Théorème de Pythagore 4ème - Mathrix

Summary

Ce cours sur les triangles rectangles se concentre sur le théorème de Pythagore, un pilier de la géométrie. Le professeur introduit d'abord le vocabulaire nécessaire avant de présenter l'énoncé d'Euclide. Il explique que si ABC est un triangle rectangle en B, alors AB²+BC²=AC², où AC est l'hypoténuse. Il fournit des exemples concrets pour montrer comment appliquer le théorème pour trouver une longueur dans un triangle rectangle. Le cours se poursuit avec une démonstration non conventionnelle et graphique du théorème, utilisant des carrés et des triangles pour arriver à l'équation a²+b²=c². Cette approche visuelle rend le théorème accessible et mémorable, concluant par une invitation à comprendre et à apprécier la beauté de la démonstration de Pythagore.

Takeaways

• 📚 Le cours traite du théorème de Pythagore et commence par un rappel de vocabulaire.
• 🔍 L'énoncé d'Euclide est mentionné comme une introduction au théorème de Pythagore.
• 📐 Le théorème de Pythagore s'applique aux triangles rectangles et permet de trouver la longueur de la hypoténuse.
• 📈 La formule AB² + BC² = AC² est utilisée pour calculer la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
• 📝 L'exemple donné illustre comment appliquer le théorème de Pythagore avec des longueurs spécifiques (4 cm et 9 cm).
• 🧩 L'hypoténuse est la longueur opposée à l'angle droit et est calculée en additionnant les carrés des autres côtés.
• 🔢 L'exemple numérique met en pratique le théorème de Pythagore pour trouver AC = 5 cm à partir de AB = 3 cm et BC = 4 cm.
• 🔄 Il est également possible de trouver les autres côtés du triangle rectangle en utilisant la même méthode.
• 🎨 Une démonstration graphique est présentée en combinant plusieurs triangles rectangles pour former un carré.
• 🌟 L'aire du grand carré est égale à la somme de l'aire du petit carré et quatre fois l'aire du triangle rectangle.
• 📉 La démonstration graphique aboutit à l'équation a² + b² = c², confirmant le théorème de Pythagore.

Q & A

Quel est le sujet principal du cours?

Le sujet principal du cours est le théorème de Pythagore.

Quel est le théorème de Pythagore?

Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés adjacents à l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.

Quelle est la méthode non conventionnelle utilisée pour démontrer le théorème de Pythagore dans le cours?

La méthode non conventionnelle utilisée dans le cours consiste à placer plusieurs triangles rectangles dans un grand triangle et à utiliser la géométrie pour démontrer que a² + b² = c².

Quels sont les côtés d'un triangle rectangle mentionnés dans l'exemple donné?

Dans l'exemple donné, les deux côtés adjacents au rectangle sont de 3 cm et 4 cm.

Comment calculer la longueur de l'hypoténuse AC dans l'exemple donné?

Pour calculer la longueur de l'hypoténuse AC, on applique le théorème de Pythagore : 3² + 4² = AC², ce qui donne 9 + 16 = AC², donc 25 = AC². En prenant la racine carrée de 25, on trouve que AC = 5 cm.

Pourquoi est-il important de connaître le théorème de Pythagore?

Le théorème de Pythagore est important car il permet de trouver une longueur dans un triangle rectangle, ce qui est utile dans de nombreuses applications mathématiques et pratiques.

Quel est l'énoncé d'Euclide mentionné dans le script?

L'énoncé d'Euclide mentionné dans le script fait référence à la forme traditionnelle du théorème de Pythagore, qui est souvent présentée sous forme de texte dans les livres de mathématiques.

Comment le professeur aborder la complexité de la formule de Pythagore?

Le professeur simplifie la complexité de la formule de Pythagore en l'expliquant étape par étape et en utilisant des exemples concrets pour montrer comment appliquer le théorème.

Quelle est la démonstration graphique du théorème de Pythagore présentée dans le cours?

La démonstration graphique consiste à placer les triangles rectangles dans un grand triangle et à utiliser l'aire d'un carré formé par la somme des côtés a et b pour montrer que a² + b² = c².

Quel est le site web mentionné dans le script?

Le site web mentionné dans le script est www.mathrix.fr, qui est probablement une ressource en ligne pour apprendre les mathématiques.

Outlines

00:00

📚 Introduction au théorème de Pythagore

Le premier paragraphe introduit le cours sur les triangles rectangles et le théorème de Pythagore. Il explique que le théorème permet de trouver la longueur de la hypoténuse d'un triangle rectangle si on connaît les deux autres côtés. L'enseignant propose une méthode non conventionnelle pour démontrer ce théorème. Il donne un exemple avec des longueurs de 4 cm et 9 cm et montre comment appliquer la formule de Pythagore pour trouver la longueur de l'hypoténuse, AC. Il utilise ensuite un autre exemple avec des longueurs de 3 cm et 4 cm pour illustrer comment résoudre pour un côté quelconque d'un triangle rectangle.

05:00

🎨 Démonstration graphique du théorème de Pythagore

Le second paragraphe présente une démonstration graphique du théorème de Pythagore. L'enseignant construit un carré en utilisant quatre triangles rectangles identiques, chacun ayant des côtés de longueur a, b et c. Il explique que le côté du carré est a+b et que l'aire du carré est donc (a+b)². En développant cette aire, il obtient l'expression a²+2ab+b². Il compare ensuite cette aire à celle de quatre fois le triangle rectangle, qui est 4 * (a*b/2), ce qui simplifie également à a²+2ab+b². En équivalent ces deux expressions, il démontre que a²+b²=c², la forme classique du théorème de Pythagore. Cette méthode graphique offre une compréhension visuelle de la relation entre les côtés du triangle rectangle et l'hypoténuse.

Keywords

💡Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est un principe mathématique fondamental qui stipule que dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés adjacents à l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse. Dans le script, ce théorème est expliqué comme étant la pierre angulaire de la leçon, servant à établir une équation pour trouver la longueur d'un côté d'un triangle rectangle.

💡Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. Dans le script, l'enseignant utilise l'exemple d'un triangle rectangle pour introduire et expliquer le théorème de Pythagore, en soulignant que ce type de triangle permet d'appliquer cette théorie.

💡Hypoténuse

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. Elle est mentionnée dans le script comme le côté dont le carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ce qui est central dans l'application du théorème de Pythagore.

💡Énoncé d'Euclide

L'énoncé d'Euclide fait référence à la manière dont Euclide a présenté le théorème de Pythagore dans ses éléments. Dans le script, l'enseignant mentionne l'énoncé d'Euclide comme une étape dans la démonstration du théorème.

💡Équation

Dans le contexte du script, l'équation est utilisée pour représenter la relation entre les côtés d'un triangle rectangle selon le théorème de Pythagore. L'enseignant explique comment établir une équation pour trouver la longueur d'un côté inconnu en utilisant AB² + BC² = AC².

💡Longueur

La longueur est un concept clé dans le script, car le théorème de Pythagore est principalement utilisé pour déterminer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle. L'enseignant donne des exemples de triangles rectangles avec des longueurs spécifiques pour illustrer comment appliquer le théorème.

💡Carré

Le terme 'carré' est utilisé pour décrire l'opération mathématique de multiplier un nombre par lui-même. Dans le script, l'enseignant explique que pour chaque côté adjacent à l'angle droit, on doit calculer le carré de cette longueur avant de les additionner pour obtenir le carré de l'hypoténuse.

💡Racine

La racine est utilisée pour trouver la valeur d'une variable quand son carré est connu. Dans le script, l'enseignant montre comment, après avoir trouvé le carré de l'hypoténuse (AC²), on peut utiliser la racine pour trouver la longueur réelle de l'hypoténuse (AC).

💡Identité remarquable

L'identité remarquable fait référence à l'équation a² + 2ab + b² = (a + b)², qui est utilisée dans le script pour démontrer graphiquement le théorème de Pythagore. L'enseignant explique comment cette identité peut être dérivée à partir de la juxtaposition de quatre triangles rectangles dans un grand carré.

💡Démonstration graphique

La démonstration graphique est une méthode alternative pour prouver le théorème de Pythagore en utilisant des figures géométriques. Dans le script, l'enseignant partage une démonstration graphique qui utilise des carrés et des triangles pour montrer visuellement pourquoi a² + b² = c².

Highlights

Introduction au cours sur les triangles rectangles et l'objectif de présenter le théorème de Pythagore.

Importance du vocabulaire dans la compréhension du théorème de Pythagore.

Présentation de l'énoncé d'Euclide comme base du théorème de Pythagore.

Introduction d'une méthode non conventionnelle pour démontrer le théorème de Pythagore.

Explication du théorème de Pythagore pour un triangle rectangle ABC.

Description de l'égalité AB²+BC²=AC² liée au triangle rectangle.

Utilisation du théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes de longueurs dans les triangles rectangles.

Exemple concret avec des longueurs de 4 cm et 9 cm pour trouver la longueur AC.

Méthode d'application du théorème de Pythagore en utilisant l'angle droit et les côtés adjacents.

Explication de la formule de Pythagore et son application avec des chiffres simples.

Calcul de la longueur AC en utilisant la formule de Pythagore avec des valeurs spécifiques.

Utilisation de la racine pour trouver la longueur AC à partir de l'équation AC²=25.

Démonstration de la possibilité de trouver n'importe quel côté d'un triangle rectangle avec Pythagore.

Méthode pour résoudre l'équation AB²+4²=5² pour trouver le côté AB inconnu.

Explication de la différence entre les côtés connus et inconnus dans le contexte du théorème de Pythagore.

Partage d'une démonstration graphique du théorème de Pythagore à l'aide de triangles et de carrés.

Construction d'un carré à partir de quatre triangles rectangles identiques.

Démonstration géométrique de l'égalité a²+b²=c² à travers l'aire des figures géométriques.

Conclusion de la démonstration graphique et son lien avec le théorème de Pythagore.

Félicitations aux téléspectateurs pour avoir suivi la vidéo et encouragement à la découverte de concepts mathématiques.

Transcripts

Salut et bienvenue sur le cours des triangles rectangles.

Grand objectif aujourd'hui, le théorème de Pythagore.

Mais avant tout, encore un peu de vocabulaire.

Allez ! On est parti !

Théorème de Pythagore 4ème - www.mathrix.fr

Le théorème de Pythagore !

Alors ça, ce dessin là que tu vois,

c'est ce que l'on appelle l’énoncé d'Euclide.

Donc je te le fais, tu vas comprendre pourquoi.

Parce que en fait mon but, c'est aussi à la fin de la vidéo de te donner,

une méthode non conventionnelle peut-être pour te démontrer ce résultat.

Tu verras que ça, c'est intéressant.

Mais avant tout commençons pas le théorème.

Le théorème de Pythagore dit la chose suivante :

Si ABC est un triangle rectangle en B.

Comme ici.

Alors AB²+BC²=AC²

En gros c'est la somme de ses côtés adjacents au carré qui est égal à l'hypoténuse au carré.

Et maintenant comment je te dis ça.

Je suppose que c'est comme si je te parlais.

Juste qu'on comprenne l'idée de ce théorème. Il faut quoi ?

Il faut, si j'ai un triangle rectangle, alors là j'ai une égalité.

Ça, c'est des longueurs donc en gros.

Si j'ai un triangle rectangle, j'arrive à avoir une équation pour trouver une longueur.

Quand est-ce qu'on applique Pythagore ?

Quand on cherche une longueur.

Donc voici, un exemple. Alors ce n'est pas à l'échelle.

J'ai un triangle rectangle, supposons que là j'ai 4 cm et là j'ai 9 cm.

Et moi ma question c'est :

"Quelle est la distance AC, sachant que j'ai un triangle rectangle en B ?"

Donc là le réflexe, c'est quoi ?

Je cherche une longueur et j'ai un triangle rectangle.

C'est à cette mise en situation, il faut que ça fasse "clic", et que ça fasse :

PYTHAGORE !

Et maintenant, comment on applique ce Pythagore ?

C'est quoi cette formule de malade ?

Parce qu'elle paraît assez compliquée.

Alors la formule, elle ne dit rien d'autre que la chose suivante :

Tu mets un doigt sur l'angle droit.

Maintenant, ce que tu vas faire, c'est la chose suivante :

L'hypoténuse, il est en face.

Donc ici, l’hypoténuse, c'est AC.

Et en fait tu vas dire la choses suivantes :

Pythagore dit la chose suivante :

C'est que les 2 côtés qui touchent cet angle droit,

si tu les mets au carré. Donc là j'ai AB² et j'ai BC².

En fait, la somme de ces 2 côtés au ² est = à celui-là.

Donc à l'hypoténuse au ².

Voilà, juste ça.

Un doigt, lui au ² + lui au ² = celui-là qui est en face, l'hypoténuse au ².

Ça, c'est Pythagore.

C'est quand même pas très compliqué.

Ecoute j'ai envie de changer les chiffres. je vais plutôt prendre 3 ici.

Pour qu'on ait un beau chiffre.Je vais avoir AB².

AB², j'ai 3, donc ça me fait :

3² + BC², BC=4, alors ça fait :

3²+4²=AC²

ça donne, 9+16=AC²

ça donne, 25=AC²

Et du coup, donc AC là. On a quasiment AC. Il manque encore une chose,

c'est enlever ce ².

On peut appliquer ce que l'on appelle la racine.

Donc AC c'est la racine de 25.

Mais on sait AC est positif, donc quoi x quoi donne 25.

5 x 5

5 x 5 donne 25, donc

AC=5 cm

J'ai cette équation, grâce a Pythagore.

Et j'avais ça en inconnue. Juste au cas où tu peux avoir ça en inconnue.

Par exemple, maintenant si je n'avais pas AB.

Donc j'aurais eu quoi ?

J'aurais eu : AB²+4²=5²

J'aurais pu aussi avoir cette équation.

Et moi je cherche AB, donc,

J'aurais eu AB²=25-16,

ce qui fait : AB²=9

Donc AB=3 (car 3x3=9)

Ça marche ?

Donc en gros, l'inconnue, le côté que tu ne connais pas, ce n'est pas toujours l'hypoténuse.

Au pire, il faut juste les passer de l'autre côté.

Tu jongles un peu avec.

Il y a un truc sympathique que j'aimerais partager avec toi.

Alors voici mon triangle.

Supposons que ça c'est mon triangle, donc j'ai un triangle,

donc ABC si on veut.

Là, j'ai le côté a, b et c.

Je mets ces triangles dans un plus grand triangle. Regarde.

Là, j'ai le côté a qui est ici.

Là, j'ai mon triangle.

Là, j'ai un premier triangle.

J'en case un deuxième comme ça.

Un troisième comme ça.

Et un quatrième comme ça.

Donc en gros, tout ce carré.

Ça c'est un carré parce que là cette distance = à celle-là = celle-là = celle-là.

Le côté c'est toujours a+b.

a+b, a+b, a+b.

Donc l'aire de ce carré c'est quoi ?

C'est côté x côté. C'est-à-dire (a+b)x(a+b)

Si je fais une double distributivité, j'obtiens quoi ?

Je vais obtenir : axa et axb et bxa et bxb

Donc je vais obtenir :

a²+ab+ba+b².

Donc au final j'obtiens :

a²+2ab+b²

C'est l'identité remarquable, pour ceux qui connaisse.

Bref, l'aire de ce carré = à ça (voir formule).

Mais graphiquement l'aire c'est aussi = à quoi ?

C'est 4 x mon triangle. Et 1 x ce carré.

T'es d'accord que lui là, c'est un carré de côté c. Tu vois ? en bleu.

Donc l'aire de lui c'est : c x c. C'est c².

Donc, l'aire du carré j'ai quoi ?

J'ai ce carré qui est dedans : c² + 4 fois l'aire de mon triangle, et l'aire d'un triangle c'est quoi ?

C'est base fois hauteur.

Donc c'est a x b / 2.

Donc j'ai : a x b /2.

Et regarde là, finalement ce que j'obtiens.

J'obtiens a²+2ab+b², donc ça c'est ce que j'ai développé ici.

Donc a²+2ab+b²=c²+2ab

Et regarde là.

Ça, ça se simplifie avec ça et j'obtiens :

a²+b²=c²

Regarde !

Donc j'ai, mon triangle rectangle.

Je mets le doigt dessus.

a² + b² = c²

Donc on peut le démontrer d'une certaine manière graphiquement.

Voilà, tu viens de comprendre la démonstration de Pythagore.

Bon ça ne sera pas au programme mais je me dis.

Il n'y à rien de très compliqué.

Bon. Autant le savoir, c'est cool, non ?

Allez !

Félicitations d'être arrivé jusqu'au bout de cette vidéo.

Théorème de Pythagore 4ème - www.mathrix.fr