Derivadas (Regla del cociente) 1

Summary

En este video se explica cómo calcular la derivada de un cociente utilizando la regla del cociente. El presentador detalla paso a paso cómo aplicar la fórmula, destacando que es similar a la regla del producto, pero con una resta en lugar de una suma, y con el denominador al cuadrado. Se aplica esta técnica a un ejemplo que incluye funciones como la tangente y exponenciales. También se utilizan otras reglas básicas de derivación, como la de las constantes y la suma, para simplificar el proceso de derivación de la función dada.

Takeaways

• 📘 Al calcular la derivada de un cociente, es clave aplicar la regla del cociente.
• ✏️ La fórmula de la regla del cociente establece que derivamos el numerador y lo multiplicamos por el denominador sin derivar, restamos el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del denominador, y dividimos todo por el denominador al cuadrado.
• 📐 La regla del cociente es similar a la del producto, con la diferencia de que aquí usamos un signo negativo en lugar de un positivo.
• 💡 Un ejemplo utilizado es derivar la función: (1 + x^3 + tan(x)) / (2^x).
• 🚀 La derivada de una constante es cero, por lo que no contribuye al resultado final.
• 📈 Para derivar x^3, aplicamos la regla de la potencia, obteniendo 3x^2.
• 🔍 Para la derivada de la tangente, utilizamos la fórmula conocida de secante al cuadrado de x.
• 📊 La derivada de una exponencial, como 2^x, es la misma exponencial multiplicada por el logaritmo natural de su base, en este caso ln(2).
• 🧩 En este ejemplo, también aplicamos la regla de separación para sumar las derivadas de términos individuales.
• 📝 Finalmente, obtenemos la derivada de toda la función al seguir estos pasos y aplicar cada regla necesaria.

Q & A

¿Qué regla se utiliza para derivar un cociente de funciones?

Se utiliza la regla del cociente, que establece que si tenemos un cociente de funciones f/g, la derivada se calcula derivando la función del numerador, multiplicándola por la función del denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del denominador, todo esto dividido entre el cuadrado de la función del denominador.

¿En qué se parece la regla del cociente a la regla del producto?

La regla del cociente se parece a la del producto porque en ambas se derivan las funciones involucradas y se multiplican. Sin embargo, en la regla del cociente se resta en lugar de sumar, y se divide todo entre el cuadrado de la función del denominador.

¿Cuál es la primera derivada que se menciona en el ejemplo del video?

La primera derivada mencionada es la de una constante, que es igual a cero.

¿Cómo se deriva la función x³ según el video?

Para derivar x³, se baja el exponente, quedando 3x², y luego se le resta uno al exponente.

¿Qué funciones componen el numerador y el denominador del cociente en el ejemplo dado?

En el numerador está la función tangente de x, y en el denominador está la función exponencial 2^x.

¿Cuál es la derivada de la tangente según el video?

La derivada de la tangente es la secante al cuadrado de x.

¿Cómo se deriva la función exponencial 2^x?

La derivada de 2^x es la misma función multiplicada por el logaritmo natural de su base, es decir, 2^x * ln(2).

¿Qué sucede en el denominador de la regla del cociente?

En el denominador se coloca el denominador de la función original, pero elevado al cuadrado.

¿Qué regla se utiliza primero en el ejemplo de derivada?

Primero se aplica la regla de la suma, que permite separar la derivada de cada término individualmente.

¿Cuál es el resultado final de la derivada del cociente en el ejemplo?

El resultado final de la derivada es 3x² más la fracción donde aparece la secante cuadrada de x multiplicada por 2^x, menos la tangente de x multiplicada por la derivada de 2^x, dividido entre 2^x al cuadrado.