Varberg《Calculus》微积分 Chapter 1 Limits #3 ｜无穷小

Summary

本节微积分课程介绍了无穷小的概念及其重要性，特别强调了无穷小在简化极限运算中的应用。通过定义无穷小，并展示了几个具体的函数例子来说明无穷小的性质，包括无穷小的加减乘运算和有界函数乘以无穷小仍为无穷小。讲解了无穷小的等级划分，如何通过比较无穷小的趋近零的速度来判断其阶级。重点介绍了等价无穷小的概念，并通过具体例子演示了如何利用等价无穷小进行极限运算的简化，同时提醒了在使用等价无穷小进行加减法运算时的常见错误和正确的替换方法。最后，通过几个例题，展示了无穷小替换在实际极限计算中的应用，强调了等价无穷小在解决复杂极限问题时的实用性和注意事项。

Takeaways

• 😀 无穷小是趋近于零的函数，对理解和计算极限至关重要。
• 📚 等价无穷小是计算极限时的有力工具，通过替换可以简化计算过程。
• 🔍 无穷小有三个基本性质：无穷小相加减还是无穷小、无穷小相乘还是无穷小、有界函数与无穷小相乘后仍是无穷小。
• 🌟 了解有界函数的定义和性质，对于处理与无穷小相关的极限问题非常重要。
• 📈 无穷小之间存在阶级划分，根据它们趋近零的速度不同可以进行比较。
• 📐 利用无穷小进行极限运算时，需要熟记常用的等价无穷小。
• 🔗 在处理极限问题时，正确使用无穷小替换可以大幅简化问题。
• 🚫 在加减法运算中，不能随意替换无穷小，需要通过比例式的转换来简化计算。
• 💡 无穷小替换虽好，但不是万能的，应用时需要注意其适用范围和条件。
• 📋 本课程通过多个示例详细讲解了无穷小的概念、性质、等价无穷小以及在极限运算中的应用。

Q & A

无穷小有哪些基本性质?

无穷小有三个基本性质:1) 无穷小相加减之后还是无穷小;2) 无穷小相乘之后还是无穷小;3) 一个有界函数与无穷小相乘之后还是无穷小。

什么是无穷小的高阶和低阶?

当两个无穷小量趋近于0的速度不同时,速度趋近0较快的称为另一个无穷小的高阶无穷小,速度趋近0较慢的称为另一个无穷小的低阶无穷小。

什么是等价无穷小?

当两个无穷小量以相同的速度趋近于0时,称这两个无穷小量是等价的,可以在极限计算中互相替换。

无穷小替换有哪些注意事项?

无穷小替换不能直接应用于加减法运算,需要先化简为比值的形式,然后再替换无穷小。另外,也不能随意替换,需要确认被替换的部分是真正的无穷小量。

tanx和x在什么条件下是等价无穷小?

当x趋近于0时,tanx和x是等价无穷小。

1-cosx和哪个式子是等价无穷小?

当x趋近于0时,1-cosx和(1/2)x^2是等价无穷小。

无穷小替换的主要目的是什么?

无穷小替换的主要目的是利用无穷小的等价关系,将复杂的极限表达式化简为更简单的形式,从而简化极限的计算。

为什么无穷小替换不能随意应用于加减法中?

因为加减法中无穷小的数量关系会发生改变,需要先化为比值形式,确保无穷小的等价关系成立,才能替换。

视频中给出的无穷小比较有哪几种情况?

视频中给出的无穷小比较有四种情况:1) 高阶无穷小;2) 低阶无穷小;3) 同阶无穷小;4) 等价无穷小。

常见的等价无穷小有哪些?

一些常见的等价无穷小有:sinx与x,tanx与x,1-cosx与(1/2)x^2等。要根据情形确认具体的等价关系。

Outlines

00:00

😀 介绍什么是无穷小及其性质

本段首先定义什么是无穷小:当一个函数f(x)在x趋近于一个定值c或者无穷大时趋近于零,则称其为无穷小量。无穷小有两个特点:1)特别小但不等于零 2)总在向零的方向狂奔。然后列出无穷小的几个性质:1)无穷小相加减后还是无穷小 2)无穷小相乘后还是无穷小 3)一个有界函数与无穷小相乘后还是无穷小 4)当f(x)在x趋近u时趋近无穷大,则1/f(x)是无穷小。

05:02

😊 介绍无穷小的比较和等级划分

本段首先提到无穷小之间也存在等级划分,它们趋近于零的速度不同。然后介绍无穷小的比较方法:设α(x)和β(x)为两个无穷小,比较α(x)/β(x)的极限值:若为0则α(x)高阶;若为无穷大则α(x)低阶;若为常数c则同阶;若为1则等价。等价无穷小在计算极限时可以互相替换。

10:04

😋 描述几个常见的等价无穷小

本段列出几组常见的等价无穷小:sinx与x,tanx与x,1-cosx与(1/2)x^2,1+x^a-1与ax等在x趋近于0时等价。这为后续极限计算时进行无穷小替换提供参考。还提到一个常见误区:sin(x/1)与x在x趋近0时不等价。

15:04

😎 说明如何使用无穷小替换计算极限

本段通过例子详细说明如何利用等价无穷小进行极限运算中的无穷小替换:首先写出一个比例式,将式子中的无穷小表达式替换为其等价无穷小表达式,然后进行化简。给出了tan用sin/cos替换、利用1-cosx与(1/2)x^2的等价关系等计算实例。强调熟练后可以跳过比例式直接替换计算。

20:04

😲 提醒无穷小替换的局限性

本段指出无穷小替换并非万能,不能随意替换,尤其是加减法情况。给出反例解释直接替换会导致错误,必须先写出比例式。通过一个tanx - sinx的详细推导实例,说明如何在减号情况下合理应用无穷小替换计算极限。最后总结无穷小替换的使用方法。

Keywords

💡无穷小

无穷小是一个数学概念,指一个函数的值当自变量趋向于某一个值(可能是常数,也可以是正负无穷)时趋向于0的量。视频中提到无穷小有两个特点:一是特别特别小,二是一直在向0极限狂奔。无穷小既可以表示为一个函数,也可以看成一个变量。

💡等价无穷小

当两个无穷小函数在极限情况下的比值为1时,我们就称这两个无穷小是等价的。比如sinx和x在x趋向0时就是等价无穷小。等价无穷小可以在求极限计算中互相替换。

💡极限计算

极限计算是微积分的一项核心知识,用于研究函数值在自变量趋向于某一值时的极端情况。利用无穷小和等价无穷小可以简化许多极限计算。

💡高阶无穷小

当两个无穷小函数在趋向0的“速度”上,一个比另一个快时,我们称较快的那一个为高阶无穷小。高阶无穷小趋向0更快,“跑步更快”。

💡低阶无穷小

与高阶无穷小相反,当一个无穷小函数比另一个趋向0更慢时,我们称其为低阶无穷小。低阶无穷小“跑步比较慢”,趋向0的速度较慢。

💡同阶无穷小

当两个无穷小函数在趋向0的速度上相当时,我们称它们是同阶无穷小。它们“跑步的水平相当”。数学上表示为它们的比值为一个非零常数。

💡有界函数

有界函数指函数的值被框定在一个有限的区间内。诸如三角函数都是典型的有界函数。视频中提到,一个有界函数与无穷小相乘,结果仍是无穷小。

💡无穷小比较

无穷小之间存在高低阶之分,这就是无穷小的比较。根据两个无穷小函数比值的四种情况,可以确定它们之间的阶次高低和等价关系。这是判断无穷小性质的重要手段。

💡无穷小替换

利用等价无穷小的特点,可以在求极限计算中,用一个无穷小量替换等价的无穷小,这就是无穷小替换。这是简化极限计算的重要方法。但是也有局限性,不适用于加减法运算。

💡无穷大

当一个函数的值随着自变量的变化而增大,并趋向于正或者负无穷时,我们称此函数为无穷大。无穷大与零比值则为无穷小。所以无穷大和无穷小常常协同使用。

Highlights

第一个重要的要点

第二个显著的要点

第三个有趣的发现

第四个关键的理论贡献

第五个实际应用

Transcripts

大家好

欢迎来到再一课

微积分

今天这节课呢我们来讲无穷小

那么无穷小呢它是一个非常好用的工具

可以帮助我们在之后的计算极限的时候呢

大大的简化我们的运算量

所以呢今天这节课的一个重点呢就是我们

要熟记一些常用的等价无穷小

以及要懂得在今后的极限运算当中

如何正确的使用无穷小替换

那么首先呢我们先来看一下什么是无穷小

那么从定义出发呢

他就说当x 趋近于一个定值c

或者说当x 趋近于无穷的时候

它对应的函数是f(x) 趋近于零

那么这个时候呢

我们就说这个趋近于零的这个函数

是它是一个无穷小量

那么我们把这句话翻译一下

我们来看这几个例子

我们现在给出这几个函数式

然后我们让他们的x 都趋近于零

那么这个时候我们就发现这几

个式子它们全都趋近于零

对不对

所以这个时候呢这几个式子它们

就全都是无穷小量

所以无穷小量它有两个特点

第一个呢就是它特别特别的小

但是又还没有完全小到零

相反呢它一直在往零的尽头狂奔

那么它最终的归宿呢就是零

所以呢如果有一个东西它符合这两个特点

我们就可以说它是一个无穷小量

那么无穷小呢它有一些性质

总结起来呢就是三个还是第一点

无穷小相加减之后还是无穷小

那这个很好理解

就像是我们知道零相加减之后它还是零

然后第二点

无穷小相乘之后还是无穷小

这个很好理解

而且呢我们可以想到说一个无穷小

再乘以另外一个无穷小

实际上它们是越乘越小的

然后第三点

一个有界函数与无穷小相乘

之后还是无穷小

那首先我们先来了解一下什么是有界函数

有机函数呢就是说一个函数是

它的值呢是被框死的

它的大小呢是被限定在

一定的区间范围内的

那比如说我们看到下面这个式子

这个式子里面有一个sin x 分之一

那像是我们熟悉的三角函数里面的

sine cosine 呢

它们实际上都是有界函数

我们可以看到图像里面他们是被限定

在一跟负一这个范围里面的

同样的我们这里的这个sin x

x 分之一呢

它也是被限定在了这个负一

跟一的范围里面

所以这个时候我们就说sin

x 分之一

它是一个有界函数

然后在这里当我们的x 趋近于零的时候

我们的这个x 它就是一个无穷小量

所以这个式子它是一个无穷小

乘以一个有界函数

那它们的结果呢还是一个无穷小量

然后我们把这个无穷小量取极限

取极限之后

它的尽头是零

所以这个式子它就会等于零

那么从另外一个角度来理解

这个呢也很好去想象为什么这个

式子它是等于零

当x 趋近于零的时候

我们给它取极限

我们把这个x 就当做零

然后呢这个就是一个常数

那我们知道一个零乘以一个常数

最终的结果就还是零

然后呢

我们还有一个第四点的性质

那我觉得与其叫它性质呢

我觉得倒不如说它就是讲一个事实

在这里呢我们有一个函数是f x

然后呢我们说当x趋于u的时候

这个函数式的绝对值呢它会趋近无穷

那么这个时候我们把这个函数式

把它变成一个分式之后呢

我们就会得到一个一比无穷

那么一比无穷之后

它的极限就是等于零

所以这个时候也就是说这一整个式子

当x趋近于u的时候

它整个式子是趋近于零的

所以这个时候它就是一个无穷小量

那么看完性质呢

我们再来看我们的下一个部分

关于无穷小之间的比较

刚才呢我们介绍了什么是等价无穷小

以及它的一些性质

那么实际上呢

无穷小之间呢

它们也是有阶级划分的

我们刚刚提到说无穷小它有两个特点

第一个是它特别特别的小

第二个呢就是它总是在往零的尽头狂奔

那么既然在狂奔嘛

不同的无穷小

它就会有不同的一个奔跑速度

有的人跑得快呢

就有人跑得慢

也就是说呢他们趋近零的

速度实际上是不同的

那具体呢我们先来给出这两个式子

我们看到当x 趋近于u 的时候呢

这两个式子它们都是趋近于零的

于是呢我们知道它是两个无穷小量

那现在我们要比较这两个无穷小量

他们的一个趋近于零的速度是如何的

也就是说他们谁跑的更快

那我们就给他做这样一个比例式

这个比例式呢它会有四种结果

那么第一个等于零

在它们同时跑向零的时候

分子上这个无穷小它跑得更快

它抢先跑到了零

那么我们看分子抢先跑到零

在他跑到零的那一秒呢

他就会把整个式子变成了零

那么这个时候呢

这个跑步比赛胜负已出

分子上这个阿尔法x赢了

我们就说阿尔法x它是

贝塔s 的高阶无穷小

那么比赛嘛有赢就有输

有高阶就有低阶

于是呢第二种情况呢就是这个

阿尔法x 输了

相反呢是分母上这个贝塔

x它抢先跑到零

那么当它跑到零的时候呢

它就把整个式子变成了一个无穷大

这个时候呢我们就说阿尔法x它

是贝塔x的一个低阶无穷小

然后第三种情况呢

就是他们两个人在跑道上面你追我赶

拉拉扯扯

后面的那个人呢他看到前面

那个人跑到前面去了

他就拉他衣服

抱住他大腿

结果呢就是两个人一起摔倒

在跑道上面动不了了

于是呢式子的值就停留在他们摔倒的地方

通常呢就是一个常数c

那我们注意到这个常数c 它是不为零的

那么因为这个时候他们一起

摔倒在跑道上面

没有到达终点

我们可以认为这两个无穷小

他们的一个跑步水平是相当的

这个时候呢我们就称他们

为一个同阶无穷小

然后第四种情况第四种情况呢

就是他们两个人全都是跑步小能手

全都是飞人博尔特

结果呢就是同时狂奔到了终点

也就是他们同时到达零

于是式子的值就变成了一

这个时候呢我们就说阿尔法x 跟

贝塔x 它们是一个等价无穷小

那么这里呢我们就引出了我们这堂课

的一个重点等价无穷小

接下来我们的讨论全都是围绕

等价无穷想要展开的

那么在具体介绍怎么用等价无穷小

进行极限运算之前呢

我们先来熟悉一些等价一些

常用的等价无穷小

这里呢我们列出了一长串

那我们来逐一看一下呢

就是第一个当x 趋近零的时候呢

我们认为sin x

与x 之间是等价的

那么运用我们刚才用的一个比例式呢

就是说limit x

趋近于零的时候呢

sine x 与x 的

比值它们是等于一的

然后同样的

所以tanx 它的意思也是说当limit

x 趋近于零的时候

tanx 比上x 它们的

比值也是等于一的

那么后面的以此类推

那它的意思呢就是说当我们在

今后的极限运算当中呢

我们可以在x 趋近零的时候

我们可以把sin x

直接用x 来替代

我们可以直接把tanx 换成x

同样的

后面的也可以直接都用x

直接带入到式子当中去

那么具体的方法呢

我们会在后面的讲无穷小替换

的时候再仔细介绍

那这里呢还有两个比较特别的等价无穷小

第一个呢

就是我们可以用二分之一x 的

平方来替代一减cosx

然后用ax 来替代这个一

加x 的a 次方减一

那么这样子的话

我们就把两个比较复杂的带有减号的式子

用了两个很简单的小式子去替代

所以等价无穷小的它的一个

简便计算的能力呢

在这里就已经出甲身手了

然后呢

在这里呢我还要提醒一个常见的错误

我们来看一下这个式子

我们看这个式子当x 趋近于零的时候

这个式子它会不会等于一呢

实际上是不会的

我们可以仔细来看

当x 趋近于零的时候呢

sin 里面的这个x分之一

它实际上是趋于无穷的

然后同样的

它的分母也是趋近无穷的

所以呢这两个东西呢它就

不是我们说的无穷小

实际上他们一点也不小

所以他们的极限比值也不会是等于一

那么这个是一个很容易犯的错误

我们要多加小心

接下来呢

我们来正式介绍无穷小替换

那么刚才我们讲到说两个无穷小

如果它们是等价的话呢

那我们就可以在极限的计算当中直接

的把它们互相替换具体怎么做我们

先来看这个式子这个式子我们可以

把它变成是tanx比上x

然后再乘以x平方分之一我们把这个三次方

里面分出一个x过来

然后呢我们知道当x趋近于零的时候tan

x跟这个x它们是等价无穷小

所以呢也就是它们的这个比值会是等于零

会是等于一的

所以呢这样子之后我们就把这个极限化简

为一个x平方分之一

所以这样子呢

我们就会得到它实际上是个一比零

最后答案就是无穷

所以呢就是我们在这个计算当中呢

去凑出了这个无穷小替换的一个比例式

那我们带着这个办法呢

再看下面的这三道题啊

第一题

我们看到当x 趋于零的时候

sin5x 跟sin3x

它们都是无穷小量

那我们知道它们的一个等价无穷小分别

应该是五x 跟三x 那我们用

我们刚才的办法

我们去凑出我们的一个极限的一个比值

我们可以写出sin五x

然后比上五s 再乘以我们的

3x 比上sin 3x

那么因为它本来是

只有sine 5x 比上sin3x

我们这里在分母上面多乘了

一个五x

所以呢我们为了保持整个式子的平衡

所以我们就要在分子上面再乘一个5x

那这里我们在分子上面多

乘了一个3x 那我们就要相应的

在分母上面给它乘一个三x 这样

子给它们进行一个消掉

所以呢这样子我们就可以看到

这个这边的式子

它的比值是一自己的比值也是一

所以最终整个式子就只剩下一个三x

分之五x 所以最后我们可以得到

实际上这个极限呢它就是等于三分之五

然后同样的来我们来看我们的第二题

第二题呢我们注意到这里的这个x

呢它是趋近于一的不是趋近于零的

然后相应的这里的这个arcsin呢

它是一个一减x 那么当

x 趋近于一的时候

这个一减x 它就整体趋近于零

所以我们可以知道这个arcsin

一减x 它是一个无穷小量

那么它的一个等价无穷小是什么呢

实际上我们就可以回到我们刚才的这里来

它在这里呢

实际上就是把这个x 整体的替换成

了一个一减x

所以相应的它的那个无穷小量呢

就是一个一减x

那么这个lnx 呢

当x 趋近一的时候

lnx 是趋近于零的

所以lnx 也是一个无穷小

但是呢我们只知道ln 一加x

的它的一个等价无穷小是x

我们不知道lnx 的一个

等价无穷小是什么

所以呢我们在想

我们应该要想办法给这个lnx

s 给它修修身整整形

我们就想呢我们可不可以把

这个x 做一些改动呢

我们把它写成一个lnx

一加某某某呢

那么我们可以看到原本这个

ln 里面呢

它是只有一个x 对不对

那现在我们想要给它再加上一个一

那加上一个一呢

你就要给它减去一个一

所以这样子我们就得到这个式

然后我们再看

我们发现哎

我们这时候就凑出了一个一加x 减一

那么在x 趋于一的时候呢

这个x 减一它是整体的趋近于零的

也就是说呢

实际上我们这个时候就把这个x

这个ln 一加x里面的

这个x 给它整体的替换成了一个

x 减一

所以对应的它的等价无穷小就是x减一

所以呢这个时候我们把这两个等价无穷小

它的等价

替换值全都找了出来

然后我们就可以再把他们的比例式凑出来

于是呢我们可以得到

arc sin 一减x它

呢我们可以给它的分母乘上一减

x 然后再乘以

这个ln x 呢我们给

它换成一加x 减一

然后分子上面呢就是一个x 减一

然后根据我们前一题的同样的办法

你多乘出来的地方呢

你就要给它再除回去

所以相应的我们在分子上面变成一减x

减一分母上面乘上x 减一

然后旁边的两个比例式分别为一

所以就只剩下中间的比例式

所以我们得到最终它的

一个化简结果呢就是

一减x 除上x 减一

所以我们得到它的结果是负一

最后我们来看第三题

第三题呢

第一眼看上去感觉有点复杂

那实际上它跟我们前面的

题目是一样的套路

我们先观察x 趋于零的时候

它的分子跟分母都是无穷小

所以我们就可以考虑去用它们的

等价无穷小来进行计算

那我们看到这个分子上面呢

它实际上就是一个一减根号x

的三分之一次方减去一

然后呢

我们利用上面的这个式子

我们可以知道实际上它的一个等价无穷小

就是三分之一根号x 对不对

我们的这里的这个x 它就是根号x

这里的a 呢就是三分之一

所以替换之后呢

我们又可以写出了一个根号一减

根号三分之一次方的下面的一减

根号x 减一比上三分之一根号x

所以呢

我们可以仿照刚才 前面的

写法

把它的那个比例式先凑出来

得出它是一减根号

x 的三分之一次方减一

然后分母上面变成三分之一根号x

然后再用我们刚才的类似的一个

做法去给它全部完整写出来

那么这个办法呢实际上就是

等我们熟练之后

我们其实就不用去凑出这个比例式了

我们可以直接的就把分子上面的

那个一大团的式子直接给它切成三

分之一根号x

所以这样子我们就可以直接的把这个答案

算出来

就像是同样的这边的第一题

实际上我们熟练之后就不用再

去凑出这个比例式了

我们可以直接就把它写成是limit

x 趋于零的时候

五x 比上三x 然后我们就

可以直接得出我们的答案

那么通过刚才的几个计算演示之后

我们感觉到好像无穷小替换很方便的样子

对不对

它可以帮助我们直接把一个很长串

的式子缩小为一个很短的

很容易计算的小式子

但实际上这个工具虽好呢它也不是万能的

相反呢它有时候还会有一些陷阱

比如说我们来看这个式子

这个式子呢

我们首先第一眼看上去

我们感到唉这个放眼看过去全都是无穷小

tanx 是无穷小

sin x 也是无穷小

那么既然全都是无穷小的话

那干脆就一次性把它们全部

都替换成x 好了

于是呢你就写出了一个这样子的式子

limit x 趋于零

然后分子上面是x 减x 所以呢也就是

其实你得到了一个零比零的式子

那我们看一下这个式子有没有感觉

有没有什么不妥呢

我们可以想象一下

如果我们把分子任意的替换成另外的一些

跟x 等价无穷小的无穷小量的话

比如说我们把它换成tanx

减arccosx

又或者我们再把它换成是arcsinx

x 减去sinx

那么这样子的话

也就是说其实我们画完之后

它们的分子实际上还是一个

x 减x 的形式

那是不是说实际上这样子这三个式子

它们的结果就是一模一样的呢

甚至我们可以再想的远一点

其实不只是换成arc sinx

我们还可以换成任意的

只要是跟x 等价的式子

然后让它们在分子上面加加减减

之后等于零

这样最终我们就会得到这

样子这一个类似的式子

那么这样子的话

这些所有的式子

它们的值就全都是一样的吗

那么如果这个逻辑成立的话

那我觉得无穷小世界简直就可以说

成是一个天下大同的世界

所以实际上呢我们可以显而易见的看出

这种做法实际上它是存在错误的

无穷小替换呢它是不可以在加减法

运算当中直接替换掉的

相反的

当我们在极限的式子当中遇到这种

加号啊减号的时候呢

我们要想办法去凑出他们

原始的那个比例式

比如说在这里呢

我们要想办法去凑出我们最开始的

那种sinx比x

或者说tanx比x 这样子的比例式出来

才能帮助我们简化这样子的运算

那么在这一题里面呢

它有点小小的复杂

我们不可以很直接的去凑出这样子的式子

它需要做一个比较小的变形

那么由于它现在有一个减号

在这边比较碍事

我们想要想办法尽量的去分离出

类似于这样子的式子

所以呢我们可以在这里做一个

对tanx 做一个变形

我们可以把tanx 写成sin

x 比上cosx

然后这样子一写

我们就会发现

实际上我们是可以把分子上面的

sinx 提出来

对不对

所以提出来之后呢

它就是sin x 乘以cosx分之一减一

然后这样子我们就会发现

我们就第一步成功的提出了一个sin

x除以x对不对

所以我们先把它写出来

在这边我们剩下的这个分子上面

这个怎么处理呢

由于它现在是一个cosx

分之一减一

我们可以用一个小技巧

就是把这个cosx 分之一

从这个括号里面提取出来

那提取出来之后呢

括号里就变成是一减

cosx 然后外面的就是

提出来的cos x 分之一

这样提出来有一个什么好处呢

就是我们得到这个一减cosx

然后我们又知道呢

在x趋于零的时候

一减cos x它是跟二分之一

x的平方是等价无穷小的

所以呢这里呢就预示着我们可以

再凑出一对我们的比例式

所以我们这里可以写出sinx比x

然后这个一减cosx单独拎出来

然后我们分母上面也刚好有一个x平方

对不对

那么我们就要再给它凑一个二分之一

也就是我们在分母上面乘一个二分之一

那么因为我们在分母上面

多乘一个二分之一

我们就要在分值上面再乘一个二分之一

把我们多乘的这个消掉

然后呢

我们再把刚才我们拎出来这个cos

x 分之一照抄过来

这样子我们就会发现我们把这个

式子整理出了两个比例式

那么前面的这两个比例式他们

就全都等于一

就只剩下后面的这一块

那后面这一块当x趋于零的时候

cos x 是趋近于一

一的

所以整个式子它最终就会等于二分之一

所以做到这里我们就会发现

实际上这个极限极限它的答案是二分之一

而不是我们最开始的那个直接x 减

x之后得出的那个零比零的结果

那么最后我们再来总结一下我们这节

课呢就是我们介绍了什么是无穷小

然后提到了无穷小

他们之间是有一个等级划分的

然后也从这高阶低阶当中呢

我们得出一个重要的概念

等价无穷小

对 等价无穷小呢

我们要特别的注意在加减法的运算当中呢

它是不可以直接用来替换的

所以以上呢就是我们今天

这节课的所有内容