Integral por descomposición en fracciones simples, integrales racionales

Summary

En este video se explica cómo calcular la integral de un cociente de polinomios, con un numerador de grado menor que el denominador. Se aborda la factorización del denominador y la descomposición en fracciones simples para resolver la integral. A través de un ejemplo detallado, se muestra cómo descomponer la función racional en dos fracciones, calcular los valores de las constantes A y B, y realizar las integrales resultantes. El video también explica cómo aplicar propiedades de los logaritmos para obtener la solución final de la integral.

Takeaways

• 😀 La integral de un cociente de polinomios se debe resolver cuando el grado del numerador es menor que el del denominador.
• 😀 Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, se debe realizar una división de polinomios antes de proceder con la integración.
• 😀 En el caso de que el denominador tenga raíces reales, la integral se descompone en fracciones simples.
• 😀 Si no tiene raíces reales, la integral será de la forma arcotangente.
• 😀 Para encontrar las raíces del denominador, se iguala a cero y se resuelve la ecuación cuadrática.
• 😀 Las raíces del denominador en este ejemplo son x = 1 y x = -2.
• 😀 La factorización del denominador es (x - 1)(x + 2).
• 😀 La descomposición en fracciones simples se hace separando el numerador en dos términos con denominadores (x - 1) y (x + 2).
• 😀 Se usa el mínimo común múltiplo para sumar las fracciones con denominadores comunes.
• 😀 Se resuelve un sistema de ecuaciones para determinar los valores de los coeficientes a y b en las fracciones simples.
• 😀 La integral de cada fracción resultante es un logaritmo natural, y el resultado final es una combinación de logaritmos naturales con los denominadores (x - 1) y (x + 2).

Q & A

¿Cómo se resuelve una integral de un cociente de polinomios?

Para resolver una integral de un cociente de polinomios, es necesario verificar si el grado del numerador es menor que el del denominador. Si es así, se puede proceder a descomponer el polinomio en fracciones simples, si el denominador tiene raíces reales.

¿Qué pasa si el grado del numerador es mayor que el del denominador?

Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, se debe realizar una división de polinomios antes de proceder con la integral.

¿Cómo se determina si el denominador tiene raíces reales?

Para determinar si el denominador tiene raíces reales, se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación cuadrática resultante, usando la fórmula general para encontrar las raíces.

¿Qué fórmula se usa para encontrar las raíces de un polinomio cuadrático?

La fórmula utilizada es x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, donde 'a', 'b', y 'c' son los coeficientes del polinomio cuadrático.

¿Qué sucede cuando las raíces del denominador son reales y distintas?

Cuando las raíces del denominador son reales y distintas, la integral se puede descomponer en fracciones simples, donde se expresa el cociente como la suma de fracciones con denominadores lineales.

¿Cómo se realiza la descomposición en fracciones simples?

Para la descomposición en fracciones simples, se iguala el cociente a la suma de fracciones con denominadores que son los factores del denominador original. Luego, se resuelven los coeficientes desconocidos, generalmente a través de un sistema de ecuaciones.

¿Qué sistema de ecuaciones se genera en este proceso?

Se genera un sistema de ecuaciones al comparar los coeficientes de las potencias de 'x' en el numerador de la fracción descompuesta y el numerador original. Esto nos permite resolver los valores de los coeficientes 'a' y 'b'.

¿Cómo se calcula la integral de fracciones simples?

La integral de fracciones simples se calcula utilizando la propiedad de que la integral de 1/(x - r) es el logaritmo natural de |x - r|, donde 'r' es una raíz del denominador.

¿Qué propiedades de los logaritmos se usan en este caso?

Se utilizan las propiedades del logaritmo para simplificar la expresión, como la regla que permite separar constantes multiplicativas, por ejemplo, colocando el 2 y el 3 fuera de las integrales antes de realizar la integración.

¿Qué forma tiene la solución final de la integral?

La solución final de la integral es una suma de logaritmos naturales de los factores lineales del denominador, es decir, ln|x - 1| y ln|x + 2|, multiplicados por constantes, más una constante de integración.