Equivalence for Turing Machines is neither Recognizable nor co-Recognizable

Summary

В этом видео рассматривается проблема узнаваемости и неузнаваемости задачи эквивалентности Тьюринг-машин (eqtm). Объясняется, как с помощью редукции задач показывается, что eqtm не является узнаваемой, а также что её дополнение тоже неузнаваемо. Используя результат о редукциях, автор демонстрирует, что если задача ATM неузнаваема, то и eqtm будет неузнаваемой. Видео подробно объясняет редукции, начиная с задачи complement ATM и заканчивая самими задачами eqtm. В результате мы приходим к выводу, что ни eqtm, ни его дополнение не являются узнаваемыми.

Takeaways

• 😀 Результат о редукциях отображений: если существует редукция отображений от задачи A к задаче B, и задача B разрешима, то задача A тоже разрешима.
• 😀 При использовании редукций отображений можно доказать, что если задача A не разрешима или не распознаваема, то задача B тоже не будет разрешимой или распознаваемой.
• 😀 Задача EQTM (эквивалентность машин Тьюринга) не распознаваема, и ее дополнение также не распознаваемо.
• 😀 Для доказательства этого используется редукция от задачи ATM (проблема принятия Тьюрингом) к EQTM и её дополнению.
• 😀 Сначала показывается редукция от задачи ATM к дополнению задачи EQTM с использованием пары машин Тьюринга, где одна машина всегда отклоняет строки, а другая зависит от того, принимает ли первая машина строку.
• 😀 В редукции от задачи ATM к EQTM дополнению, если вторая машина принимает все строки, то пары машин не эквивалентны, что означает, что результат находится в дополнении EQTM.
• 😀 В другом случае, когда задача редуцируется к EQTM (без дополнения), первая машина принимает все строки, а вторая машина ведет себя в зависимости от того, принимает ли Тьюринг-машина строку.
• 😀 Если первая машина принимает строку, то машины эквивалентны, что приводит к результату, находящемуся в EQTM.
• 😀 Если первая машина не принимает строку, то машины не эквивалентны, что приводит к результату, который не находится в EQTM.
• 😀 Эти редукции показывают, что EQTM не распознаваема, и её дополнение также не распознаваемо, используя свойство редукции отображений между задачами.

Q & A

Что такое задача eqtm?

Задача eqtm (Equality of Turing Machines) заключается в том, чтобы определить, принимают ли два Turinga одинаковые языки, то есть, эквивалентны ли два Turinga машины по их поведению на всех строках входа.

Что значит, что задача не распознаваема?

Задача считается нераспознаваемой, если не существует алгоритма, который может решить эту задачу за конечное время для всех возможных входных данных.

Что такое сополнимая задача и как это связано с задачей eqtm?

Сополнимая задача – это задача, которая не имеет алгоритма распознавания, и её дополнение также не распознаваемо. В случае с eqtm, как сама задача, так и её дополнение нераспознаваемы.

Что такое отображение редукций и как это применяется в доказательствах?

Отображение редукций – это способ преобразования одной задачи в другую, таким образом, что решение одной задачи может быть использовано для решения другой. В данном случае, мы используем редукции от задачи atm (acceptance problem) к задаче eqtm, чтобы доказать, что eqtm не распознаваема.

Какую роль играет контрапозиция в доказательстве?

Контрапозиция используется для переворачивания исходного утверждения, чтобы доказать, что если задача A не распознаваема, то задача B также не распознаваема. Это позволяет нам использовать редукцию для доказательства, что eqtm не распознаваема.

Почему в доказательстве удобно работать с задачей atm вместо её дополнения?

Работать с задачей atm удобнее, поскольку она не требует проверки, является ли строка кодом машины Тьюринга, что значительно упрощает доказательство и делает его более понятным.

Как именно выполняется редукция задачи atm к задаче eqtm?

В редукции задачи atm к задаче eqtm создаются два Turinga: один всегда отклоняет строки, а второй зависит от того, принимает ли машина M вход w. Если машина M принимает w, второй Turinga будет принимать все строки, и наоборот.

Как отличается редукция задачи atm к eqtm от редукции к eqtm complement?

Основное отличие заключается в поведении первого Turinga: в редукции к eqtm первый Turinga принимает все строки, в то время как в редукции к eqtm complement он отклоняет все строки. Это меняет то, как мы определяем, эквивалентны ли две машины.

Какие выводы можно сделать из доказательства, что eqtm и его дополнение не распознаваемы?

Из доказательства следует, что ни сама задача eqtm, ни её дополнение не могут быть решены с помощью алгоритма распознавания. Это имеет важные последствия для теории вычислимости и понимания границ возможностей алгоритмов.

Что такое задача atm и почему она используется в доказательствах?

Задача atm заключается в определении, принимает ли машина Тьюринга M строку w. Она используется в доказательствах, поскольку является классической задачей, для которой известно, что она нераспознаваема, и с её помощью можно строить редукции к другим задачам, таким как eqtm.