistema como
pude calcular que tendría coordenadas 5
tercios un tercio en el sistema de
jennifer se empieza con la matriz de
cambio de base que traduce el lenguaje
de jennifer en el nuestro y luego toma
su inversa
recuerda la inversa de una
transformación es una nueva
transformación que corresponde a jugar
con la primera en sentido opuesto en la
práctica sobre todo cuando se trabaja en
más de dos dimensiones tendrías que
utilizar una computadora para calcular
la matriz que representa a la inversa en
este caso la inversa de la matriz de
cambio de base que tiene la base de
jennifer como sus columnas tiene
columnas un tercio menos un tercio y un
tercio dos tercios
así por ejemplo para ver cómo luce el
vector 32 en el sistema de jennifer
multiplicamos la inversa de la matriz de
cambio de base por el vector 32 que
resulta ser cinco tercios un tercio
eso en pocas palabras es como se traduce
en vectores individuales entre sistemas
de coordenadas la matriz cuyas columnas
representan los vectores de la base de
jennifer pero escrita en nuestras
coordenadas traduce vectores de su
idioma a nuestro idioma
y la matriz inversa hace lo opuesto
sin embargo los vectores no son la única
cosa que se describe con el uso de
coordenadas para la siguiente parte es
importante que te sientas cómodo
representando transformaciones con
matrices y que sepas cómo la
multiplicación de matrices se
corresponde a la composición de
transformaciones sucesivas
definitivamente hace una pausa y echa un
vistazo a los capítulos 3 y 4 si algo de
esto te resulta difícil
considera alguna transformación lineal
como la rotación a 90 grados en sentido
antihorario cuando tú y yo representamos
esto con una matriz seguimos hasta donde
van cada uno de los vectores de la base
y sombrerito y j sombrerito y sombrerito
termina en el punto que en coordenadas 0
1 y j sombrerito termina en el punto con
coordenadas menos 1 0
así que esas coordenadas se convierten
en las columnas de nuestra matriz pero
esta representación está fuertemente
vinculada a nuestra elección de los
vectores base por el hecho de que
estamos siguiendo y sombrerito y j
sombrerito en primer lugar al hecho de
que estamos registrando sus lugares de
destino en nuestro propio sistema de
coordenadas como describiría jennifer
esta misma rotación del espacio de 90
grados
puedes verte tentado a simplemente
traducir las columnas de nuestra matriz
de rotación en el lenguaje de jennifer
pero eso no es del todo correcto esas
columnas representan a dónde van
nuestros vectores base y sombrerito y j
sombrerito sin embargo la matriz que
jennifer quiere debe representar a dónde
van sus vectores base y necesita
describir esos puntos de destino en su
idioma he aquí una forma común de pensar
en cómo se hace esto comienza con
cualquier vector escrito en el lenguaje
de jennifer en lugar de tratar de seguir
lo que le ocurre en términos de su
lenguaje en primer lugar vamos a
traducirlo a nuestro idioma mediante la
matriz de cambio de base aquellas cuyas
columnas representan sus vectores base
en nuestro idioma esto nos da el mismo
vector pero ahora escrito en nuestro
idioma a continuación aplica la matriz
de transformación a lo que obtengas
multiplicando por la izquierda esto nos
dice donde aterriza ese vector pero
todavía en nuestro idioma
luego como último paso aplicamos la
inversa de la matriz de cambio de base
multiplicando por la izquierda como de
costumbre para obtener el vector
transformado pero ahora en el lenguaje
de jennifer puesto que podríamos hacer
esto con cualquier vector escrito en su
lengua primero aplicando el cambio de
base luego la transformación y luego la
inversa del cambio de base esta
composición de las tres matrices nos da
la matriz de transformación en el
lenguaje de jennifer se inicia con un
vector en su lenguaje y nos arroja la
versión transformada de ese vector en su
idioma para este ejemplo específico
cuando vectores de la base de jennifer
se ven como 2 1 y menos 11 en nuestro
idioma y cuando la transformación es una
rotación de 90 grados el producto de
estas tres matrices tiene columnas un
tercio cinco tercios y menos dos tercios
menos un tercio así que si jennifer
multiplica esa matriz por las
coordenadas de un vector en su sistema
le devolverá la versión girada de ese
vector 90° expresado en su sistema de
coordenadas
en general cada vez que veas una
expresión como ad inversa multiplicada
por m multiplicada por a se sugiere una
especie de empatía matemática esa matriz
de enmedio representa una transformación
de algún tipo como tú lo ves y las dos
matrices externas representan la empatía
el cambio de perspectiva y el producto
total de las tres matrices representa
esa misma transformación pero como
alguien más lo ve para aquellos que se
preguntan por qué nos importan los
sistemas de coordenadas alternativos en
el siguiente vídeo sobre los vectores
propios y valores propios habrá un
ejemplo muy importante de esto hasta
entonces
[Música]
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