Área bajo la curva | Ejemplo 1

Summary

En este video educativo, la presentadora guía a los espectadores a través del proceso de encontrar el área bajo una curva, específicamente entre un eje y una recta dada en el intervalo de 1 a 4. Se enfatiza la importancia de comprender los conceptos detrás de las integrales en lugar de simplemente seguir el procedimiento. La explicación comienza con la creación de una gráfica para visualizar el problema, luego se calcula el área de manera gráfica y numérica, utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. El resultado se compara con la aproximación gráfica para validar la solución. El video concluye con un ejercicio práctico y un enlace al curso completo para profundizar en integrales.

Takeaways

• 📚 Este video es la primera sección sobre cómo encontrar el área bajo una curva o el área entre curvas.
• 📈 Para entender mejor, se recomienda ver el curso completo de integrales para profundizar y practicar más en este tema.
• 📉 El primer ejercicio trata de encontrar el área bajo una recta, que es un caso más sencillo para entender conceptos básicos.
• 📝 Se aclaran conceptos como 'área bajo la curva' que realmente se refiere a 'área entre la curva y el eje x'.
• 📊 Se destaca la importancia de graficar la función para tener una idea de la respuesta y comprender mejor el tema.
• 📐 Se describe el proceso de graficación mediante una tabla de valores y ubicación de puntos en el plano cartesiano.
• 📈 Se ilustra cómo contar 'cuadraditos' en el gráfico para obtener una aproximación visual del área.
• 🧩 Se menciona el Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar el área a través de la integral definida.
• 🔢 Se explica cómo realizar la integral numéricamente, evaluando la integral en los límites superior e inferior.
• ✅ Se enfatiza que el área siempre debe ser positiva, independientemente de si está por encima o por debajo del eje x.
• 📝 Se invita a los estudiantes a practicar con ejercicios similares y a ver el curso completo para mejorar en el cálculo de áreas y integrales.

Q & A

¿Qué es lo que se busca encontrar cuando se habla de 'área bajo la curva' en el contexto de este video?

El 'área bajo la curva' se refiere a la área entre la curva y el eje x, no debajo de la curva en un sentido estricto, ya que esto sería un área infinita. Se trata de calcular el espacio comprendido entre la gráfica de una función y el eje horizontal dentro de un intervalo específico.

¿Por qué el video comienza explicando que el área bajo la curva no es realmente debajo de la curva?

Es para aclarar un posible malentendido común. Aunque se suele decir 'área bajo la curva', lo que se busca en realidad es el área entre la curva y el eje x, ya que el área que estuviera realmente debajo de toda la curva sería infinita y no se podría calcular.

¿Cuál es el primer paso que se recomienda para encontrar el área bajo una curva?

El primer paso recomendado es hacer un gráfico de la función, ya que al observar el gráfico se puede tener una idea aproximada de cuál será la respuesta y se puede comprender mejor el tema.

¿Cómo se realiza la gráfica de una función para encontrar el área bajo la curva?

Para graficar una función, se realiza una tabla de valores, se ubican los puntos correspondientes en el plano cartesiano y se conectan para formar la gráfica. Se deben elegir los valores dentro del intervalo de interés para el cálculo de la área.

¿Qué función se utiliza para el ejemplo del video y qué intervalo se elige para calcular el área?

Se utiliza la función y = x + 1 y el intervalo elegido para calcular el área es desde x = 1 hasta x = 4.

¿Cómo se determina el número de 'cuadraditos' que hay en el área bajo la curva en el gráfico?

Se hace visualmente contando los espacios perfectos y parciales entre la curva y el eje x dentro del intervalo de interés, lo cual da una aproximación del área.

¿Cuál es el resultado aproximado del área bajo la curva para el ejemplo dado en el video?

El resultado aproximado del área bajo la curva para el ejemplo dado es de 10.5 unidades cuadradas, contando los 'cuadraditos' en el gráfico.

¿Qué es el Teorema Fundamental del Cálculo y cómo se relaciona con el cálculo del área bajo la curva?

El Teorema Fundamental del Cálculo establece que el área entre la curva y el eje x puede encontrarse realizando la integral definida de la función en el intervalo de interés, evaluando la integral en el límite superior y restándole la integral evaluada en el límite inferior.

¿Cómo se realiza la integral definida para encontrar el área bajo la curva y= x + 1 en el intervalo [1, 4]

Se calcula la integral de x + 1, lo cual es x^2/2 + x, y se evalúa en el límite superior (4) y en el límite inferior (1), restando el resultado del límite inferior al del límite superior.

¿Cuál es el resultado numérico del área bajo la curva para el ejemplo dado utilizando la integral definida?

El resultado numérico del área bajo la curva utilizando la integral definida es de 12.5 unidades cuadradas, evaluando la integral en los límites 1 y 4.

¿Cómo se compara el resultado numérico con el resultado aproximado por 'cuadraditos' en el gráfico?

Se compara observando que ambos resultados, el aproximado de 10.5 unidades cuadradas por 'cuadraditos' y el numérico de 12.5 unidades cuadradas por la integral, son similares, lo que brinda confianza en la precisión de los cálculos.

Outlines

00:00

📚 Introducción a la sección de áreas bajo curvas

El primer párrafo presenta el tema del vídeo, que es encontrar el área bajo una curva. Se menciona que es el primer vídeo de una sección dedicada a este tema y se anima a los espectadores a ver un curso completo de integrales para profundizar en la materia. El vídeo tiene como objetivo resolver el ejercicio más sencillo de calcular el área bajo una curva, sugiriendo que se profundizará en ejercicios más complejos en futuras entregas. Se enfatiza la importancia de comprender los conceptos detrás del proceso de cálculo, y se sugiere que se grafique la función para tener una idea visual del área a calcular.

05:03

📈 Procedimiento para graficar una función

En este párrafo se describe el proceso de graficación de una función, utilizando el ejemplo de una recta. Se detalla cómo se realiza una tabla de valores y cómo se ubican los puntos en el plano cartesiano. Se sugiere trabajar solo en el intervalo de interés, en este caso entre 1 y 4 en el eje x. Se recomienda hacer dos líneas verticales en los límites del intervalo para enfocar la atención en la gráfica de esa sección específica. Se grafica la función y se observa gráficamente el área a calcular, que en este caso es una recta y, por lo tanto, el cálculo es más directo.

10:05

📝 Cálculo del área bajo la curva gráficamente

El tercer párrafo se centra en el cálculo gráfico del área bajo la curva, que en este caso es una recta. Se describe cómo se cuentan los 'cuadraditos' o unidades cuadradas que se encuentran bajo la curva y dentro del intervalo de interés (1 a 4 en el eje x). Se destaca que el área gráficamente estimada es de 10.5 unidades cuadradas, lo cual da una aproximación de lo que se esperaría al calcular numéricamente.

15:07

🧑‍🏫 Explicación del Teorema Fundamental del Cálculo

Aquí se presenta el Teorema Fundamental del Cálculo como la herramienta para calcular el área bajo la curva de forma numérica. Se aclara que el área se encuentra al integrar la función en el intervalo de interés y se resalta la importancia de evaluar la integral en los límites superior e inferior correctos. Se menciona que el área siempre es positiva, independientemente de si la curva está por encima o por debajo del eje x. Se inicia el proceso de integración de la función dada (x + 1) entre los límites 1 y 4.

20:07

🔢 Cálculo numérico del área bajo la curva

En el quinto párrafo se completa el cálculo numérico del área, siguiendo el proceso descrito por el Teorema Fundamental del Cálculo. Se resuelve la integral de la función (x + 1) y se evalúa en los límites 1 y 4. Se presentan los pasos para simplificar y resolver la expresión algebraica resultante, llegando a una respuesta de 21 medios, que luego se convierte en 10.5 unidades cuadradas al dividir por 2. Se compara esta respuesta con la estimación gráfica previa, confirmando la coherencia entre ambos métodos.

📚 Ejercicio práctico y recomendaciones finales

El último párrafo ofrece un ejercicio práctico para que los espectadores calculen el área bajo una curva con la función 2x - 3 en el intervalo de 2 a 5. Se sugiere seguir los mismos pasos descritos en el vídeo, incluyendo la graficación y el cálculo numérico. Se anima a los espectadores a dejar comentarios, compartir el vídeo y suscribirse al canal, y se cierra el vídeo con un agradecimiento por ver hasta el final.

Keywords

💡Área bajo la curva

El 'área bajo la curva' es un concepto fundamental en el análisis de funciones y se refiere a la medida de espacio comprendido entre la gráfica de una función y el eje x, dentro de un intervalo específico. En el video, este término es central ya que el objetivo es enseñar cómo calcular este área, que es una aplicación práctica de las integrales.

💡Integral definida

La 'integral definida' es una herramienta matemática utilizada para calcular el área mencionada. En el script, se menciona que el Teorema Fundamental del Cálculo permite encontrar el área entre la curva y el eje x evaluando la integral definida entre los límites del intervalo de interés, que en el caso del video son los números 1 y 4.

💡Eje x

El 'eje x' representa el eje horizontal en un sistema de coordenadas cartesiano. En el video, el eje x es importante porque el área que se busca calcular es la que está entre la curva de la función y este eje, dentro del intervalo dado.

💡Función

Una 'función' matemática es una relación que asigna a cada valor del dominio un único valor en el rango. En el video, las funciones son esenciales ya que definen las curvas cuyas áreas bajo las se están calculando, como en el caso de la función y = x + 1.

💡Teorema Fundamental del Cálculo

El 'Teorema Fundamental del Cálculo' es un principio que conecta la integración y la derivación, y se utiliza para calcular áreas. En el video, se destaca cómo este teorema es la base para encontrar el área bajo la curva, a través de la integral evaluada en los límites superior e inferior.

💡Gráfica

Una 'gráfica' es la representación visual de una función en un plano cartesiano. En el script, se enfatiza la importancia de graficar la función para tener una idea gráfica del área que se busca calcular y para verificar la respuesta obtenida mediante cálculos numéricos.

💡Tabla de valores

Una 'tabla de valores' es una herramienta utilizada para determinar los puntos que pasan por una gráfica al reemplazar valores en la función. En el video, se menciona que se realiza una tabla de valores para graficar la función y = x + 1 y ubicar los puntos correspondientes en el plano cartesiano.

💡Intervalo

El 'intervalo' se refiere al rango de valores que se están considerando para un análisis específico. En el video, el intervalo de 1 a 4 es crucial, ya que define los límites entre los cuales se calcula el área bajo la curva.

💡Recta

Una 'recta' es una función lineal que tiene la forma y = mx + b. Aunque en el video se menciona que el ejercicio más fácil es con una recta, como y = x + 1, también se alude a que los conceptos aprendidos se pueden aplicar a curvas más complejas.

💡Método de la carita feliz

El 'método de la carita feliz' es una técnica para sumar o restar fracciones que involucra el uso de un diagrama en forma de carita para facilitar el cálculo. Aunque no se explica en detalle en el script, se menciona como una forma de resolver sumas y restas de fracciones, como parte del proceso de calcular áreas bajo curvas.

Highlights

Introducción al tema de encontrar el área bajo la curva y entre curvas.

Invitación a ver el curso completo de integrales para una comprensión más profunda.

Enfoque en resolver el ejercicio más fácil de encontrar el área bajo una recta.

Explicación detallada de los conceptos para facilitar la comprensión a los principiantes.

Importancia de graficar la función para comprender el problema y verificar la respuesta.

Proceso de creación de una tabla de valores para ubicar los puntos en el plano cartesiano.

Técnica de graficado de funciones mediante líneas verticales en los límites del intervalo.

Método para encontrar el área entre la curva y el eje x a través de la integral definida.

Aclaración sobre la diferencia entre el área 'bajo la curva' y el área 'entre la curva y el eje x'.

Uso de la integral definida para calcular áreas, incluso cuando la curva está por debajo del eje x.

Ejemplo práctico de cómo graficar y calcular el área bajo una recta utilizando un gráfico.

Demostración de la aproximación gráfica del área utilizando cuadraditos para facilitar la comprensión.

Aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar el área numéricamente.

Paso a paso de la integración de la función y evaluación entre los límites superior e inferior.

Comparación de la respuesta obtenida gráficamente con la respuesta numérica para verificar la integral.

Ejercicio práctico propuesto al final del video para aplicar los conceptos aprendidos.

Recomendación de hacer gráficos en ejercicios de áreas para una mejor comprensión y verificación.

Explicación sobre cómo resolver áreas con curvas más complejas, como parábolas y ecuaciones de tercer grado.

Sugerencia de métodos para sumar y restar fracciones de manera eficiente en los cálculos.

Conclusión del video con una invitación a seguir aprendiendo y practicando integrales.

Transcripts

qué tal amigas y amigos espero que estén

muy bien en este vídeo vamos a hacer

esto encontrar el área bajo la curva va

a ser el primer vídeo de esta sección de

encontrar el área bajo la curva o el

área entre curvas recuerden que si

ustedes quieren profundizar más acerca

de este tema o quieren practicar más

acerca de las integrales para que

lleguen a este tipo de vídeos ya con

mucha práctica los invito a que vean el

curso completo de integrales

[Música]

cómo

y en este vídeo por ser el primero de

esta sección como les decía vamos a

resolver el ejercicio más fácil que es

encontrar el área bajo la curva bueno

este vídeo va a ser un poquito demorado

porque quiero aclararles cada concepto

muy bien para que si ustedes están

empezando a ver este tema pues ya

empiecen con pie derecho o sea que

empiecen muy bien ya conociendo todo sin

que les quede dudas bueno obviamente

como les decía en los siguientes vídeos

vamos a profundizar y hacer ejercicios

más difíciles primero que todo muchas

veces ustedes van a encontrar que dice

el área bajo la curva pero no es el área

bajo la curva sino esto es como cómo

decirlo de forma más sencillo qué es lo

que vamos a encontrar es el área entre

la curva y el eje x ahorita lo vamos a

ver con gráfico y todo para que ustedes

les quede bien claro bueno pero se puede

decir el área bajo la curva solamente

por costumbre pero la forma más correcta

debería ser el área entre la curva y el

eje x si eso es lo correcto de lo que

vamos a hacer bueno entonces vamos a

hacer el hallar el área bajo la curva

esta curva que en este caso bueno no es

tanto una curva es una recta por ser

el vídeo pues es el ejercicio más fácil

listos esto se puede hacer con rectas o

curvas

igual de la misma forma bueno y en este

caso es tan fácil porque nos dicen en

este caso el intervalo o sea vamos a ver

en qué parte de la gráfica es que vamos

a encontrar el área obviamente lo vamos

a ver con gráfica primera recomendación

esto se puede hacer numéricamente de una

vez y como se hace encontrando la

integral de la función pero como la idea

es que ustedes no solamente sepan cómo

se hace el proceso sino que comprendan

qué es lo que estamos haciendo y por qué

es que se hace pues yo les recomiendo

primero que todo que hagamos el gráfico

porque hacer el gráfico por dos cositas

primero porque observando el gráfico ya

nos damos una idea más o menos de cuál

va a ser la respuesta

y con eso sabremos si la respuesta quedó

bien o mal sí y segundo pues porque con

el gráfico podemos estar más seguros y

podemos aprender más acerca del tema si

lo podemos comprender un poquito más

entonces lo primero que yo voy a hacer

es graficar y pues para eso la forma que

se utiliza más para graficar cualquier

función no solo

está una función lineal sino cualquier

tipo de curvas pues es realizando una

tabla de valores y ubicando los puntos

en el plano cartesiano si ustedes ya

saben hacer eso pueden los invito a que

si quieren se salten esta parte cita ahí

están los capítulos en el vídeo para que

pues no no se demoren en cosas que de

pronto ya saben bueno si quieren

practicar puedes ir entonces vamos a

empezar cómo se grafica acordémonos que

para graficar cualquier función

algo muy importante aquí es que como les

decía aquí nos dice el intervalo en el

que vamos a hallar el gráfico esto para

qué nos sirve a mí me gusta hacer dos

líneas verticales así como aquí me dicen

que vamos a hallar entre 1 y 4 que lo

que nos están queriendo decir que vamos

a trabajar entre el número 1 del eje x y

el número 4 del eje x xi entonces a mí

me gusta hacer dos líneas una en el

número 1 y otra en el número 4

obviamente pues en este caso porque nos

dice que desde 1 hasta 4 no pues si nos

dice otro número pues simplemente

trabaja

en otro número listos porque me gusta

hacer estas dos líneas en esos dos

límites porque ya sé que en la única

parte que a mí me interesa ver el

gráfico va a ser en esa partecita lo que

está en la parte de la izquierda no me

interesa lo que está en la parte de la

derecha no me interesa más adelante ya

vamos a ver ejercicios en los que no nos

dicen el intervalo y vamos a ver pues

qué es lo que toca hacerlo pero bueno ya

sabemos que nos interesa la gráfica

solamente en esta parte que es lo que

tenemos que hacer entonces pues una

tabla de valores acordémonos que en la

tabla de valores lo que uno hace es

escribir los valores de la equis y de la

jr bueno aquí no lo escribí pero

recordemos que este es el eje x y este

es el eje y si cuando encontramos los

valores de la equis y la ye lo que

estamos encontrando son puntos por los

que pasa la gráfica de esta función

cuáles número recordemos que siempre

primero que todos se ponen los valores

de la x cuáles valores de la x los

valores que nos interesan o sea los

valores que están aquí en este intervalo

cuáles son los valores que están en el

intervalo miren que empiezan con el

número uno

cuál es muy números más están dentro de

esa sección el número dos el número tres

y el número cuatro con ese número cuatro

terminamos nuestros números que nos

interesan como les decía no hay

necesidad de poner el cero ni el menos

uno porque no nos interesa esa parte de

la gráfica ni estados entonces empezamos

qué es lo que se hace lo que tenemos que

hacer es pues como ya le dimos valores a

la equis reemplazar en nuestra función

aquí está la función y igual a x + 1 que

es lo que tenemos que hacer miren que

aquí le dimos valores a la x el primer

valor es el número uno o sea que vamos a

tener que reemplazar la equis pues con

ese valor que nosotros dimos entonces

qué hacemos aquí en nuestra función

reemplazamos la equis con uno

rápidamente pues esto ya espero que

ustedes tengan práctica aquí dice ye

igual a equis pero la equis dijimos que

vale 1 y luego dice más 1 o sea que aquí

nos queda que el ay es igual a uno más

uno que eso es 2 que quiere decir esto

que cuando la equis vale 1 la ye toma el

valor 2 y aquí ya tenemos un punto por

el que pasa nuestra gráfica el punto

1,2 o sea que ya podemos ir ubicando

puntos de esa gráfica el punto 1 en el

eje x y 2 en el eje y o sea que más o

menos por acá pasa nuestra gráfica vamos

a hacer lo mismo con los demás números

obviamente ya un poco más rápido

entonces con cuál números seguimos con

el número 2 y reemplazamos la equis con

ese valor en nuestra función entonces

aquí dice que igual es allí pues ya la

dejo por pérez es igual a x + 1 o sea la

x vale 2 2 más 1 que eso es 3 que quiere

decir esto que cuando la x vale 2

laietana el valor 3 o sea que ya

conocemos otro punto el punto 232 en el

eje x y 3 en el eje y bueno ya no voy a

seguir haciendo los otros puntos ya aquí

en la xi reemplazamos con el número 3

nos daría 4 y si reemplazamos con el

número 4 nos daría 5 los invito a que

ustedes practiquen esto ya serían otros

dos puntos entonces el otro punto sería

el punto 343 en el eje x 4 en el eje i y

el otro 4.54 en el eje x y 5 en el eje

ya miren que por aquí ya tenemos

los puntos por los que pasa nuestra

función la función ya iguala x1 yo por

aquí ya la tengo gráfica da un poquito

mejor mírenla ahí ya está aquí tenemos

que los dos límites no es obligatorio

hacer esto vuelvo a decirles pero esto

nos va a dar una idea muy importante de

cuál va a ser la respuesta aquí están

los dos puntos no los dos intervalos

entre 1 y 4 qué bueno voy a resaltar

aquí esto que vamos a lo que vamos a

hallar es el área entre el 1 voy a hacer

varios rayones y el 4 sí bueno está muy

feo pero él además dice aquí encontrar

el área bajo la curva o sea por debajo

de esta curva que ya la trazamos aqui

mírenla pero solamente nos interesa esta

parte cita por qué porque es la que está

dentro del intervalo 14 como les decía

no es que vamos a hallar el área bajo la

curva porque sino sería un área infinita

porque pues lo que está por debajo de la

curva es un área infinita que nunca va a

acabar siempre de lo que se trata es de

encontrar el área entre la curva y el

eje

x no entonces esa área que está ahí

resaltada es la que nosotros vamos a

encontrar

yo voy a borrar estos rayones pues

porque no me sirven por ahora sí y

quiero que veamos muy bien el área esa

área es en la que vamos a observar pues

el área que nos interesa que en este

caso es ésta por eso voy a ampliar aquí

para que veamos mejor esa área

recordemos que el área que vamos a

encontrar es esta y pues acordémonos que

es el área el área no es más sino el

número de cuadraditos de una unidad que

caben pues en esa en esa sección osea

que si nosotros queremos saber el área

que nos va a dar si por eso les decía ya

vamos a tener una idea de cuál va a ser

la respuesta ya lo vamos a hacer

numéricamente entonces empezamos a

contar el número de cuadraditos entonces

pues los empiezo yo a resaltar miren que

aquí hay un cuadradito 1 o sea eso sería

una unidad cuadrada si nosotros seguimos

contando aquí hay otros serían dos

unidades cuadradas y otros serían tres

unidades cuadradas bueno ya les voy a

contar un poquito más rápido aquí hay

otras tres mil en 1

2 y 3 o sea llevamos seis unidades

cuadradas aquí hay otras dos completas

siete y ocho aquí hay otra completica

nueve y pues como aquí lo que vamos a

hacer en el gráfico es hallar más o

menos cuánto después vamos tratando de

completar cuadraditos con lo otro que me

sobró no entonces aquí son nueve pero

miren que entre esta parte cita que es

medio cuadrito pues serían nueve y medio

y aquí se ve que es otro medio entonces

serían diez y aquí se ve otro medio

entonces serían diez y medio que quiere

decir que el área que está bajo la curva

o más bien entre la curva y el eje x en

el intervalo 14 es el lo que contamos no

36 9 36 9 10 y medio o sea 10,5 y

tenemos que aclarar que son unidades

cuadradas ya voy a hacer ahora sí más

pequeño esto sí y ahora sí miren ya

tenemos la idea de cuál va a ser la

respuesta en este caso estaba fácil

contar exactamente qué eran 10,5 pues

porque es una recta por eso es el

ejercicio más

no ya más adelante vamos a ver curvas

como parábolas como ecuaciones q de

tercer grado

pero pues en este caso nos interesa esta

parte ahora sí ya que sabemos por qué

espero que ya hayan comprendido qué es

lo que quiere decir todo esto ya que

sabemos que es lo que quiere decir que

lo comprendimos ahora sí vamos a pasar a

hacerlo numéricamente para realizarlo

numéricamente bueno yo voy a mover esto

aquí para que me quede bonito lo primero

que tenemos que debemos tener en cuenta

es el teorema fundamental del cálculo y

qué es lo que nos dice este teorema que

para encontrar el área entre la curva y

el eje x lo que tenemos que hacer es lo

siguiente miren aquí dice el área se

puede encontrar realizando la integral

definida entre los intervalos en el

intervalo que me interesa que en este

caso sería entre 1 y 4 de nuestra

función así que en este caso pues aquí

dice f x pero nuestra función es la

función y igual a x + 1 esta es nuestra

función algo que les quiero aclarar

muchas veces la función

en los ejercicios la vamos a encontrar

como f x igual a algo así como ye igual

algo algo que les quiero aclarar y para

que ustedes tengan en cuenta para

resolver cualquier ejercicio es que si

ustedes en la función encuentran la

letra y es ahí debe estar despejada si

no está despejada lo primero que

deberían hacer ustedes es despejar la

para saber que lo que está al frente de

la función obviamente la función de la

función y pero es igual a lo que está al

frente listos debe estar despejada bueno

pero entonces lo que nos dice el teorema

es que si integramos esa función el área

la vamos a encontrar esto es lo

interesante el área la vamos a encontrar

con esto sí

con la integral evaluada en el límite

superior menos la integral evaluada en

el límite inferior

entonces esto es lo que nosotros vamos a

hacer para encontrar el área algo que

les quiero aclarar y que pues la idea

por eso les decía que me voy a demorar

es que muchas veces el área no está por

encima del eje x miren que en este caso

el área si está por encima del eje x sí

pero muchas veces vamos ir más adelante

lo vamos a ver en otros vídeos el área

puede estar por debajo del eje x

entonces algo muy importante es siempre

un área es positiva si no importa si

está por debajo del eje x o por encima

el área es positiva entonces algo que

aquí me falta aclarar es que el área

siempre va a ser el valor absoluto de

esta integral

ya ahorita les voy a aclarar qué es lo

que vamos a hacer para para no tener que

hacer eso el valor absoluto si

simplemente al final dejamos positivo

pero ya lo vamos a ver bueno entonces

ahora sí vamos a empezar a realizar esta

integral entonces que escribimos pues

por aquí escribo que vamos a encontrar

la integral en qué intervalo pues en el

intervalo que me interesa desde el

número uno hasta el número cuatro que

era lo que veíamos aquí en el gráfico y

pues vamos a integrar nuestra función

como les decía la función que es x + 1 y

obviamente la integral pues vamos aquí

la variable que ésta es la variable x

entonces integramos y escribimos el

diferencial de x voy a subir un poquito

porque pues obviamente ya no me cabe la

solución entonces ahora si empezamos

esta integral ya es muy fácil ustedes ya

deben saber la en esto sino me voy a

detener mucho entonces aquí escribo

igual y pues habrá un par en un corchete

o un paréntesis puede ser porque vamos a

integrar dos términos entonces la

integral de x es x a la 1 acordémonos

que se le suma 1 al exponente entonces

la integral sería x a la 2 o al cuadrado

sobre ese mismo 2 más la integral de una

constante o de un número en este caso es

ese número x x pero pues 1 por x es x la

integral de 1 es x y recordemos que

vamos a evaluar entre el número uno y el

número cuatro ahora que es lo que dice

el teorema fundamental del cálculo que

siempre primero evaluamos en el límite

superior o sea en este caso vamos a

evaluar en el número cuatro qué quiere

decir esto que en nuestra función que ya

está es la integral vamos a reemplazar

la x con 4 voy a correr me por aquí

hacia este lado porque pues ya sé que me

voy a extender un poquito aquí no

entonces si reemplazamos la x con 4

miren qué aquí dice x al cuadrado una

recomendación para que les quede más

fácil es siempre que ustedes vean una

potencia de una vez resuelva la o sea

aquí nos queda 4 al cuadrado o sea 4 x 4

16

hago un corchete y aquí escribo 16 sobre

2

más pero aquí dice más x pero la equis

vale 4 entonces esto ya ahí está

evaluada nuestra integral en el número 4

que tenemos que hacer ahora pues evaluar

en el límite inferior siempre este

límite inferior se le va a restar a éste

que era el límite superior entonces

ahora reemplazamos con 1 pero eso se le

resta no por eso lo voy a escribir con

rojo aquí nos quedaría estamos

reemplazando ahora con el número 11 al

cuadrado 1 por 11 sobre 2 más y estamos

reemplazando la equis con 1 o sea en

lugar de la equis escribimos 1 ahora que

hacemos solamente nos queda resolver

estas operaciones entonces pues aquí

esas operaciones se pueden resolver de

muchas formas si cuando son sumas de

fracciones bueno primero cuando una

división se puede hacer pues la hacemos

no miren que aquí dice 16 dividido en 2

entonces primero voy a resolver esa

operación 16 dividido en 2

eso es 8 y a ese 8 se le están sumando

- esta operación si la puedo hacer de

una vez pero pues sí más bien la voy a

hacer de una vez recordemos que para

sumar fracciones hay muchos métodos

voy a hacerlo en este caso por el método

más fácil pero ya en los siguientes

vídeos les voy a explicar otro método

que al comienzo no le parece uno fácil

pero que nos va a hacer más fácil este

tema de integrales buenos por ahora voy

a resolverlo por el método más fácil que

es el método de la carita feliz entonces

voy a escribir esto por acá un medio más

uno

recordemos que pues a los enteros cuando

vamos a sumar fracciones con enteros se

le escribe un 1 en el denominador y el

método de la carita feliz vuelvo a

decirles hay muchos métodos el método

más rápido es el de la carita feliz que

es multiplicar los denominadores 2 por 1

2

multiplicar y multiplicar en x 1 por 1 1

+ 1 por 2 2

aquí nos da uno más 2 que eso es 3

medios entonces esto me dio 3 medios de

una vez escribe el resultado aquí 3

medios

y listos seguimos por aquí abajo pero

pues antes tengo que borrar todo esto

y ahora si seguimos entonces escribimos

igual ya puedo quitar esos corchetes

84 eso es 12 - cuidado con este menos no

menos lo que nos dio en la otra en el

otro paréntesis que era o en el otro

corchete que era 3 medios aquí

nuevamente hacemos la suma pero pues

bueno yo ya lo voy a hacer con el método

que no les voy a explicar el otro método

eso ya se les explico en otros vídeos si

quieren ustedes aprender el método que

les estoy diciendo aquí les voy a dejar

el vídeo para que lo vean si yo lo voy a

resolver porque es que ese método es tan

bueno que por ejemplo esto se puede

resolver mentalmente si ya más adelante

se les voy a explicar ustedes pueden

resolver esta operación como la

resolvimos esta de aquí si en este caso

aquí nos quedaría 24 medios menos 3 eso

es 21 medios si ya cuando uno tiene

práctica en ese método que les digo ya

puede resolver esto facilismo y

cualquier sumando resta de fracciones

aquí ya tenemos la respuesta a la

respuesta es 21 medios pero pues

generalmente para comprenderla un

poquito mejor esta respuesta ya es

válida 21 medios pero generalmente se

hace la división 21 dividido en 2

es 10 5

como les decía siempre el área tiene que

ser positiva y miren aquí como les decía

porque les recomiendo el gráfico porque

yo ya sé y estoy seguro que esta

respuesta es correcta comparemos con lo

que nos había dado gráficamente miren

que gráficamente nos había dado

exactamente 10,5 unidades cuadradas

numéricamente medio exactamente lo mismo

que quiere decir ya estamos seguros de

que está bien al final debemos escribir

la respuesta entonces como se escribe

pues simplemente lo que estamos hallando

es un área entonces escribimos el área

es d

10 5 y tenemos que agregarle unidades

cuadradas listos ya con esto termino mi

explicación y como siempre por último

les voy a dejar un ejercicio para que

ustedes practiquen que el ejercicio es

este y van a hacer algo similar van a

calcular el área bajo la curva está en

el intervalo 25 y la respuesta va a

aparecer en 321 bueno lo primero es lo

que yo recomendé pues entonces yo lo

recomiendo yo lo hago que es hacer el

gráfico ya saben que esta parte del

gráfico no es obligatoria pero yo les

recomiendo a mis estudiantes que siempre

lo hagan porque les va a servir mucho

bueno calcular el área bajo la curva de

igual a 2 x + 3 osea lo que vamos a

tener en cuenta es que la función es que

es igual a 2 x menos 3 spector en el

intervalo 2,5 entonces hacemos las dos

líneas citas entre el 2 y el 5 para

aclarar que esa sección es la que me

sirve por eso pues en la tabla

en la tabla de valores yo escribo esos

números desde el 2 hasta el 5 muy bueno

si ustedes tienen un intervalo digamos

que les dijeran entre menos 5 y 15 hay

muchos números pues ahí sí tendrían

ustedes que escoger algunos bueno pero

generalmente pues son intervalos

pequeños

y aquí yo escogí todos pues porque son

poquitos 2 3 4 y 5 entonces pues

empezamos a evaluar empezando con el

número 2

aquí cuidado que en este caso la función

dice que igual a 2 por equis o sea 2 x

en este caso la equis vale 2 menos 32

por 2 4 y 4 menos 3 es 1 o sea que aquí

ya tenemos el primer punto del punto 21

que es éste no 2,1 si evaluamos ahora

con tres entonces nos queda ya igual a 2

por 3 que eso es 6 de una vez me salte

ese paso y esos 6 menos 3 nos da 3 o sea

que tenemos otro punto el punto 33 que

es este 3,3 y bueno los otros dos ya no

se los voy a explicar ustedes practican

cuando la equis vale 4 la vale 5 y

cuando la equis vale 5 la vale 7 y

hacemos nuestra gráfica para que nos

sirve la gráfica voy a agrandar para que

lo veamos mucho mejor que ahí lo que

podemos hacer es contar los cuadritos

entonces voy a contar los ya más rápido

miren que aquí hay 3

1 2 y 3 aquí hay otros dos este no lo

cuenta porque no está completo 4 y 5

aquí hay otros 2 6 y 7 aquí hay otro 8

aquí hay otro 9 miren que entre estos

dos parece ser que se completa a 1

entonces sería 10 con estos dos aquí

parece ser que se completa a otro

entonces sería 11 y aquí sería 12

entonces yo escribo mi respuesta que fue

12 unidades cuadradas si ustedes no nos

an hoya pero porque el profesor contó

así no importa ya en los siguientes

ejercicios vamos a seguir practicando

cómo contar vuelvo a decir les puede que

aquí no me dé exacto a veces uno dice ah

no me dio 11 5

y la respuesta es 12 o 13 no importa lo

importante es que es una aproximación y

ya lo vamos a ver más adelante bueno

aquí me dio 12 sí ahora sí seguimos pues

haciendo la forma numérica entonces

primero vamos a hacer la integral entre

2 y 5 pues que es el intervalo que me

interesa entre el número dos y el número

5 de la función igual

a 2 x 3 igual a 2 x 3 entonces

integramos la integral de 2x es 2 por la

integral de x entonces aquí escribí 2

por la integral de x a la 1 que es x a

la 2 sobre 2 x al cuadrado sobre 2 - la

integral de una constante pues es esa

constante multiplicada por x 3 x

evaluado entre el número 2 y 5 corremos

aquí un poquito más para arriba para

seguir entonces hacemos las operaciones

aquí miren que lo fácil es podemos

simplificar este 2 con este 2 podemos

decir mitad de 21 y mitad de 21 o muchas

veces uno ya se acostumbra decir eliminó

el 2 de arriba con el 2 de abajo no

importa si que nos quedó solamente x al

cuadrado menos 3 x entonces primero

evaluamos en el límite superior siempre

es en el superior primero evaluamos el

número 5 entonces aquí si reemplazamos

la x con 5 nos quedaría 5 al cuadrado

que eso es 25 5 por 5 25 menos y aquí

dice 3 por x ya me voy saltando pasos o

sea sería

por 5 que eso es 15 ya evaluamos en el

límite superior a eso le restamos

siempre no se les olvide restar lo que

nos dé al evaluar en el límite inferior

entonces ahora vamos a igual

ahora vamos a evaluar con el número 2

entonces aquí nos quedaría 2 al cuadrado

2 x 2

4 - y aquí dice 3 por equis o sea sería

3 por 2 que eso es 6 solamente nos queda

hacer las operaciones en este caso en

este corchete 25 menos 15 es 10 - no se

les olvide escribir ese negativo y aquí

cuatro menos seis de al menos dos como

da negativo y pues como me van a quedar

dos signos seguidos uno generalmente se

salta ese paso y dice menos por menos de

más pero pues aquí por la explicación lo

escribí entre paréntesis siguiente paso

quitar el paréntesis menos por menos es

más entonces nos queda 10 más 2 que eso

es 12 siempre al final comparamos con lo

que nos dio gráficamente gráficamente

también nos dio 12 pero ya vamos a ver

más adelante que no siempre da

exactamente lo mismo pero da algo muy

similar y eso nos da la idea de que

vamos viendo medio 12 y aquí también me

a 12 al final tenemos que escribir la

respuesta el área es igual a 12 unidades

cuadradas y ya con esto terminamos este

vídeo qué bien que hayas llegado hasta

esta parte del vídeo

eso quiere decir que hoy aprendiste algo

nuevo y espero que te haya gustado mi

forma de explicar y si es así bueno si

llegaste hasta esta parte creo que vi si

es así te invito a que vean el curso

completo para que practiques como te

decía esto de áreas y todo lo integrales

y aquí te dejo algunos vídeos que estoy

seguro que te van a servir también

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bye