Reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann | Khan Academy en Español
Summary
TLDREn este video se muestra cómo reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann. El ejemplo utilizado es la integral del coseno entre pi y 2pi, destacando que partes de la integral se cancelan mutuamente. Se explica cómo descomponer el área bajo la curva en rectángulos, calcular su base y altura, y establecer una suma de Riemann por la derecha. El propósito es mostrar cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos, mientras el número de divisiones tiende a infinito, logrando una mejor estimación.
Takeaways
- 🧮 Se practica la reescritura de integrales definidas como el límite de una suma de Riemann.
- 📉 El ejemplo utiliza la integral definida de coseno de x, de pi a 2 pi.
- 🎨 Se menciona cómo luce la gráfica del coseno en ese intervalo, con valores específicos en pi y 2 pi.
- ➗ Se descompone el intervalo en n rectángulos para crear la suma de Riemann.
- 📏 La base de cada rectángulo es la diferencia entre los límites de integración, pi y 2 pi, dividida entre n.
- 📐 La altura de los rectángulos se define usando el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo.
- 🔁 Se utiliza una suma de Riemann por la derecha, calculando alturas en función del valor de la función coseno.
- 📊 La integral definida representa el área entre la curva y el eje x en ese intervalo.
- ⚖️ Se menciona que partes de la integral son negativas y otras positivas, lo que lleva a la cancelación y un valor final de 0.
- 📝 El propósito es expresar la integral como una suma de Riemann tomando el límite cuando n tiende a infinito.
Q & A
¿Qué es una suma de Riemann?
-Una suma de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva al dividir el intervalo de la integral en subintervalos pequeños y sumar las áreas de los rectángulos formados.
¿Cómo se relaciona una suma de Riemann con una integral definida?
-Una integral definida se puede expresar como el límite de una suma de Riemann cuando el número de subintervalos tiende a infinito, lo que hace que la aproximación del área bajo la curva sea más precisa.
¿Qué representa la gráfica del coseno entre π y 2π?
-La gráfica del coseno entre π y 2π va desde -1 en π hasta 1 en 2π, lo que forma una curva que pasa por valores negativos y positivos.
¿Por qué la integral definida entre π y 2π del coseno de x es igual a 0?
-La integral definida es igual a 0 porque las áreas bajo la curva entre π y 2π se cancelan mutuamente: la parte negativa compensa la parte positiva.
¿Cómo se calcula la base de los rectángulos en una suma de Riemann?
-La base de cada rectángulo se calcula tomando la diferencia entre los límites de integración (2π - π) y dividiendo esa diferencia por n, es decir, π/n.
¿Cómo se determina la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?
-La altura de cada rectángulo se determina evaluando la función en el extremo derecho de cada subintervalo. Por ejemplo, la altura en el primer subintervalo es f(π + π/n).
¿Cuál es la forma general para la altura de los rectángulos en una suma de Riemann por la derecha?
-La forma general de la altura de los rectángulos es f(π + k(π/n)), donde k es el número del subintervalo, y n es el número total de intervalos.
¿Qué sucede con el área de los rectángulos cuando n tiende a infinito?
-Cuando n tiende a infinito, el área de los rectángulos se aproxima cada vez más al área exacta bajo la curva, y la suma de Riemann converge a la integral definida.
¿Cómo se expresa una integral como el límite de una suma de Riemann?
-Una integral se expresa como el límite de una suma de Riemann tomando la suma de las áreas de los rectángulos y haciendo que el número de rectángulos, n, tiende a infinito.
¿Qué importancia tiene el concepto de la suma de Riemann en el cálculo?
-La suma de Riemann es fundamental en el cálculo porque ofrece una manera intuitiva de entender las integrales definidas como el área bajo una curva, aproximándolas a través de sumas de áreas de rectángulos.
Outlines
📐 Practica de Reescritura de Integrales
El videomuestra cómo reescribir una integral definida como el límite de una suma de Riemann. Se explica que la integral definida de cos(x) de π a 2π se puede descomponer en rectángulos para representar el área bajo la curva. Se detalla el proceso de tomar el límite cuando n tiende a infinito, y cómo cada rectángulo se define por su altura (valor de la función en el punto de su extremo derecho) y su base (el intervalo dividido entre n). Además, se menciona que la integral da como resultado un área nula debido a que las áreas positivas y negativas se cancelan mutuamente.
Mindmap
Keywords
💡Integral definida
💡Suma de Riemann
💡Límite cuando n tiende a infinito
💡Coseno de x
💡Rectángulos
💡Base de los rectángulos
💡Altura de los rectángulos
💡Intervalos iguales
💡Área bajo la curva
💡Función continua
Highlights
Reescritura de una integral definida como el límite de una suma de Riemann.
La integral definida de coseno de x desde pi hasta 2 pi es igual a 0 debido a que las áreas positiva y negativa se cancelan.
La integral definida representa el área entre la curva y el eje x en un intervalo dado.
Descomposición del intervalo de integración en n rectángulos para obtener la suma de Riemann.
La base de cada rectángulo se obtiene dividiendo el intervalo de integración entre n.
La altura de cada rectángulo está definida por el valor de la función en el extremo derecho del rectángulo.
El intervalo de integración va de pi a 2 pi, y la diferencia entre los límites de integración se divide entre n.
La suma de Riemann por la derecha usa el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo.
La altura del primer rectángulo se obtiene evaluando la función en pi más pi entre n.
La altura del segundo rectángulo se obtiene evaluando la función en pi más dos veces pi entre n.
La forma general para la altura en la suma de Riemann por la derecha es evaluar en pi más (i por pi entre n).
La base de cada rectángulo es constante y es pi entre n.
Cada rectángulo tiene una base y una altura definidas, lo que permite aproximar el área bajo la curva.
Al tomar el límite cuando n tiende a infinito, la suma de Riemann se aproxima a la integral exacta.
El proceso de reescribir una integral como el límite de una suma de Riemann permite comprender mejor la definición de la integral.
Transcripts
vamos a practicar reescribiendo
integrales definidas como el límite de
una suma de riman digamos que tenemos la
integral definida que va de p2p de
coseno de x de x lo que quiero hacer es
reescribir esto como el límite cuando n
tiende a infinito de una suma de riman
ponemos nuestra notación sigma que va
desde igual a uno hasta n lo movemos un
poco para que se vea bien vamos a
escribir lo que sucede aquí para darnos
una idea de lo que tenemos que escribir
dentro de la notación sigma aquí tenemos
que acá tenemos tres pi entre dos y aquí
tenemos dos pi como luce la gráfica de
coseno de x el coseno depp y es menos 1
que ponemos aquí y el coseno de 2 pi es
igual a 1 que ponemos acá por lo que la
gráfica va a verse más o menos así
aunque es algo que estoy dibujando a
mano así que no me va a quedar muy
exacto que digamos pero ustedes ya han
visto la gráfica de un coseno con
anterioridad
integral definida representa el área que
va desde pi hasta 2 pi entre la curva y
el eje x seguro ya se dieron cuenta de
que esta parte de la integral definida
va a ser negativa y esta otra parte de
la integral definida va a ser positiva
por lo que se cancelarán mutuamente así
que todo esto será igual a 0 en este
caso pero el propósito de este vídeo es
reescribir esto como el límite cuando n
tiende a infinito de una suma de riman
para obtener la suma de riman lo que
tenemos que hacer es descomponer esto en
n rectángulos vamos a dibujarlos y vamos
a escribir la suma de herriman en donde
el extremo derecho de nuestro rectángulo
tiene el valor de la función en ese
punto
esto es lo que define la altura
continuamos así hasta llegar a nuestro
último rectángulo
aquí tenemos igual a 1 aquí igual a 2 y
seguimos hasta llegar ahí igual a n y si
tomamos el límite cuando n se aproxima a
infinito
el área de los rectángulos va a ser
mejor cada vez ahora pensemos en cuál
será la base de cada uno de estos
rectángulos estamos tomando el intervalo
que va de pi hasta 2 pie y vamos a
dividirlo entre n intervalos iguales de
manera que la base de cada rectángulo va
a ser 2 p - pi entre n tomamos la
diferencia entre los límites de
integración de nuestra integral y la
dividimos entre n que es igual ap / m
esto mide la base de cada uno de estos
rectángulos y cuál será la altura de
cada uno de estos rectángulos recuerden
que esta es una suma de riman por la
derecha por lo que el lado derecho de
nuestro rectángulo es el que definirá la
altura por ejemplo cuál será esta altura
de acá
este valor es igual a efe de que esto es
pi y a esto le sumamos la base del
rectángulo que es p / n así que es fdp
más pi entre n por 1
esto es esta altura de aquí cuál será
esta altura de aquí ésta es fdp nuestro
comienzo y le sumamos pi entre n y lo
multiplicamos por 2 la forma general del
extremo derecho va a ser
fd comenzamos aquí en más
estamos haciendo la suma de riman por la
derecha agregamos pi entre n por n o si
queremos ver la forma general del décimo
rectángulo cuando lo sumamos todos en
este caso la altura será coseno de pi
más para el décimo rectángulo sumamos pi
entre n iv veces esta es la altura de
cada uno de nuestros rectángulos cuál es
la base está ya la habíamos encontrado
espí entre n seamos cuidadosos con la
anotación para hacer que esto aplique a
toda la expresión y ya tenemos lo que
nos piden le expresamos esta integral
definida como el límite de una suma de
riman por la derecha
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