Racines n-ièmes de l'unité • Cours • Comprendre comment les calculer • terminale maths expertes

Summary

Cette vidéo explique ce que sont les racines énièmes de l'unité et comment les calculer. Les racines énièmes sont les solutions complexes de l'équation \(z^n = 1\), où n est un entier naturel non nul. À travers des exemples comme les racines quatrième et cubique, la vidéo montre comment factoriser des équations et représenter graphiquement les solutions dans le plan complexe. Elle explore également la régularité géométrique des racines et leur représentation exponentielle. Enfin, elle conclut avec un exercice sur les racines sixième de l'unité, avec un lien vers la correction.

Takeaways

• 📏 Les racines énièmes de l'unité sont les solutions de l'équation zⁿ = 1 dans les nombres complexes.
• 📐 Les racines quatrièmes de l'unité sont 1, i, -1 et -i, formant un carré dans le plan complexe.
• 🧮 Pour trouver les racines énièmes, on utilise souvent la forme exponentielle des nombres complexes.
• 🌀 Les racines énièmes de l'unité sont régulièrement espacées sur le cercle unité, et leur module est toujours 1.
• 📚 En général, les racines énièmes sont écrites sous la forme exponentielle e^(2kπi/n) où k est un entier entre 0 et n-1.
• ⚙️ La factorisation de zⁿ - 1 permet de simplifier la résolution de l'équation pour trouver les racines.
• 🔍 L'exemple des racines quatrièmes montre comment on peut factoriser z⁴ - 1 en utilisant des identités remarquables.
• 🔄 Les racines cubiques de l'unité forment un triangle équilatéral dans le plan complexe.
• 📊 Pour les racines de degré supérieur à 2, on observe des polygones réguliers avec n côtés.
• 🎯 Les racines de différents degrés (3, 4, etc.) sont représentées par des polygones réguliers dans le plan complexe.

Q & A

Qu'est-ce qu'une racine énième de l'unité ?

Les racines énième de l'unité sont les solutions de l'équation z^n = 1, où n est un entier naturel non nul et z est un nombre complexe.

Comment trouver les racines énième de l'unité ?

Pour trouver les racines énième de l'unité, on résout l'équation z^n = 1 en factorisant cette équation et en utilisant des identités remarquables.

Quelle est la méthode de factorisation utilisée dans l'exemple pour n = 4 ?

Pour n = 4, l'équation z^4 - 1 = 0 est factorisée en (z^2 + 1)(z^2 - 1), puis chaque terme est à nouveau factorisé pour obtenir (z + i)(z - i)(z + 1)(z - 1).

Quelles sont les racines quatrième de l'unité ?

Les racines quatrième de l'unité sont 1, i, -1 et -i. Ce sont les quatre nombres complexes qui, élevés à la puissance 4, donnent 1.

Pourquoi les racines énième de l'unité se trouvent-elles sur le cercle unité ?

Les racines énième de l'unité sont des nombres complexes de module 1, ce qui signifie qu'elles se situent toutes sur le cercle de rayon 1 dans le plan complexe.

Quelle forme géométrique est formée par les racines quatrième de l'unité dans le plan complexe ?

Les racines quatrième de l'unité forment un carré régulier dans le plan complexe, car elles sont régulièrement espacées sur le cercle unité.

Quelle est la formule générale pour les racines énième de l'unité sous forme exponentielle ?

La formule générale pour les racines énième de l'unité est exp(i * 2π * k / n), où k est un entier allant de 0 à n-1.

Comment déterminer les racines cubiques de l'unité ?

Les racines cubiques de l'unité se trouvent en utilisant la formule exponentielle exp(i * 2π * k / 3), ce qui donne 1, j et j², où j = -1/2 + i√3/2.

Quel polygone est formé par les racines cubiques de l'unité dans le plan complexe ?

Les racines cubiques de l'unité forment un triangle équilatéral dans le plan complexe.

Quelles sont les propriétés des racines énième de l'unité ?

Les racines énième de l'unité ont toutes un module égal à 1 et forment un polygone régulier à n côtés dans le plan complexe lorsqu'elles sont représentées graphiquement.