Integral de Funciones Exponenciales. Ejemplo 1

Summary

En este video, el profe Gabriel explica cómo resolver integrales de funciones exponenciales usando dos fórmulas clave. Primero, aborda la integral de e elevado a u por du, cuyo resultado es e elevado a u más una constante de integración. Luego, presenta la fórmula para integrales con base a, donde el resultado incluye el logaritmo natural de a. A través de un ejercicio práctico, el profe Gabriel muestra cómo aplicar un cambio de variable para resolver la integral de e elevado a 8x, guiando paso a paso cómo obtener la solución final, con opciones de formato para el resultado.

Takeaways

• 😀 La primera fórmula para integrar funciones exponenciales es la integral de e^u * du, cuyo resultado es u + constante de integración.
• 😀 La segunda fórmula es para integrales de la forma a^u * du, cuyo resultado es a^u / ln(a) + constante de integración.
• 😀 El ejercicio planteado es la integral de e^(8x) * dx, que requiere un cambio de variable.
• 😀 En el cambio de variable, se define u = 8x y su derivada es du = 8 * dx.
• 😀 Es necesario multiplicar por 1/8 para equilibrar la ecuación al momento de realizar el cambio de variable.
• 😀 Tras el cambio de variable, la integral se convierte en (1/8) * integral de e^u * du.
• 😀 Al aplicar la fórmula de la integral de e^u * du, obtenemos (1/8) * e^u + constante de integración.
• 😀 Es importante recordar que al final debemos sustituir de nuevo u por su expresión original, 8x.
• 😀 El resultado final es (1/8) * e^(8x) + constante de integración.
• 😀 Este proceso se puede escribir de dos maneras equivalentes: (1/8) * e^(8x) + constante de integración o e^(8x) / 8 + constante de integración.

Q & A

¿Cuál es la primera fórmula utilizada para la integración de funciones exponenciales?

La primera fórmula es la integral de e^u * du, que es igual a e^u + C, donde C es la constante de integración.

¿Qué formula se utiliza cuando la base de la exponencial no es 'e'?

La fórmula es la integral de a^u * du, que se resuelve como (a^u / ln(a)) + C, donde a es la base de la exponencial y ln(a) es el logaritmo natural de a.

¿Qué cambio de variable se realiza en el primer ejercicio?

Se realiza un cambio de variable donde se establece que u = 8x, con el fin de simplificar la integral de e^(8x).

¿Cómo se obtiene la derivada de u en el ejercicio?

La derivada de u = 8x es 8, lo que se utilizará para ajustar la diferencial de X.

¿Qué pasa si no incluimos el factor 8 al realizar el cambio de variable?

El factor 8 es necesario para que la diferencial de X coincida con la derivada de u. Si no lo incluimos, la integral no será válida.

¿Cómo se ajusta la diferencial de X después de realizar el cambio de variable?

La diferencial de X se ajusta a du / 8, ya que la derivada de 8x es 8, y por lo tanto, se debe dividir por 8 para que la expresión sea correcta.

¿Por qué se puede sacar un factor 1/8 fuera de la integral?

El 1/8 es una constante que se puede factorizar fuera de la integral, ya que no depende de la variable de integración.

¿Qué sucede después de aplicar la fórmula de integración en este caso?

Al aplicar la fórmula de integración, se obtiene (1/8) * e^u + C. Luego, se sustituye u por 8x para volver a la variable original.

¿Cuáles son las dos formas en las que se puede escribir el resultado final de la integral?

El resultado final puede escribirse como (e^(8x) / 8) + C, o como (1/8) * e^(8x) + C.

¿Es posible simplificar el resultado aún más?

No, el resultado no se puede simplificar más. Ambas formas son correctas y están igualmente representadas.