¿Qué son LOS DETERMINANTES? ¿Son amigos o enemigos?
Summary
TLDREl guion del video ofrece una introducción al álgebra lineal, destacando la importancia de los determinantes y las matrices en matemáticas. Explicado de manera didáctica, el video revela la sorprendente utilidad de los determinantes en áreas como la resolución de sistemas de ecuaciones y cálculos de áreas y volúmenes. A través de ejemplos sencillos y avanzados, el guion demuestra cómo los determinantes son fundamentales en la comprensión de las matrices y en la solución de problemas prácticos, mostrando su relevancia histórica y su aplicación en diversas disciplinas.
Takeaways
- 😲 Los determinantes son una parte sorprendente de las matemáticas que parecen venir de otro planeta y son fundamentales en el álgebra lineal.
- 📚 El álgebra lineal es una materia profunda y es una de las causas principales del amor por las matemáticas del narrador del video.
- 🔍 Se acerca al mundo de los determinantes, que son números asociados a matrices, para motivar a quienes quieran estudiar más sobre ellos.
- 📏 Las matrices son una disposición en filas y columnas de números y son fundamentales en todas las ramas de las matemáticas.
- 🔢 El determinante se calcula a partir de las entradas de una matriz cuadrada y tiene aplicaciones en resolver sistemas de ecuaciones y en geometría.
- 🎲 El cálculo del determinante para matrices grandes es tedioso y no es práctico para matrices grandes, como las 10x10 que tienen más de 3 millones de combinaciones.
- 📉 El determinante ayuda a entender mejor las matrices, por ejemplo, en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
- 📏 En geometría, los determinantes se usan para calcular áreas y volúmenes tras aplicar movimientos a figuras mediante matrices.
- 🔍 El determinante cumple con ciertas propiedades, como cambiar de signo si se intercambian filas o multiplicar una fila por un número.
- 🌐 Los determinantes tienen una larga historia, conocidos en China desde el siglo tercero antes de Cristo, y han sido estudiados por muchos matemáticos famosos.
- 😉 El video concluye con un toque humorístico, sugiriendo que hacer cálculos de determinantes mentalmente puede ayudar a conciliar el sueño.
Q & A
¿Qué es un determinante y por qué es sorprendente?
-Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada, el cual es calculado de una manera particular que puede parecer extraña al principio. Es sorprendente porque, a pesar de su definición compleja y su proceso de cálculo, tiene aplicaciones importantes en áreas como el álgebra lineal y la geometría.
¿Por qué el determinante es esencial en un curso de álgebra lineal?
-El determinante es esencial en un curso de álgebra lineal porque ayuda a entender mejor las propiedades de las matrices, es fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tiene implicaciones en la solución de problemas en diversas áreas de las matemáticas y la ciencia.
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2x2?
-El determinante de una matriz 2x2 se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal (es decir, el elemento de la primera fila y primera columna por el elemento de la segunda fila y segunda columna) y restando la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.
¿Cuántas combinaciones hay para calcular el determinante de una matriz 3x3?
-Para calcular el determinante de una matriz 3x3, hay seis combinaciones posibles, cada una con un signo positivo o negativo dependiendo del orden de las columnas.
¿Cómo se relaciona el determinante con el área o volumen en movimientos geométricos?
-El determinante de una matriz que representa un movimiento geométrico indica por qué factor se transforma el área o volumen de una figura. Por ejemplo, si el determinante es seis, entonces el área se multiplica por seis tras el movimiento.
¿Por qué el cálculo de determinantes en matrices grandes puede ser ineficiente para resolver sistemas de ecuaciones?
-El cálculo de determinantes en matrices grandes es ineficiente para resolver sistemas de ecuaciones porque hay métodos más rápidos y precisos, como el método de Gauss, que son preferidos en situaciones donde las matrices son más grandes.
¿Cuál es una aplicación práctica del determinante en videojuegos?
-Una aplicación práctica del determinante en videojuegos es en la simulación de movimientos en 3D, donde las matrices se utilizan para calcular transformaciones de cámara y objetos, y el determinante ayuda a mantener la precisión en el cálculo de áreas y volúmenes tras estas transformaciones.
¿Desde cuándo se conocen los determinantes y quiénes son algunos de los matemáticos que han trabajado con ellos?
-Los determinantes se conocen desde el siglo tercero antes de Cristo en China. Algunos de los grandes matemáticos que han trabajado con determinantes incluyen a Gauss, Lagrange, Kosi, Laplace y Jacobi.
¿Cómo se relaciona el determinante con la matriz identidad y las propiedades de las matrices?
-El determinante de una matriz identidad, que tiene unos en la diagonal y ceros en los demás lugares, es uno. Además, el determinante cumple con ciertas propiedades que son útiles en álgebra lineal, como cambiar de signo si se intercambian dos filas o ser igual al producto del escalar si se multiplica una fila por un número.
¿Por qué el determinante es considerado una herramienta importante más allá de su definición matemática?
-A pesar de que la definición del determinante puede parecer rara y compleja, es una herramienta importante porque cumple con un conjunto de propiedades deseables en álgebra lineal y tiene aplicaciones en áreas muy diversas, desde la resolución de sistemas de ecuaciones hasta la geometría y física.
Outlines
🤓 Introducción a los determinantes y álgebra lineal
El primer párrafo presenta la sorprendente y peculiar figura matemática de los determinantes dentro del ámbito de la álgebra lineal. Se menciona que, a pesar de parecer algo extraño al principio, los determinantes son esenciales en cualquier curso de álgebra lineal y son una de las razones del amor por las matemáticas del narrador. Se describe brevemente lo que son matrices y se enfatiza que solo se trabajará con matrices cuadradas en este video. Además, se toca el tema de la utilidad de las matrices en todas las ramas de las matemáticas y cómo el determinante es una función que asocia un número a cada matriz, con un ejemplo de cómo se calcula para una matriz 2x2.
🔍 Aplicaciones y significado de los determinantes
El segundo párrafo profundiza en la importancia de los determinantes y su papel en la historia de las matemáticas. Se discuten aplicaciones prácticas como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, donde el determinante ayuda a determinar si hay una solución única y se menciona el método de Cramer. También se explora cómo los determinantes son útiles en la geometría para calcular áreas y volúmenes tras aplicar movimientos a través de matrices, destacando la relación entre el cambio en el área y el valor del determinante. Se sugiere que, a pesar de su definición inicialmente complicada, los determinantes tienen una explicación matemática sólida y una larga historia en la matemática y la ciencia.
📚 Breve historia y curiosidades sobre los determinantes
El tercer párrafo ofrece un vistazo a la historia de los determinantes, mencionando su origen en China desde el siglo III a.C., mucho antes de la invención de las matrices. Se destaca la contribución de varios matemáticos famosos en el desarrollo de los determinantes y se comparte la curiosidad de que el cálculo de determinantes en la mente puede ser una técnica para conciliar el sueño. Además, se comenta que los determinantes, aunque pueden parecer inusuales o poco prácticos en un primer momento, tienen una profundidad y utilidad que van más allá de lo que se enseña comúnmente en los cursos iniciales de álgebra lineal.
Mindmap
Keywords
💡Determinante
💡Matriz
💡Álgebra Lineal
💡Sistemas de ecuaciones lineales
💡Método de Cramer
💡Matriz cuadrada
💡Matriz identidad
💡Transformaciones geométricas
💡Matriz 2x2 y 3x3
💡Factorial
Highlights
Los determinantes son una herramienta sorprendente en álgebra lineal, comparados con objetos de la vida cotidiana.
El álgebra lineal es una materia profunda y esencial en matemáticas, con determinantes como un elemento clave.
Las matrices, fundamentales en álgebra lineal, se componen de números en filas y columnas y tienen múltiples aplicaciones.
Las matrices cuadradas son las que tienen el mismo número de filas y columnas y son esenciales para definir determinantes.
El determinante es un número asociado a una matriz, útil para realizar cálculos en álgebra lineal.
Se puede calcular el determinante de una matriz 2x2 de manera sencilla a través de una fórmula directa.
El cálculo del determinante para matrices más grandes implica sumar productos de combinaciones de elementos de filas y columnas.
Las combinaciones para calcular el determinante de matrices grandes crecen rápidamente, lo que complica el proceso.
El determinante es crucial para resolver sistemas de ecuaciones lineales y entender la solubilidad de estos sistemas.
El método de Cramer es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes, aunque no es eficiente para sistemas grandes.
Las matrices y sus determinantes tienen aplicaciones en la geometría, como en el cálculo de áreas y volúmenes tras movimientos.
El determinante de una matriz relacionado con un movimiento en el plano, indica el cambio en el área de una figura.
En videojuegos, las matrices y sus determinantes son esenciales para simular movimientos en 3D y mantener áreas precisas.
El determinante ayuda a entender mejor las propiedades de las matrices, más allá de resolver sistemas de ecuaciones.
El determinante se utiliza para encontrar el polinomio característico de una matriz y tiene aplicaciones en física y áreas de ingeniería.
Aunque el cálculo del determinante puede ser tedioso, tiene una importancia histórica y teórica en matemáticas.
Los determinantes tienen una larga historia, conocidos en China desde el siglo tercero antes de Cristo, antes de las matrices.
Grandes matemáticos han trabajado con determinantes, lo que demuestra su importancia en el desarrollo de la matemática.
El determinante cumple con propiedades deseables en álgebra, como ser lineal y cambiar de signo al intercambiar filas.
Transcripts
de entre las muchísimas cosas
matemáticas que uno se encuentra en la
vida hay una particularmente
sorprendente y como venida de otro
planeta que son los determinantes hay
quien los ve por primera vez en
Secundaria fue mi caso y quien los ve
por primera vez en la universidad tienen
que ver con el álgebra lineal lo de las
matrices y todo eso Yo amo el álgebra
lineal Si no amas el álgebra lineal
Podemos ser amigos pero nada más no
quiero nada serio contigo que lo sepas
en cualquier curso de álgebra lineal que
se respete tiene que haber determinantes
pero Por qué si son una cosa como muy
rara vamos a acercarnos a este mundo y
no te asustes que empezaremos desde
[Música]
cero explicar álgebra lineal en un vídeo
de unos pocos minutos es imposible y
además no es conveniente porque es una
materia preciosa mucho más profunda de
lo que parece a simple vista y es una de
las causas principales de mi amor por
las matemáticas en este canal no se usa
el nombre del álgebra lineal en vano my
Friends pero sí que vamos a acercarnos
un poquito a un objeto un tanto extraño
dentro del álgebra lineal para que quien
quiera estudiar más sobre él pues pueda
motivarse un poco con este vídeo para
empezar hablemos de matrices una matriz
es una disposición en filas y columnas
de unos cuantos números si tiene n filas
y m columnas diremos que es una matriz n
por m por ejemplo aquí tienes una matriz
3x 4 si la matriz tiene el mismo número
de filas que de columnas se dice que es
una matriz cuadrada por ejemplo aquí
tienes una 2 por2 a partir de ahora
vamos a hablar solo de matrices
cuadradas que son para las que se define
el determinante sí Es verdad que hay
algunas generalizaciones chulas del
determinante para matrices no cuadradas
pero es que no quiero armar lío que
bastante tenemos con la vida así que
solo matrices cuadradas en este vídeo
los números de la matriz pueden ser
cualquiera de cualquier tipo pero para
lo que vamos a hacer aquí y para lo que
se suele hacer en secundaria o en primer
curso de universidad vamos a pensar que
son números reales o números complejos
las matrices son increíblemente útiles
en todas las ramas de las Matemáticas
tanto de las Matemáticas puras como de
las aplicadas si es que queremos hacer
esa distinción
son uno de los mejores inventos de la
humanidad y punto bueno pues vamos con
el determinante el determinante es un
número que asociamos a una matriz en
realidad es una función que asocia a
cada matriz un número vale Pero qué
número podría ser cualquier cosa es
verdad Pero vamos a elegirlo bien para
poder hacer cosas chulas con él
empezamos con un ejemplo para ir a la
definición general más adelante Mira
empecemos con la matriz cuadrada 2 por 2
de antes empiezo en la fila uno y cojo
el número de la columna un en este caso
El Seis lo multiplico por un número de
la fila dos que no sea el de la columna
un que ya la he elegido antes solo puedo
elegir el tres ahora los multiplico 6 *
3 18 he acabado no Mister volvamos a la
fila uno ahora cojo primero el número de
la segunda columna y lo multiplico por
alguna de la segunda fila que no sea de
la misma columna solo puede ser el uno
okay los multiplico 7 * 1 es 7 y como he
cambiado el orden natural de las
columnas una vez hago un cambio de signo
O sea me queda -7 Vale pues sumo los
resultados de esas dos selecciones que
he hecho y me queda 18 - 7 que es 11
Okay Ese es el determinante de esta
matriz Si en lugar de 6 7 1 y 3 pongo
números cualquiera a b c y d El
determinante me queda a * D - B por c
sencillo y fácil Sí sencillo Y fácil si
tu matriz es enana pero si es más grande
queé paciencia vamos con un ejemplo un
poquito más grande que es donde se
empiezan a ver las cosas pongamos que
tengo una matriz cuadrada 3x 3 esta por
ejemplo vamos a hacer lo mismo que antes
seamos ordenados que si no nos larem
elijo un número de la primera fila cojo
para empezar el de la primera columna el
uno ahora cojo uno de la segunda fila
que no sea de la columna que he elegido
antes cojo el de la columna dos que vale
cer0 ahora cojo uno de la tercera fila
que no sea de ninguna de las columnas
que he elegido antes solo puede ser el
de la tercera que es el tres multiplico
7 * 0 * 3 da 0 Okay primera combinación
hecha segunda combinación cojo el de la
primera fila primera columna como antes
ahora cojo el de la segunda fila tercera
columna y me queda libre el de la
tercera fila segunda columna como he
hecho un cambio de orden al resultado le
pongo el signo menos y me queda 1 * 12 *
7 pero con signo menos pues
-84 sigo así todo el rato ahora comienzo
por la fila 1o de nuevo pero elijo el
segundo número el tres y hago lo mismo
que antes en total puedo elegir seis
combinaciones de tres números uno de
cada fila de forma que no haya dos
columnas repetidas les pongo el signo
más o menos correspondiente a haber
hecho un número de cambios de orden paro
impar y lo suma todo listo ya tengo el
determinante en este ejemplo es 132 mira
aquí tienes las seis combinaciones para
que se vea mejor es bastante loco el
tema no podemos definir el determinante
en general como la suma con el signo
correspondiente de los productos de
todas las posibles combinaciones de
números que sean uno de cada fila y
todos sean de columnas diferentes en las
matrices 2 por 2 solo hay dos posibles
combinaciones de estas Ya lo hemos visto
y el cálculo del determinante es muy
rápido en las matrices 3x 3 hay seis
combinaciones podemos calcularlo
bastante rápido también en las de 4x 4
hay 24 posibles combinaciones y en las 5
por 5 hay 120 en general en las matrices
n por n hay n factorial combinaciones
válidas Y eso crece muy muy rápido por
ejemplo para matrices 10x 10 que no son
ninguna cosa loca hay más de 3 millones
y medio de combinaciones posibles cada
una de ellas es un producto de 10
números y luego hay que calcular los
signos y sumarlo todo y ese es el
determinante bastante loco Ya te lo digo
y entonces uno se pregunta por qué algo
tan extraño y tan largo de calcular ha
pasado a la historia de las Matemáticas
estudia en todo el mundo y hasta en
derivando le dedican un vídeo algo bueno
Tiene que tener porque si no no hay
quien se lo explique los matemáticos
somos raros pero todo tiene un límite
por otro lado A quién se le ocurre algo
asía santo de qué vamos primero con las
razones de estas movidas que no os
quiero dejar con la inquietud ya os he
dicho que las matrices son la estrellita
brillante del álgebra lineal y el
álgebra lineal tiene muchisísimas
aplicaciones Así que conocer bien las
matrices es algo absolutamente crucial
en matemáticas y resulta que el
determinante nos ayuda a conocer mejor a
las matrices os pongo un par de ejemplos
Me podría pasar horas poniendo ejemplos
eh ejemplo uno soluciones de sistemas de
ecuaciones lineales una aplicación top
del álgebra lineal es resolver sistemas
de ecuaciones lineales x + 2 y - 7 c es0
6x + y = 2 8x - 4i + 6z = 6 vale Este
estudiar estos sistemas puede ser algo
complicado pero lo que se puede hacer es
asociar una matriz al sistema con una
fila por cada ecuación y una columna por
cada incógnita y en cada casilla de la
matriz ponemos el coeficiente de esa
incógnita en esa ecuación por ejemplo en
el sistema este del ejemplo la matriz es
esta de aquí Bueno pues resulta que el
sistema tiene una solución única
precisamente cuando el determinante de
esta matriz es distinto de Cero en este
caso el determinante es 158 que no es
cero Así que este sistema tiene solución
única para encontrar la solución también
se puede usar el determinante hay un
bonito método que calculando unos pocos
determinantes te da la solución se llama
método de cramer Y aunque es bastante
útil en ciertas situaciones la verdad es
que para resolver sistemas de estos no
es lo más adecuado la razón es que ya
hemos visto que calcular determinantes
es bastante costoso cuando la matriz es
un poco grande y nadie en su sano juicio
utiliza determinant antes para resolver
sistemas de más de dos o tres ecuaciones
hay métodos mejores Como por ejemplo el
de gaus ya era raro que no saliera gaus
alguna vez en este vídeo es que lo hizo
todo este hombre la verdad segundo
ejemplo áreas y volúmenes las matrices
se aplican mucho en geometría por
ejemplo para realizar movimientos en el
plano como giros ampliaciones etcétera
los has visto mucho porque muchísimos
videojuegos simulan movimientos en 3D y
esos movimientos se calculan mediante
matrices prácticamente el movimiento de
la cámara consiste en ir aplicando
matrices Te cuento el caso de
movimientos del plano el del espacio de
tres dimensiones es muy similar voy a
simplificar bastante las cosas eh pero
te animo a que profundices en esto
porque es un tema bien chulo estos
movimientos en el plano que te digo
vienen dados por matrices dos por dos
Imagínate que el plano está cuadriculado
Y tenemos un origen al que llamamos el
punto 00 vamos a imaginar que los lados
de los cuadraditos miden uno y por tanto
su área también es uno y nos diamos en
las esquinas del primer cuadradito que
están adyacentes al origen son los
puntos de coordenadas 1 y 01 Vale
entonces una matriz 2 por 2 nos dice A
dónde se mueven esos puntos la primera
columna nos dice dónde se mueve el punto
10 y la segunda donde se mueve el punto
01 por ejemplo esta matriz de aquí mueve
el 10 al 30 y el 01 al 02 nos queda un
rectángulo así el movimiento este es
simplemente una ampliación date cuenta
de que el área que se forma en este
nuevo rectángulo con las nuevas esquinas
es seis y fíjate en una cosita Cuánto
vale el determinante de la matriz que ha
hecho este movimiento exactamente seis
casualidad no lo creo nada de casualidad
toda figura que estuviera en el plano
original y que hayamos movido mediante
esta matriz multiplica su área por seis
esto es muy cómodo para poder hacer
estos cálculos que sin esta herramienta
serían bastante más difíciles esto se
aplica en los videojuegos porque hay que
tener todo bien medido para saber si por
ejemplo estás en el áre de tiro de
alguien a veces los movimientos son más
complicados y no es tan fácil calcular
el área por otros medios Así que el
determinante es una buena ayuda en esta
situación Mira este por ejemplo la
matriz de este movimiento es esta de
aquí que tiene determinante uno así que
el área no ha cambiado el área del
cuadrito Era uno y ahora después del
movimiento también este movimiento
cambia la forma de las cosas pero
mantiene el área en tres dimensiones lo
que calcula el determinante son
volúmenes pero el funcionamiento es más
o menos igual y en más dimensiones Pues
también lo que pasa es que no hay
videojuegos en más dimensiones de
momento podría poner muchos más ejemplos
de usos del determinante en álgebra
lineal más que a calcular sistemas y
todo eso que hay métodos mejores nos
ayuda a comprender cómo son las matrices
pero Tiene muchos usos más allá se usa
para Hallar el polinomio característico
de una matriz hay determinantes que se
usan en problemas de ingeniería de
física en matemáticas aparecen en
lugares de lo más insospechados desde la
álgebra abstracta a las integrales o al
cálculo numérico la verdad es que es un
poco sorprendente todo esto porque la
definición que he dado al principio todo
eso de elegir un número de cada fila de
columnas distintas multiplicarlos luego
sumar todas las posibilidades suena
rarísimo pero la verdad es que tiene
todo el sentido y hay una explicación
bastante matemática Imagínate que quiero
diseñar una función que asigne un número
a cada matriz y que tenga unas buenas
propiedades por ejemplo quiero que la
función valga uno para un matriz que
tenga todo unos en la diagonal y cero en
las otras posiciones se llama matriz
identidad esta quiero Además que si
intercambio la posición de dos filas el
signo de la función de ese número cambie
quiero que si multiplico una fila por un
número la función resulte multiplicada
por ese número y quiero que si le sumo a
una fila un múltiplo de otra la función
no cambie estas propiedades tienen
interés en álgebra y nos interesan
funciones que las cumplan vale Pues
resulta que solo hay una exactamente una
función una sola manera de asignar
números a matrices que cumpla todo eso
sí el determinante no es nada casual que
el determinante sea tan importante es
verdad que los usos que se explican
normalmente en Secundaria en el primer
curso de universidad no son demasiado
jugosos y parece una cosa loquísima
salida de la nada y que no es tan útil
pero cuando lo conoces con más
profundidad te das cuenta de que es
importante y tiene mucha más chicha de
la que podrías imaginar Por cierto que
me he quedado sin deciros De dónde sale
todo todo esto Pues resulta que los
determinantes se conocen en China desde
el siglo tercero antes de Cristo y
flipas porque aunque Nosotros los usamos
siempre con matrices los determinantes
se conocen antes que las matrices
increíble pero cierto muchos de los más
grandes matemáticos de la historia han
trabajado con ellos como Lis gaus lag
grange kosi la pl jacobi entre muchos
otros Aunque el nombre se lo inventó
silvester ya ves que a veces lo que
hablamos en las mates de clase es solo
la punta de ver de objetos que tienen
una historia y una importancia inmensas
en las matemáticas y en la ciencia
además hacer determinantes tres por tres
mentalmente sirve para conciliar el
sueño si tienes insomnio Pruébalo hasta
el próximo vídeo
[Música]
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