LE COURS : Le théorème de Pythagore - Quatrième
Summary
TLDRDans cette vidéo, nous explorons le théorème de Pythagore et ses applications. Nous découvrons que, bien que Pythagore ait formalisé le théorème, d'autres cultures l'avaient déjà connu. Le théorème établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, permettant de calculer la longueur d'un côté à partir des deux autres. De plus, nous apprenons comment utiliser la réciproque du théorème pour déterminer si un triangle est rectangle ou non, ce qui a des applications pratiques importantes.
Takeaways
- 📚 Le théorème de Pythagore est un concept mathématique fondamental lié aux triangles rectangles.
- 👷♂️ Pythagore lui-même peut ne pas avoir existé en tant qu'individu, mais plutôt être le nom d'une école de penseurs et de mathématiciens.
- 📈 Le théorème était déjà connu dans des cultures anciennes telles que celles des Chinois et des Babyloniens avant Pythagore.
- 🔢 La formule du théorème de Pythagore est a² = b² + c², où a est l'hypoténuse et b et c sont les autres côtés du triangle rectangle.
- 🏛️ L'égalité de Pythagore a des applications pratiques, comme la construction de angles droits en utilisant une corde à 13 noeuds, qui était utilisée par les Égyptiens.
- 📐 Le théorème permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle en connaissant les deux autres côtés.
- 🔍 La réciproque du théorème de Pythagore peut être utilisée pour déterminer si un triangle est rectangle ou non, en vérifiant si la somme des carrés des deux côtés égaux au carré du plus grand côté.
- 📊 La racine carrée est un concept utilisé pour trouver un nombre dont le carré équivaut à une valeur donnée, comme dans le calcul de la longueur d'un côté manquant.
- 📱 La calculatrice est un outil utile pour approximer la racine carrée, bien qu'elle ne soit pas toujours exacte.
- 📈 L'application du théorème de Pythagore est non seulement utile pour les mathématiques, mais aussi pour les disciplines connexes telles que l'architecture et l'ingénierie.
- 🎓 La compréhension du théorème de Pythagore et de ses applications est essentielle pour réussir dans les examens et les contrôles scolaires.
Q & A
Qui est Pythagore et quel est son lien avec le théorème de Pythagore?
-Pythagore est un philosophe et mathématicien de l'Antiquité qui aurait fondé l'école des Pythagoriciens à Crotone. Il est célèbre pour le théorème de Pythagore, qui établit une relation entre les côtés d'un triangle rectangle.
Que dit le théorème de Pythagore?
-Le théorème de Pythagore établit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Comment l'égalité de Pythagore peut-elle être utilisée?
-L'égalité de Pythagore peut être utilisée pour calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle, si les longueurs des deux autres côtés sont connues.
Quels sont les exemples d'applications pratiques du théorème de Pythagore mentionnés dans le script?
-Le script mentionne que les Égyptiens utilisaient le théorème de Pythagore pour construire des angles droits très grand, utile pour la construction de bâtiments. Ils avaient fabriqué une corde à 13 noeuds pour créer un triangle 3-4-5, qui leur permettait de s'assurer de la perpendiculaire des murs.
Comment le théorème de Pythagore peut-il être utilisé pour vérifier si un triangle est rectangle ou non?
-On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vérifier si un triangle est rectangle. Si dans un triangle donné, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque?
-Le théorème de Pythagore établit une relation pour un triangle rectangle, tandis que sa réciproque permet de déterminer si un triangle donné est rectangle ou non en vérifiant si l'égalité de Pythagore est valable pour ce triangle.
Comment calculer la racine carrée d'un nombre?
-La racine carrée d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3, car 3 multiplié par 3 donne 9. On peut utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur approximative de la racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait.
Pourquoi la racine carrée peut-elle donner une valeur approximative?
-La racine carrée peut donner une valeur approximative car certains nombres ne sont pas des carrés parfaits, ce qui signifie qu'ils n'ont pas d'égal nombre de décimales après leur racine carrée. Les calculatrices renvoient donc une valeur approchée qui est généralement suffisante pour la plupart des applications.
Comment le théorème de Pythagore peut-il aider dans le calcul de distances?
-Le théorème de Pythagore peut être utilisé pour calculer les distances dans des situations où les mouvements sont rectangulaires, comme dans la navigation ou la cartographie. Il permet de déterminer la distance directe entre deux points en calculant la longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle formé par les lignes de direction et les distances parcourues.
Quels sont les mathématiciens ou les peuples qui ont connu le théorème de Pythagore avant lui?
-Les Chinois et les Babyloniens connaissaient déjà le théorème de Pythagore avant lui, comme en témoignent des traces dans leurs écrits anciens. Cependant, c'est grâce à l'école des Pythagoriciens que le théorème a été formalisé et transmis de manière plus large et formelle.
Comment le théorème de Pythagore peut-il être utilisé pour résoudre des problèmes de trigonométrie?
-Le théorème de Pythagore est une base pour de nombreuses applications en trigonométrie, notamment pour résoudre des problèmes liés aux triangles. Il peut être utilisé pour trouver les longueurs des côtés ou les mesures des angles dans des triangles droits ou non droits, en combinant avec d'autres formules trigonométriques.
Outlines
📚 Présentation du théorème de Pythagore et son histoire
Ce paragraphe présente le théorème de Pythagore et son importance dans les mathématiques. Il explique que ce théorème est lié à l'école pythagoricienne, regroupant des savants et des philosophes à Crotone, en Grèce antique. Le théorème était déjà connu avant Pythagore, notamment par les Chinois et les Babyloniens. Cependant, c'est cette école qui a formalisé le théorème. Le paragraphe détaille également comment le théorème de Pythagore peut être utilisé pour préparer un contrôle ou un examen, soulignant l'importance de la pratique et de l'entraînement pour bien comprendre le théorème. Il est également question de l'égalité de Pythagore et de ses applications, ainsi que de l'existence de Pythagore lui-même, qui est sujette à débat.
📐 Explication de l'égalité de Pythagore et son application
Dans ce paragraphe, l'auteur explique l'égalité de Pythagore, qui relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il utilise un exemple concret avec un triangle rectangle de côtés 3, 4, et 5 unités pour illustrer le théorème. L'auteur montre comment appliquer le théorème pour trouver la longueur du côté manquant dans un triangle rectangle, en utilisant l'égalité de Pythagore. Il mentionne également que cette égalité peut être exprimée sous forme algébrique et que cela permet de calculer les longueurs dans un triangle rectangle, soulignant l'importance de cette connaissance pour les études et les examens.
🔍 Utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore
Ce paragraphe traite de la réciproque du théorème de Pythagore, qui permet de déterminer si un triangle est rectangle ou non. L'auteur explique que pour utiliser cette réciproque, il faut connaître les longueurs de tous les trois côtés du triangle. Il donne un exemple de triangle avec des côtés de 5, 12 et 13 unités, et montre comment utiliser l'égalité de Pythagore pour prouver que ce triangle est rectangle. L'auteur insiste sur l'importance de vérifier l'égalité de Pythagore pour chaque triangle en question, et il invite les spectateurs à consulter d'autres vidéos pour en savoir plus sur le sujet.
Mindmap
Keywords
💡Théorème de Pythagore
💡École pythagoricienne
💡Carré
💡Hypothénuse
💡Triangle rectangle
💡Applications
💡Racine carrée
💡Trigonométrie
💡Reciproque du théorème de Pythagore
💡Exemple
💡Mathématiques
Highlights
Le théorème de Pythagore est présenté comme un outil clé pour les études mathématiques.
L'égalité de Pythagore est abordée comme la base de cette leçon.
L'existence de Pythagore est discutée, soulignant que ce pourrait être une école plutôt qu'un individu.
Le théorème de Pythagore était connu avant Pythagore par les Chinois et les Babyloniens.
Le théorème de Pythagore est formulé pour la première fois par l'école pythagoricienne.
Le théorème est expliqué à travers un triangle rectangle avec des côtés de 3, 4 et 5.
Le processus de calcul selon le théorème de Pythagore est illustré par l'exemple d'un triangle rectangle.
L'application pratique du théorème de Pythagore est présentée à travers l'histoire des Égyptiens et leur utilisation de la corde à 13 noeuds.
Le théorème de Pythagore est utilisé pour calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle.
La formule algébrique du théorème de Pythagore est présentée.
Un exemple concret est utilisé pour montrer comment appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur manquante d'un triangle rectangle.
La notion de racine carrée est introduite pour calculer la longueur d'un côté.
L'utilisation d'une calculatrice pour estimer la racine carrée est expliquée.
Le théorème de Pythagore est utilisé pour vérifier si un triangle est rectangle ou non.
La réciproque du théorème de Pythagore est introduite comme un moyen de démontrer que un triangle est rectangle.
Un exemple est donné pour montrer comment utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour prouver que un triangle est rectangle.
L'importance de connaître toutes les trois longueurs des côtés d'un triangle pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore est soulignée.
Le cours conclut en recommandant de visionner d'autres vidéos pour en apprendre davantage sur le théorème de Pythagore.
Transcripts
[Musique]
bonjour dans cette vidéo je te propose
de revoir tout le cours sur le théorème
de pythagore l'objet de cette séquence
est de te rappeler et de t'expliquer les
éléments les plus importants de ce
chapitre plus précisément on parlera
bien évidemment de l'égalité de
pythagore mais également de ses
applications pour préparer un contrôle
ou même un examen ceci ne suffira pas il
faudra encore t'entraîner en faisant de
nombreux exercices pour le court c'est
parti
alors on ne peut pas parler du théorème
de pythagore sans parler de pythagore
monsieur pythagore pythagore de samus en
réalité ce n'est peut-être pas monsieur
pythagore mais messieurs on n'est pas
sûr de l'existence de pythagore lui même
en tant qu'humain mais il se pourrait
que ce soit plutôt une école qu'on
appelait écoles pythagoricienne qui
regroupait plein de savants de
chercheurs philosophes à crotone donc
c'est actuellement en italie du sud à
l'époque c'était dans la grèce antique
et donc c'est cette école qui aurait
formaliser le théorème de pythagore
parce qu'en fait le théorème de
pythagore était déjà connu bien avant
lui ça on en est certainement là des
traces en particulier chez les chinois
ou les babyloniens donc environ bilan
avant avant pythagore mais pythagore
aurait posé les choses de façon plus
formelle un peu comme aujourd'hui mais
bien sûr avec l'écriture de l'époque
alors qu'est ce que nous dit le théorème
de pythagore légalité de pythagore et
bien c'est une relation sur les
longueurs des côtés d'un triangle
rectangle l'on voit ici on a dessiné un
triangle rectangle et on a indiqué ses
dimensions les deux côtés de l'angle
droit font 3 et 4 alors 3 et 4 peu
importe unités sont email si tu veux et
le grand côté l'hypoténuse mesure 5 eh
bien on va très rapidement découvrir ce
que nous dit le théorème de pythagore
inaudi que dans un triangle rectangle tu
vas prendre le grand côté tout seul et
tu va élever sa longueur au carré ce qui
veut dire que je vais donc faire ici 5
au carré et cinq au carré c'est 5 fois 5
ça me donne 25 et je vais prendre les
deux autre côté les côtés qui forment
l'angle droit et je vais faire pareil je
vais prendre trois je vais l'élever au
carré 3 au carré et bien 3 x 3 9 et je
vais faire la même chose pour 4,4 au
carré 4 x 4 16 mais ce n'est pas tout je
vais ensuite prendre ces deux carrés et
je vais en faire la somme
je vais donc prendre mon 3 au cari qui
fait neuf et m'ont fait 16 et j'en fais
la somme 9 + 16 25
eh bien il est là notre théorème de
pythagore je retrouve 25 le théorème de
pythagore nous dit en réalité que si tu
prends le carré de l'hypothénuse et que
tu prends la somme des carrés des deux
autres côtés eh bien tu trouves le même
nombre à condition que le triangle soit
rectangle c'est ce qu'on a constaté ici
et les égyptiens connaissaient également
le théorème de pythagore en particulier
dans sa version 3 4 5 qui est une
version particulière la gelée montrer
ici pour un triangle dont les côtés
mesure 3 4 et 5 mai on peut trouver la
même égalité avec d'autres côté des
longueurs différentes mais le côté le
triangle 3-4-5 plaisait aux égyptiens
parce que 3 4 5 ce sont en plus trois
entier qui se suivent et ils ont
fabriqué une corde qu'on appelait corde
à 13 noeuds où on avait donc nous et 13
noeuds régulièrement fin avec un écart
entre les lieux qui était toujours le
même et une fois qu'on aura mené les
deux extrémités de notre corde eh bien
on pouvait fabriquer un triangle un
triangle 3 4 5 comme on le voit ici et
c'était très pratique parce que si on
avait une très grande corde on pouvait
ainsi construire des angles droits très
très grand utile donc pour fabriquer
pour construire des sur des bâtiments on
se doute bien qu'on n'allait pas
transporter une équerre géante pour pour
construire des angles droits alors que
là bas la corde on line on l'a roulé
dans dans la charrette et puis ça
prenait pas de place et donc c'était
extrêmement pratique il faut savoir même
donc que cette corde sera encore utilisé
par les maçons du xxème siècle également
pour s'assurer de la perpendiculaire it
et des murs mais revenons à notre
théorème de pythagore donc finalement le
théorème de pythagore il nous dit que si
jamais on a un triangle rectangle et
bien le carré de l'hypothénuse
ici le carré de l'hypoténuse est égale à
la somme somme des carrés des deux autre
côté on peut l'écrire aussi sous forme
algébrique si on a un triangle rectangle
dont les côtés mesure à b et c est bien
dans ce cas là on peut écrire que à au
carré est égal à bo carré plus c'est au
carré à au carré le carré de
l'hypoténuse est égale à la somme des
carrés des de l'autre côté c'est à dire
bo carré plus c'est au carré cette
égalité elle est très simple à
comprendre et très facile à retenir et
en plus on va le voir tout de suite elle
à des applications on va pouvoir à
l'aide de cette égalité calculer des
longueurs dans un triangle rectangle car
du coup si je connais la longueur de
deux côtés de mon triangle rectangle et
bien grâce au théorème de pythagore je
vais pouvoir en déduire la longueur du
troisième côté on va le voir sur un
exemple très rapidement sans trop
détailler la rédaction ceci fait l'objet
d'autres vidéos que je t'invite à
visionner si tu ne l'a pas encore fait
ici on va juste simplement comprendre le
principe pour calculer des longueurs
dans un triangle rectangle à l'aide de
pythagore alors voici donc une figure où
on nous donne à longueur de deux côtés
donc abaissé 6,6 cm cette fois ci est
assez fait 9 cm on va alors interpréter
le théorème de pythagore dans cette
situation le théorème de pythagore nous
dit eh bien si le triangle abc et
rectangle et rectangle en 1 est bien
dans ce cas là on aura baissé au carré
le carré de l'hypoténuse égal à bo carré
plus assez au carré la somme des carrés
des deux autre côté ce qui veut dire que
ici décès au carré
sera égal à ab au carré soit six au
carré plus assez au carré soit neuf au
quart alors 6 au carré et 9 au carré ça
se calcule cela signifie donc baisser au
carré est égale à 36 carré de 6
+81 le carré de 9 on peut également en
faire la somme ceci fait 117 ce qui
signifie que baisser au carré égale 117
alors je rappelle que la longueur bc ne
met pas donné on le voit bien ici il ya
un point d'interrogation
mais comme annoncé grâce à l'égalité de
pythagore on va pouvoir calculer la
longueur baissé et oui on nous dit que
baisser au carré est égal à 117 c'est à
dire que baisser fois baissé est égal à
117 en fait je cherche je voudrais
trouver un nombre dont le carré et 117
alors ça peut paraître compliqué ça je
voudrais trouver donc quelque chose qui
multipliait par lui-même me donne 117 la
réponse se trouve dans la racine carrée
la racine carrée c'est le chemin inverse
du car et je t invite à regarder cette
vidéo si tu veux en savoir un peu plus
sur la racine carrée comment elle est
définie et comment elle fonctionne et
bien en tous les cas nous ce qu'on va
faire c'est qu'on va utiliser la
calculatrice parce que la calculatrice
c'est donner une valeur approché de la
racine carrée oui très souvent la racine
carrée nous renvoie pas de valeur exacte
eh bien on va l'utiliser et on va
demander à la calculatrice de nous dire
combien vaut bcdc on le répète c'est la
racine carrée de son 17 alors j'ai
oublié de préciser racine carrée sasso
note comme ça
un espèce de v qui recouvre tout le
nombre enfin c'est pas exactement un v
historiquement c'était un air évident
comme racine a donc on voit que la
calculatrice nous donne une valeur
approché on va garder une valeur aux 10e
et on va prendre 18 8 ce qui veut dire
que b c est environ égal à 10,8 alors ce
qui signifie que si ici je remplaçais
10,8 au carré ça devrait me donner
quelque chose d'assez proche de 117 on
peut le tester et on voit effectivement
qu'en saisissant 10,8 au carré on n'est
pas très éloigné de 117 bien sûr on
tombe pas tout pile sur 117 pour cela il
aurait fallu pouvoir écrire toutes les
décimales de la racine carré de 117 mais
là c'est un nombre infini de décimales
donc en fait racine carré de 117 n'a pas
d'écriture des si mal mais ça je le
répète je l'expliqué aussi en détail
dans l'autre vidéo qui traite de l'art
ainsi qu'un voilà donc on voit bon là
encore je le répète également sans
détailler la rédaction mais on voit que
le théorème de pythagore nous a permis
d'obtenir une valeur approché de la
longueur du côté qui nous manquait dans
notre triangle rectangle une autre
application de l'égalité de pythagore et
bien l'égalité de pythagore va nous
permettre de vérifier si un triangle et
rectangle ou ne l'est pas pour cela on
va utiliser un autre théorème qui
découle également de l'égalité de
pythagore et qui s'appelle la réciproque
du théorème de pythagore c'est un peu
long à écrire mais c'est assez important
qu'est ce que c'est qu'une réciproque
alors déjà j'ai fait une vidéo là dessus
que je t'invite à regarder si tu veux en
savoir un peu plus mais je vais
l'expliquer très brièvement et très
simplement dans un théorème il ya
toujours où la plupart du temps une
condition et une conclusion si quelque
chose alors en conclusion on a autre
chose et bien la réciproque d'un
théorème c'est tout simplement quand on
prend la condition et la conclusion est
qu'on les échanges tout à l'heure dans
le théorème on avait dit si un triangle
rectangle
alors j'ai l'égalité pythagore avec le
carré et c est bien là dans la
réciproque on le voit ici c'est le
contraire si dans un triangle g
l'égalité halde conclusion le triangle
rectangle ce qui veut dire que ici et
contrairement à tout à l'heure on ne
sait pas que le triangle rectangle et
d'ailleurs c'est ce qu'on veut démontrer
regardons ce triangle triangle 5 12 13
je connais la longueur de ces trois
côtés mais je n'ai pas codé qui les
rectangles car je ne le sais pas je
voudrais justement prouvé que ce
triangle et rectangles et c'est là que
je vais utiliser la réciproque du
théorème de pythagore mais attention
pour utiliser la réciproque du théorème
de pythagore il faut connaître les trois
côtés les longueurs des trois côtés si
on n'en connaît que deux alors là il
faudra peut-être faire autre chose avec
des angles éventuellement de la
trigonométrie mais en tout cas on ne
pourra pas immédiatement appliquées la
réciproque du théorème de pythagore
alors donc ici je voudrais en tout cas
prouvé que ce triangle et rectangles et
pour cela eh bien on va vérifier si
l'égalité de pythagore fonctionne c'est
à dire si le grand côté au carré est
égale à la somme des carrés des deux
autres côtés alors oui jeudi le grand
côté je ne dis plus l'hypothénuse tout
simplement parce que je ne sais pas pour
l'instant que ce triangle et rectangle
donc je ne peux pas parler d'hypothèses
us pour un triangle qui n'est pas
rectangle mais une chose est sûre c'est
que si jamais il est rectangle le
triangle est bien forcément le plus
grand côté sera l'hypothénuse donc dans
mon calcul dans le calcul de l'égalité
de pythagore la longueur que je vais
mettre tout seul ça sera le plus grand
côté et donc la somme des carrés des
deux autres bah ça sera les deux autre
côté ce qui veut dire que si l'hypothèse
us cette hypothèse mesure forcément 13
donc je vais commencer par calcul et
d'essai en carré tout seul
c'est à dire très haut carré tout seul
et ensuite je vais calculer la somme des
carrés des 2 août donc à bo carré plus
assez haut car c'est donc c'est à dire
donc doses au carré
+5 aucun
et bien
si baissé au carré est égal à bo carré
plus assez au carré on pourra dire que
notre triangle et rectangles calculs ont
trait au carré bien ça ça fait 169
12 au carré bien ça ça fait cent
quarante quatre et cinq au carré 25
je fais 144 +25 et je trouve
169 on a donc bien 169 de part et
d'autre ce qui signifie que baisser au
carré est égal à ab au carré plus assez
au carré et on peut donc la appliquer
notre réciproque du théorème de
pythagore pour conclure que le triangle
abc et rectangle on peut même précisé en
voilà qui est noté mais je le répète
encore ici la rédaction n'a pas valeur
d'exemple n'hésite pas à rejoindre la
playlist avec toutes les vidéos sur
pythagore pour voir plus en détail
comment il faut il faut rédiger dernière
chose pour finir si jamais on n'avait
pas trouvé la même chose et bien cela
signifierait dans ce cas là qu'on ne
peut pas appliquer la réciproque du
théorème de pythagore et du coup et bien
cela signifierait que notre triangle
n'est pas rectangle voilà en tout cas
pour ce court c'est terminé à bientôt
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