Modelos Exponenciales, crecimiento poblacional, Ejercicio

Summary

En este ejercicio, se aborda el crecimiento poblacional de bacterias en un laboratorio utilizando un modelo exponencial. Se describe cómo la población inicial de 150 bacterias crece a 830 en dos horas, y con base en este modelo, se calcula cuánto tiempo tomaría alcanzar una población de 3,000 bacterias. A través de la fórmula de crecimiento exponencial, se determina la constante de crecimiento y se realiza una serie de cálculos para encontrar que se necesitarían aproximadamente 3.48 horas para llegar a las 3,000 bacterias. Este ejemplo muestra cómo aplicar modelos matemáticos para predecir el comportamiento de poblaciones en función del tiempo.

Takeaways

• 😀 El ejercicio se centra en el crecimiento poblacional de bacterias en un cultivo de laboratorio.
• 😀 La población inicial de bacterias es de 150 y crece a 830 en un plazo de 2 horas.
• 😀 Se utiliza el modelo de crecimiento exponencial para representar el aumento de la población bacteriana.
• 😀 El modelo matemático de crecimiento poblacional es P(t) = P_0 * e^(kt), donde P_0 es la población inicial, k es la constante de crecimiento y t es el tiempo en horas.
• 😀 El objetivo es calcular el tiempo necesario para que la población alcance las 3,000 bacterias.
• 😀 En el modelo, se identifican los valores conocidos: P_0 = 150, P(2) = 830 y t = 2 horas.
• 😀 Se debe resolver para la constante de crecimiento k usando los datos proporcionados en el ejercicio.
• 😀 Para encontrar la constante k, se reordena la fórmula exponencial y se utiliza logaritmos naturales.
• 😀 El valor obtenido para k es aproximadamente 0.86.
• 😀 Con la constante de crecimiento encontrada, se puede calcular el tiempo necesario para que la población llegue a 3,000 bacterias.
• 😀 El tiempo necesario para que la población alcance las 3,000 bacterias es de aproximadamente 3.48 horas.

Q & A

¿Cuál es el modelo matemático que se usa para describir el crecimiento de la población en este ejercicio?

El modelo matemático utilizado es el modelo de crecimiento exponencial, representado por la fórmula P(t) = P_0 * e^(kt), donde P(t) es la población en el tiempo t, P_0 es la población inicial, k es la constante de crecimiento, y t es el tiempo transcurrido.

¿Qué datos iniciales se proporcionan en el ejercicio?

Los datos iniciales son los siguientes: la población inicial de bacterias es de 150, y después de 2 horas, la población alcanza las 830 bacterias.

¿Qué se necesita calcular en el ejercicio?

Se necesita calcular el tiempo necesario para que la población de bacterias llegue a 3000.

¿Cómo se determina la constante de crecimiento k?

La constante de crecimiento k se determina sustituyendo los valores conocidos en la fórmula del modelo exponencial. Se sustituye la población inicial y final (150 y 830) junto con el tiempo transcurrido (2 horas) y luego se resuelve para k.

¿Qué fórmula se utiliza para calcular k en el ejercicio?

La fórmula utilizada para calcular k es: 830 = 150 * e^(2k). Se resuelve dividiendo ambos lados por 150, luego se toma el logaritmo natural de ambos lados para despejar k.

¿Cuál es el valor de la constante de crecimiento k?

El valor de la constante de crecimiento k es aproximadamente 0.86.

¿Cómo se utiliza el valor de k para encontrar el tiempo en que la población alcanza las 3000 bacterias?

Una vez conocido el valor de k, se sustituye en la fórmula del crecimiento exponencial, con la población final de 3000. Se resuelve la ecuación 3000 = 150 * e^(0.86t) para encontrar el tiempo t.

¿Qué pasos se siguen para resolver la ecuación para t?

Para resolver la ecuación, primero se divide ambos lados por 150, obteniendo 20 = e^(0.86t). Luego, se toma el logaritmo natural de ambos lados y se resuelve para t.

¿Cuánto tiempo tomará para que la población llegue a 3000 bacterias?

El tiempo necesario para que la población llegue a 3000 bacterias es de aproximadamente 3.48 horas.

¿Qué representa el valor P_0 en el modelo de crecimiento exponencial?

El valor P_0 en el modelo de crecimiento exponencial representa la población inicial, que en este caso es de 150 bacterias.