14 Clasificación de sistemas lineales
Summary
TLDREn este video, exploramos los sistemas de ecuaciones lineales, detallando que existen tres tipos principales: sistemas compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles. Los sistemas compatibles determinados tienen soluciones únicas donde las rectas se intersectan en un punto debido a coeficientes no proporcionales. Los compatibles indeterminados poseen infinitas soluciones, representadas por rectas que son múltiplos exactos entre sí. Finalmente, los sistemas incompatibles, que no tienen solución, presentan rectas paralelas debido a coeficientes proporcionales pero términos independientes dispares. Este conocimiento es esencial para entender cómo abordar y resolver diferentes sistemas de ecuaciones en contextos matemáticos.
Takeaways
- 📚 Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser clasificados en tres tipos principales: compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
- 🔍 Un sistema compatible determinado tiene una única solución y se forma cuando las ecuaciones representan rectas que se cruzan en un único punto.
- 🤔 Los coeficientes de las ecuaciones son clave para determinar el tipo de sistema; en particular, la relación entre ellos indica si las rectas son paralelas, coinciden o se cruzan.
- 📈 Un sistema compatible indeterminado ocurre cuando las ecuaciones no son lo suficientemente diferentes como para proporcionar una única solución, lo que resulta en infinitas soluciones.
- 🔄 Para detectar un sistema compatible indeterminado, se verifica si los coeficientes de las ecuaciones están en proporción, lo que significa que las rectas son la misma, solo estiradas o comprimidas.
- 🚫 Un sistema incompatible no tiene solución porque las ecuaciones representan rectas paralelas que nunca se cruzan.
- ✅ Para identificar un sistema incompatible, se comprueba si los coeficientes de las ecuaciones están en proporción, pero los términos independes no lo están, lo que indica que no hay intersección.
- 📐 La gráfica de las ecuaciones en un sistema compatible determinado muestra dos rectas que se cruzan, mientras que en un sistema compatible indeterminado, se muestra una sola recta representando ambas ecuaciones.
- 🤷♂️ En el caso de un sistema incompatible, la gráfica muestra dos rectas paralelas que no tienen intersección, lo que significa que no hay solución al sistema.
- 🧐 La comprensión de estos tipos de sistemas es fundamental para resolver ecuaciones lineales y entender las relaciones entre las variables en un contexto matemático.
- 📚 Se espera que en futuras lecciones se profundice en cada uno de estos tipos de sistemas y se proporcionen ejemplos prácticos para ilustrar sus características y cómo se identifican.
Q & A
¿Qué tipos de sistemas de ecuaciones lineales existen?
-Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible.
¿Qué característica tienen los sistemas de ecuaciones compatibles determinados?
-Los sistemas compatibles determinados tienen una única solución, lo que significa que las rectas representadas por las ecuaciones se cortan en un único punto.
¿Cómo se identifica un sistema de ecuaciones compatible indeterminado?
-Un sistema compatible indeterminado se puede detectar porque las ecuaciones están en proporción entre sí, lo que significa que representan la misma recta en el plano.
¿Cuál es la característica distintiva de los sistemas de ecuaciones incompatibles?
-Los sistemas incompatibles no tienen solución porque las rectas que representan las ecuaciones son paralelas y nunca se cruzan.
¿Cómo se determina si dos ecuaciones están en proporción?
-Para determinar si dos ecuaciones están en proporción, se comparan los coeficientes de las incógnitas en ambas ecuaciones. Si los coeficientes corresponden a una proporción constante, las ecuaciones están en proporción.
¿Qué ocurre si las ecuaciones de un sistema son múltiplos entre sí?
-Si las ecuaciones de un sistema son múltiplos entre sí, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, ya que ambas ecuaciones representan la misma recta en el plano.
¿Por qué no se puede resolver un sistema de ecuaciones incompatibles?
-Un sistema de ecuaciones incompatibles no se puede resolver porque no existe un punto de intersección entre las rectas representadas por las ecuaciones, debido a que son paralelas.
¿Cómo se representa gráficamente un sistema de ecuaciones compatible indeterminado?
-Un sistema de ecuaciones compatible indeterminado se representa gráficamente por una sola recta, ya que ambas ecuaciones son múltiplos uno del otro.
¿Cuál es la importancia de la inclinación de una recta en el contexto de sistemas de ecuaciones lineales?
-La inclinación de una recta, determinada por los coeficientes de las ecuaciones lineales, es importante porque indica la dirección en la que se extiende la recta en el plano, lo que afecta a la posibilidad de intersección con otras rectas.
¿Cómo se identifica visualmente un sistema de ecuaciones incompatibles en un gráfico?
-Un sistema de ecuaciones incompatibles se identifica visualmente por dos rectas paralelas en el gráfico que no se cruzan, lo que indica que no hay solución común.
¿Qué sucede si las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales no están en proporción pero tampoco se cruzan?
-Si las ecuaciones de un sistema no están en proporción y no se cruzan, el sistema es incompatible y no tiene solución. Esto se puede ver gráficamente como dos rectas paralelas.
Outlines
📚 Tipos de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Este párrafo introduce y describe los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Se menciona que los sistemas lineales pueden ser clasificados en tres tipos principales: sistema compatible determinado, sistema compatible indeterminado y sistema incompatible. El sistema compatible determinado es el que hasta ahora se ha trabajado en los videos anteriores, el cual tiene una única solución. Se da un ejemplo de cómo, a través de la observación de los coeficientes, se puede determinar si dos rectas se cruzan en un único punto. Además, se introduce la idea de que los sistemas compatibles indeterminados tienen infinitas soluciones, ya que representan la misma recta, y los sistemas incompatibles no tienen solución alguna, ya que sus rectas son paralelas y no se cruzan.
🔍 Identificación de Sistemas de Ecuaciones
En este párrafo se profundiza en cómo identificar cada uno de los tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Se describe el proceso para distinguir entre sistemas compatibles determinados, indeterminados e incompatibles. Se utiliza el análisis de coeficientes para detectar si las ecuaciones son proporcionales y, por lo tanto, si representan rectas paralelas, la misma recta o dos rectas que se cruzan. Se destaca que los sistemas incompatibles son aquellos en los que las ecuaciones no son proporcionales y, por lo tanto, no tienen solución. Se menciona que la representación gráfica de estas ecuaciones puede ayudar a entender visualmente la naturaleza del sistema. Finalmente, se indica que en videos futuros se explorarán en detalle cada uno de estos tipos de sistemas con ejemplos.
Mindmap
Keywords
💡Sistema de ecuaciones lineales
💡Sistema compatible determinado
💡Sistema compatible indeterminado
💡Sistema incompatible
💡Rectas secantes
💡Inclinación de una recta
💡Coeficientes
💡Proporcionalidad
💡Soluciones de un sistema
💡Graficación de ecuaciones
💡Ecuaciones en el mismo plano
Highlights
Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible.
El sistema compatible determinado es el que hasta ahora conocemos y tiene una única solución.
En un sistema compatible determinado, las ecuaciones son representadas por dos rectas que se cortan en un punto.
Los coeficientes en las ecuaciones son responsables de la dirección o inclinación de las rectas.
El sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, ya que las ecuaciones son proporcionalmente iguales.
Las ecuaciones en un sistema compatible indeterminado son la misma ecuación escrita dos veces o son múltiplos entre sí.
Un sistema incompatible no tiene solución alguna, ya que las ecuaciones representan dos rectas paralelas.
Para identificar un sistema incompatible, se verifica que los coeficientes de las ecuaciones no son proporcionalmente iguales en los términos independientes.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver gráficamente representando las rectas y observando sus intersecciones.
El análisis de los coeficientes en las ecuaciones permite discernir el tipo de sistema al que pertenecen.
El sistema compatible determinado se caracteriza por tener coeficientes distintos en las rectas representadas.
En el sistema compatible indeterminado, las rectas son la misma, lo que implica que todas las soluciones son posibles.
El sistema incompatible se define por las rectas nunca se cortan, lo que significa que no hay intersección posible.
La gráfica de un sistema incompatible muestra dos rectas paralelas, evidenciando la falta de solución.
La proporción entre los coeficientes en las ecuaciones es clave para distinguir entre los tipos de sistemas.
Los sistemas compatibles indeterminados son coherentes pero no proporcionan una única solución.
Los sistemas incompatibles son mal definidos y carecen de soluciones posibles.
Se pueden aplicar métodos analíticos y gráficos para resolver y entender los sistemas de ecuaciones lineales.
Los conceptos de sistemas compatibles determinados e indeterminados son fundamentales en la resolución de ecuaciones lineales.
Transcripts
bueno pues ahora que estamos ya llegando
al final de este bloque de sistemas de
ecuaciones lineales nos llevamos esta
pequeña sorpresa y es que los sistemas
de ecuaciones pueden ser de diferentes
tipos tengo una clasificación de
sistemas de ecuaciones y de hecho todos
los sistemas que hemos trabajado en los
vídeos anteriores y en los ejercicios
son solo uno de los tres tipos de
sistemas que hay vale ya sabéis que los
sistemas de ecuaciones lineales son de
este estilo vale tienen un coeficiente
con la equis hemos llamado a un
coeficiente con la iv y luego hemos
llamado b y luego un número por ejemplo
c y luego otra ecuación que también
tiene sus coeficientes pues hemos
llamado a prima b prima y c prima vale
pues el primer tipo de sistema de
ecuaciones es el que llamamos sistema
compatible determinado que es el que
conocemos hasta ahora es un sistema
compatible que quiere decir que de
alguna manera está bien escrito que
tiene sentido y es determinado porque me
acaba dando una solución me determina
una solución de acuerdo un ejemplo de
sistema compatible terminado es por
ejemplo este y como sé yo que es un
sistema compatible determinado donde
tengo que mirar pues me voy a fijar en
él en los coeficientes que están con la
equis y con la y por qué porque esta
ecuación 3x es igual a menos 2 si yo la
represento me da una recta y de algún
modo esos coeficientes 3 y 1 los números
que están con ellos y con y son los
responsables de la dirección que tiene
esa recta de la inclinación que tiene
esa recta vale a la hora de dibujarla
pues es una recta que dio una cierta
inclinación entonces la siguiente
ecuación que también será una recta
tiene de coeficientes 2 y 4 y son
diferentes uno tiene cocientes 3 y 1 y
otro tiene de coeficientes 2 y 4 no
tiene nada que ver por lo tanto me
determinan dos rectas diferentes con
inclinaciones distintas que en algún
punto se van a cortar ya sabéis que
donde se cortan dos rectas es la
solución del sistema como sé yo que
estos coeficientes son diferentes por lo
vamos a hacer de esta manera porque si
divido para comprobar son proporcionales
me doy cuenta de que 3 entre 2 es
distinto que 1 entre 43 esa dos de
manera distinta que uno es a cuatro por
lo tanto esos son dos rectas con dos
direcciones distintas el sistema por lo
tanto compatible determinado cumple
requisitos ya en general ha partido de
la prima es distinto que ve partido debe
prima vale los coeficientes que van con
la equis y con like entonces estos
sistemas tienen una única solución y si
yo lo represento me dan dos rectas
secantes son dos rectas como hemos dicho
con inclinaciones distintas entonces se
cortan en un punto y ese punto es la
única solución que tiene el sistema
estos sistemas son los únicos que hemos
conocido hasta el momento hasta este
punto en los vídeos pero hay dos tipos
más de sistema
el sistema compatible indeterminado es
un sistema compatible porque es
coherente lo que está escrito por así
decirlo no es mentira pero es
indeterminado porque no es suficiente
para darme una solución un ejemplo del
sistema compatible indeterminado sería
este entonces voy a hacer como antes me
voy a fijar en los coeficientes de la
equis y la i que son 3 y 1 y luego me
fijo en los coeficientes que tiene la
segunda ecuación y son 6 y 2 vaya a unos
3 y 1 y otros 6 y 2 aquí pasa algo que
es lo que pasa pues fijaos que 3 entre 6
es lo mismo que 1 entre 2 es decir no
será que la ecuación de abajo es
simplemente el doble que la ecuación de
arriba pues como acabo de comprobar esto
fijándome ya definitivamente en los
números que son menos 2 y menos 4 y
efectivamente todo esto es igual a menos
2 entre menos 4 que me dice esto que la
ecuación de abajo no es una ecuación
distinta era la misma que la de arriba
multiplicada por dos si os descuenta la
ecuación de arriba era 3 x + 6 -2 y la
otra es el doble 6 x + 2 y es igual a
menos pero no es una ecuación diferente
cuando yo lo represente no me va a dar
una recta distinta me va a dar la misma
recta en el fondo era la misma ecuación
pero disfrazado un poco multiplicada por
2 pero es la misma y lo acabo de
detectar porque al dividir 3 entre 6 me
da lo mismo que 1 entre 2 y me da lo
mismo que menos 2 entre menos 4 así que
de modo general podemos decir que un
sistema compatible indeterminado se
puede detectar porque a / a prima es
igual que b / b prima y es igual que c /
c prima estos sistemas ya lo veremos más
adelante con más atención tienen
infinitas soluciones tienen soluciones
la verdad es que no están mal descritos
por así decirlo tiene soluciones
profesiones infinitas no tiene una única
solución y si yo represento esas dos
ecuaciones resulta que me sale en la
misma recta entonces como donde se
cortan dos rectas es la solución estas
dos rectas se están cortando todo el
rato todos los puntos de esas rectas son
soluciones pero claro hay infinitas
soluciones porque todo el rato se están
solapando en el fondo no es un sistema
con dos ecuaciones era una sola ecuación
pero escrita dos veces
y por último llamamos al sistema
incompatible este sistema no me va a dar
solución porque hay algo que está mal
está mal definido de alguna manera un
sistema incompatible podría ser éste y
como distingo yo que es un sistema
incompatible pues empieza como nosotros
me fijo en los coeficientes de la misma
ecuación 3 y 1 y me fijo en los
coeficientes de las segundas 6 y 2 y
digo uy qué casualidad 3 y 1 y el doble
6 y 2 entonces me fijo ya en bueno 3 en
36 es igual que 1 entre dos entonces me
fijo ya en los términos independientes
en estos números y me doy cuenta que 3
en 36 es igual que 1 entre 2 pero es
distinto que menos 2 entre 7 aquí de
repente el sistema la ecuación de abajo
ya no es proporcional a arriba tenía
pinta de que la ecuación de abajo iba a
ser el doble que la de arriba porque 3x
lo convierto en 6x más y lo convierte en
más dosis pero luego menos 2 no lo ha
convertido en el doble que es 4 es otro
número y entonces esto me genera un
sistema que no voy a poder resolver es
un sistema por lo tanto en el que a
partir de la prima es igual que b
partido prima pero me da distinto que ce
partir de prima y esta es la manera de
identificar un sistema de este estilo no
tiene solución no lo puedo resolver ni
gráficamente ni analíticamente si os
ponéis a intentar resolver este sistema
veréis y esos van a ir las equis y las
íes y os va a salir una cosa extraña y
si lo representa es que os va a salir
dos rectas paralelas porque porque
habíamos dicho que donde se cortan las
rectas esa es la solución como estos
sistemas no tienen solución resulta que
representan dos rectas paralelas que no
se van a cortar nunca entonces si yo
represento las dos ecuaciones es muy
sencillo ver enseguida qué tipo de
sistema es si son dos rectas secantes
que se cortan en punto es un sistema
compatible determinado si son la misma
recta que una sola para la otra porque
es la misma es un sistema compatible
indeterminado y si son dos rectas
paralelas nunca se van a cortar no puedo
sacar de ahí ninguna solución y es un
sistema incompatible esto es un esquema
en los siguientes vídeos vemos a fondo
cada uno de estos
tipos de sistema y vemos ejemplos
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