Derivadas (Regla del producto) 2

Summary

En este video se explica cómo aplicar la regla del producto para derivar una función que involucra multiplicación de términos. El ejemplo analiza la derivada de una función compuesta por dos partes: \(x^2 \cdot \ln(x)\) y \(2^x \cdot \log_{\pi}(x)\). Se utiliza la propiedad que permite derivar sumas de funciones, aplicando la regla del producto en cada caso. El proceso incluye derivar términos polinómicos, logaritmos naturales y logaritmos con bases específicas. El objetivo es obtener la derivada de cada término, repasando las fórmulas clave y su aplicación paso a paso.

Takeaways

• 🧮 En este video se va a continuar trabajando con la regla del producto.
• 🔢 La función que se va a derivar es F, que está compuesta por dos partes: x^2 * ln(x) + 2^x * log_base_pi(x).
• 📏 Para derivar esta función, se aplicará la regla del producto en ambas partes.
• ➗ La regla del producto implica derivar una función multiplicando el primer término derivado por el segundo sin derivar, más el primer término sin derivar por el segundo derivado.
• ➕ Las dos partes están separadas por una suma, lo que significa que se derivan por separado.
• 🔍 Para derivar x^2, se baja el exponente (2), y se resta uno al exponente.
• 📚 La derivada de ln(x) es 1/x, mientras que el logaritmo natural permanece.
• ✖️ La derivada de 2^x se calcula multiplicando por ln(2), ya que es una función exponencial.
• 🔗 Para el logaritmo en base pi, la derivada se obtiene usando la fórmula 1/(x * ln(pi)).
• 🎯 La derivada final combina todas estas reglas: la derivada de polinomios, exponenciales y logaritmos en base natural y en otras bases.

Q & A

¿Qué es la regla del producto en cálculo?

La regla del producto es una técnica utilizada para calcular la derivada de una función que es el producto de dos funciones. Consiste en derivar la primera función y multiplicarla por la segunda sin derivar, y luego sumar el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función.

¿Cómo se deriva una suma de funciones?

Para derivar una suma de funciones, se aplica la derivada a cada una de las funciones por separado y luego se suman los resultados.

¿Qué función se está derivando en el ejemplo del video?

La función F(x) que se deriva en el ejemplo es F(x) = x^2 * ln(x) + 2^x * logₚ(x), donde ln es el logaritmo natural y logₚ es el logaritmo en base pi.

¿Por qué se utiliza la regla del producto dos veces en este ejemplo?

Se utiliza la regla del producto dos veces porque hay dos productos de funciones en la expresión: uno entre x^2 y ln(x), y otro entre 2^x y logₚ(x).

¿Qué propiedad se utiliza cuando las funciones se suman antes de derivarlas?

Se utiliza la propiedad de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, es decir, se deriva cada función por separado.

¿Cuál es la derivada de x^2 en el ejemplo?

La derivada de x^2 es 2x, aplicando la regla de las potencias que indica que el exponente baja y se resta uno al exponente.

¿Qué fórmula se utiliza para derivar el logaritmo natural?

La derivada del logaritmo natural ln(x) es 1/x.

¿Cómo se deriva una función exponencial como 2^x?

La derivada de una función exponencial como 2^x es la misma función multiplicada por el logaritmo natural de la base, en este caso ln(2).

¿Cómo se deriva un logaritmo en base diferente a e, como logₚ(x)?

La derivada de un logaritmo en base a, como logₚ(x), es 1/(x * ln(a)), donde 'a' es la base del logaritmo. En este caso, la base es pi.

¿Cuál es el resultado final de la derivada de la función F(x)?

El resultado final de la derivada de F(x) incluye la suma de dos partes: 2x * ln(x) + x^2 * (1/x) para la primera parte, y 2^x * ln(2) * logₚ(x) + 2^x * (1/(x * ln(pi))) para la segunda parte.