11. Integración de funciones trigonométricas inversas (cálculo integral)
Summary
TLDREn esta clase de cálculo integral, se explora la integración de funciones trigonométricas inversas, un tema relevante en campos como la construcción, electrónica y astronomía. Se presentan reglas básicas y técnicas de integración para resolver integrales de este tipo. Se abordan ejemplos prácticos, como la integral de la raíz cuadrada de una constante menos una función al cuadrado, y se explica cómo reconocer patrones en el denominador para aplicar la fórmula correcta de integración, como el seno inverso, tangente inverso y secante inverso. El enfoque es en enseñar a los estudiantes a identificar patrones y aplicar las fórmulas de integración apropiadas.
Takeaways
- 📚 Hoy se aborda la integración de funciones trigonométricas inversas en la clase de cálculo integral.
- 🔍 Se estudian técnicas de integración específicas para resolver integrales de funciones trigonométricas inversas.
- 📐 Se menciona que estas funciones son ampliamente utilizadas en campos diversos como construcción, electrónica y astronomía.
- 📘 Se presentan reglas básicas para el cálculo de integrales de este tipo, incluyendo fórmulas de integración clave.
- 🧮 Se destaca la importancia de reconocer patrones numéricos en el denominador para aplicar las fórmulas de integración correctas.
- 📐 Se explica cómo integrar funciones de la forma \( \sqrt{a^2 - x^2} \) utilizando la función seno inverso.
- 📘 Se da un ejemplo práctico de integración donde se identifica y aplica la fórmula correcta para la función dada.
- 🔢 Se abordan diferentes formatos de integrales, como aquellas con la función al cuadrado en el denominador y la raíz en el numerador.
- 📝 Se enseña cómo realizar la integración cuando el numerador tiene una función al cuadrado y el denominador una constante más la función al cuadrado.
- 📖 Se presentan ejemplos que muestran cómo integrar funciones con patrones específicos, resultando en funciones trigonométricas inversas como el seno, tangente y secante inversos.
Q & A
¿Qué tema se aborda en la clase de cálculo integral mencionada en el guion?
-Se aborda la integración de funciones trigonométricas inversas.
¿Cuál es el libro utilizado en la clase de cálculo integral?
-El libro utilizado es de umbral.
¿En qué campos se aplican las funciones trigonométricas inversas según el guion?
-Las funciones trigonométricas inversas se aplican en campos diversos como la construcción, electrónica y astronomía.
¿Cuál es la fórmula básica para integrar la raíz cuadrada de una constante menos la función al cuadrado?
-La integral de dv, la raíz cuadrada de a al cuadrado menos x al cuadrado, es igual a seno inverso de x sobre a más una constante.
¿Cómo se puede representar el seno inverso en términos de notación matemática?
-El seno inverso se puede representar como 'arcsen' o 'sen^-1'.
¿Qué es el patrón numérico que se identifica para integrar funciones de la forma (a^2 - x^2)^(1/2)?
-El patrón numérico es una raíz cuadrada de una constante al cuadrado menos la función al cuadrado.
¿Qué es la integración directa y cómo se aplica en el ejemplo del guion?
-La integración directa es cuando se puede integrar una función sin utilizar métodos adicionales como la substitución. En el ejemplo, la integración de (x/√(a^2 - x^2)) se resuelve directamente identificando el patrón y aplicando la fórmula correspondiente.
¿Cuál es la fórmula de integración para una función en la forma (a^2 + x^2)^(1/2)?
-La integral de dv, donde dv es (a^2 + x^2)^(1/2), es igual a 1/a * arctan(x/a) más una constante.
¿Cómo se identifica la constante 'a' en la fórmula de integración para funciones de la forma (a^2 + x^2)^(1/2)?
-La constante 'a' se identifica como el número real que elevado al cuadrado da la constante que está en el denominador de la raíz cuadrada.
¿Qué significa el término 'secante inversa' en el contexto de integración de funciones trigonométricas inversas?
-La 'secante inversa', representada como 'arcsec' o 'sec^-1', es la función inversa de la secante y se utiliza en la integración de funciones que tienen un patrón específico donde la función está al cuadrado menos una constante al cuadrado en el denominador.
¿Cómo se aborda la integración de funciones con la forma x/√(a^2 - x^2) en el guion?
-Se aborda identificando la constante 'a', reconociendo el patrón numérico y aplicando la fórmula de integración correspondiente, que en este caso es la integral de x/√(a^2 - x^2) que da como resultado el seno inverso de x/a más una constante.
Outlines
📚 Introducción a la Integración de Funciones Trigonométricas Inversas
En este primer párrafo, se presenta el tema de la clase de cálculo integral, enfocándose en la integración de funciones trigonométricas inversas. Se menciona que estas funciones son importantes en campos diversos como la construcción, la electrónica y la astronomía. Se destacan las reglas básicas para el cálculo de integrales de este tipo, como la integral de la raíz cuadrada de 'a' menos 'x' al cuadrado, que se relaciona con el seno inverso de 'x' sobre 'a'. Además, se aclaran las notaciones equivalentes para el seno inverso, como 'arcsen' en inglés y sus abreviaciones en español. Se da un ejemplo práctico de cómo integrar una función que sigue este patrón, donde se identifica la constante 'a' y se resuelve la integral utilizando la función seno inverso.
🔍 Análisis de Ejemplos de Integración con Funciones Trigonométricas Inversas
Este párrafo profundiza en el análisis de ejemplos específicos para la integración de funciones que involucran a trigonometría inversa. Se discuten dos fórmulas de integración distintas, una relacionada con la tangente inversa y otra con la secante inversa, dependiendo de la estructura algebraica de la función a integrar. Se presentan ejemplos donde se identifican las constantes y las funciones relevantes para cada caso, y se resuelven las integrales aplicando las fórmulas correspondientes. Se enfatiza la importancia de reconocer patrones en el denominador para determinar qué tipo de función trigonométrica inversa se debe utilizar en la integración.
📘 Desarrollo de Técnicas de Integración para Funciones Trigonométricas Inversas
En este tercer párrafo, se continúa con la exploración de técnicas de integración, abordando casos donde la función a integrar tiene una raíz cuadrada en el denominador y una función al cuadrado en el numerador. Se analiza un ejemplo donde se identifica la constante 'a' y se procede a integrar utilizando la función secante inversa. Se destaca la importancia de la identificación de patrones y la aplicación de las fórmulas de integración correspondientes. Se menciona la necesidad de realizar operaciones algebraicas adicionales una vez identificado el patrón, como la reducción de fracciones o la simplificación de términos dentro de los paréntesis.
🔚 Conclusión de la Clase de Cálculo Integral
Este párrafo finaliza la clase de cálculo integral con una mención al día de mañana, sugiriendo que se continuará con más ejemplos y prácticas en la integración de funciones trigonométricas inversas. Se refleja la intención de que los estudiantes practiquen y se familiaricen con la identificación de patrones y la aplicación de las técnicas de integración aprendidas durante la clase.
Mindmap
Keywords
💡Integración de funciones trigonométricas inversas
💡Clase de cálculo integral
💡Libro de umbral
💡Fórmulas de integración
💡Seno inverso
💡Constante
💡Diferencial
💡Substitución
💡Campos
💡Arco seno
💡Integración directa
Highlights
Clase de cálculo integral con el libro de umbral.
Integración de funciones trigonométricas inversas.
Funciones trigonométricas inversas aplicadas en campos como construcción, electrónica y astronomía.
Reglas básicas para el cálculo de integrales de funciones trigonométricas inversas.
Fórmula de integración: integral de dv, raíz cuadrada de a^2 - x^2 = seno inverso de x/a + C.
Explicación de la integración a través de la función seno inverso.
Ejemplo de integración: integral de x sobre la raíz cuadrada de 16 - x^2.
Identificación de patrones numéricos en integrales para integración a través de funciones trigonométricas inversas.
Fórmula de integración: integral de 1/(a^2 + x^2)^(3/2) = 1/a * secante inverso de x/a + C.
Ejemplo de integración con variable t en lugar de x.
Integración de funciones con formato a^2 + x^2, utilizando la tangente inversa.
Ejemplo de integración con constante 25 y función 9, utilizando la tangente inversa.
Uso de la substitución y simplificación en la integración de funciones.
Fórmula de integración: integral de (a^2 - x^2)^(1/2) / x = 1/a * tangente inversa de x/a + C.
Integración de funciones con formato x^2 - a^2, utilizando la secante inversa.
Ejemplo de integración con raíz de 6 y función al cuadrado, utilizando la secante inversa.
Identificación de patrones en integrales para integración a través de funciones trigonométricas inversas.
Desarrollo de la actividad 5, integración de múltiples ejemplos para reconocer patrones y fórmulas de integración.
Transcripts
o la palabra que vamos a ver hoy en muy
buenos días
estamos en la clase de cálculo integral
con el libro de umbral y que vamos a ver
hoy pues algo bien interesante
integración de funciones trigonométricas
inversas
este bloque es integrar integrar e
integrar y ver varias técnicas de
integración para que podamos resolver
muchos tipos de integrales hoy vamos a
abordar la integración de funciones
trigonométricas inversas creo que dice
aquí las funciones trigonométricas
inversas aparecen ampliamente en la
resolución de problemas de campos tan
diversos como aquellos que tienen que
ver con la construcción la electrónica y
la astronomía en esta sección
estudiaremos los procedimientos
utilizados para el cálculo de integrales
de funciones trigonométricas inversas a
continuación se enlistan las reglas
básicas para el cálculo de este tipo de
integrales es decir las fórmulas de
integración mirad si una es una función
de variable real x ya es un número real
distinto de cero entonces se va a
cumplir que la integral
de dv
la raíz cuadrada de agua dar menos 1
cuadrada es igual a seno inverso
de un sobre a
más
entonces si nos dan una integral en la
cual reconozcamos este patrón numérico
más bien este patrón iba a ser un médico
bueno si es un patrón numérico en el
cual en el denominador tenemos una raíz
cuadrada de una constante menos una
función a cuadrada es una constante
menos o cuadrada es una función y arriba
es tl
entonces tengo que pensar en que va a
ser o voy a poder integrar a través de
la función 0 inverso no hay que
olvidarnos por si algún día les otro
formulario que la puedes encontrar como
arco seno
o con sus abreviaciones arq
también en inglés arc
en inglés sería sin tierra
de un sobre a hacer al final nos va a
dar la fusión entre la constante más
esta anotación y esta anotación
significan absolutamente lo mismo nada
más son dos formas de decir
inverso del seno
ya sabemos que la función harto se no es
el inverso la hemos utilizado ya desde
hace algún tiempo si tenemos el seno de
un poco el seno de un ángulo igual a tal
valor podemos calcular a partir de ese
valor con la función al consell o cuál
es el ángulo que lo generó hacemos un
ejemplo sale hagamos un ejemplo que es
voy a borrar por aquí arriba y ahora
voy a subir esto lo voy a tener que voy
a poner la adquirir la integrada por
donde no estorba por aquí la integral de
déu /
la raíz cuadrada de a cuadrada menos
cuadrada es igual a seno inverso de
quien de un sobre a
más sed
es así pero así es muy bien pues voy a
dar un ejemplo mira qué te parece si
agarramos esto la integrante de x entre
la raíz de 16 - x cuadrada
que tengo que analizar bueno tengo que
analizar de qué forma está y digo sí sí
tengo un diferencial puede ser que tengo
una constante además que la podría sacar
su sería lo de menos
encuentro que hay una constante elevada
al cuadrado pues qué creés el 16 es una
constante elevada al cuadrado verdad y
veo aquí que una cuadra de una función
aquí está mi función x elevada al
cuadrado muy bien que puedo saber a
partir de ahí y déjame ver dónde lo
anoto aquí en la pantalla pues yo cuando
sabe a partir de aquí que tengo una
cuánto valdría
al cuadrado aquí dice a cuadrada igual a
16 por lo tanto yo sé que a es igual a 4
así a cuadrada es igual a 16
y cuánto vale un pues sería igual si un
cuadrada y aquí tengo x 4
si uno agrada es igual a equis cuadra
pues y es igual a ellos
de aquí aquí mismo pude te pude haber
dicho lo mismo si a cuadrado es igual a
16 pues a es igual a 4
que me falta ya identifique que es igual
a 4 o igual a equis o ye l x me falta
nada más verificar si derivó con
respecto a x cuando la la derivada de x
pues es un paso esté multiplicando para
acá y me queda que de eeuu es igual a
leer
pues aquí me decía que si yo tenía uno
debería de tener de uno pues si yo tengo
x tengo t y solita dv es igual a de x
entonces es una integral directa no
tengo que utilizar el método de la
substitución no tengo que utilizar nada
y nada más tengo y digo pues ésta
integral es el seno inverso de uno que
vale x sobre a que vale cuatro más y
listo se acabó
y ahora tenemos otro ejemplo y otra
fórmula de integración fíjate como hasta
este formato de entre a cuadrada más
cuadrada una constante elevada al
cuadrado más
una función elevada al cuadrado aquí ya
no hay el operador raíz y cuando
encuentres de esta forma su resultado va
a ser 1 sobre a tangente inversa de un
sobre a maze
este ejemplo que nos están dando aquí
vemos
el formato aquí este en lugar de de
euros tengo de es una integral de la
variable te no todos van a venir con x
también puede vivir con la variable t
sin problema y mira aquí que tengo algo
al cuadrado sí porque 25 es el cuadrado
de 5 más 9 está encuadrada si una
función elevada
entonces qué podemos decir aquí mira a
cuadrada es igual a 25 por tanto a es
igual a 5 es decir si a es igual a 5 a
cuadrar es igual a 25 vemos aquí que
también está la función o igual a 9 en
cuadrado pero igual a igual a nuevamente
cuadradas estoy tomando el modelo si yo
le sacó realizamos vamos aquí tengo que
uno es igual a tres t
pero ahora vamos a ver el diferencial de
que esto pues derivamos dv con respecto
a dt es igual a 3
voy a pasar este parque y este para acá
de 1 entre 3
es igual al diferencial de t
ahora ya puedo proceder voy haciendo las
substituciones este 30 como es una
constante lo puedo poner aquí afuera sin
ningún problema y entonces esto se
convierte en 30 integral de quien debe
de entre 25 más 9 cuadradas pero cuidado
porque todavía no hacemos las
conversiones fíjate como sdt es de 1
sobre 3 entonces yo voy a poner para
armarlo pues que voy a poner esto igual
a 30 integral
quienes desde 2 sobre 6
dv entre tres en tres
ahora sí ya puedo ver que este era este
25 esas cuadradas
más o cuadrada y ya la tengo de la forma
que está acá ya puedo proceder a la
integración solamente ese 3 que está ahí
en el denominador va a pasar para
trabajo y metiera 30 entre 3
si en general
ya me quedo de la forma y entonces ya
íntegro mejor aquí y digo esto es 30
entre 3 tarjetero menos 1
ahora falta la fórmula dice 1 / a cuánto
vale a 5 entonces uno entre 5 tangente
al menos 1 tangente inversa de uno tiene
sus 3
quién es
5
más
se ve bien en la pantalla de repente
pierdo
si se ve muy bien pero ahora me falta
hacer estas operaciones
33 10 entre 52
o lo que es lo mismo 3 por 5 15 30 entre
15 2 tangente inversa de 3
sobre 5
más si hubiera que estos números centros
del argumento es decir dentro del
paréntesis si los pudiera yo y hacer
alguna reducción pues lado hacia la
fracción o hacia el entero sin ningún
problema
que está vistiendo este formato fíjate
que algún día vas a encontrar un formato
donde hay una función en el denominador
multiplicando a un radical y ahora está
al revés es la función al cuadrado menos
a cuadrado
si identificas esta forma entonces sus
formas de integración o la integral es 1
sobre la secante inversa de un sobre a
más c
llamamos a este último ejemplo fíjate
bien cómo
ahora tengo el dv arriba y en el
denominador tengo una función y que
multiplica a la raíz de un cuadradas
menos a cuadrado la función al cuadrado
menos una constante al cuadrado pero
fíjate que esa misma función entonces
esta debe ser la raíz de esta vamos a
analizar yo digo que un cuadrado es
igual a ye 6a
si saco raíz cuadrada de ambos lados
como la voy a escribir de otra forma
para que veas
mejor dicho jugados entre 2 y le estoy
sacando raíz cuadrada y aquí también le
estoy sacando raíz cual lo que me queda
aquí y igual a quien 6 entre 23 y que
crees que al cubo está que encuentro acá
por tanto 1 si es llega al cubo
aquí la tengo y aquí la tengo al
cuadrado por si te acordabas o si no
tres por 12-6 y rápidamente verificó que
aquí sí está el cuadrado de mi función
pero ahora a partir de aquí obtengamos
el de lebu qué cosa es el debú con
respecto al eje es igual a vamos a
derivar estos tres pie cuadrado 3 y el
cuadrado
ahí está por la derivada de ella con
respecto al 1 por igual viendo que este
3 llegó adrada está aquí si despejó y
dijo el dedo es igual a 3
cuadradas de y pues no me preocupa nada
porque vengo está aquí arriba igualito 3
y cuadrada de ella
y entonces ya tengo todos los elementos
pero me falta uno a cuadrada igual a
nueve por tanto a es igual a tres a
cuadrada es igual a nueve por tanto a es
igual a tres y identifique todo el
patrón y veo que se trata de mí integrar
el que me da como resultado en la
secante inversa que debo de hacer pues
lo primero a escribir uno sobre a voy a
integrar de una vez un tercio la
integral de todo esto dado que está
completa y directa un tercio secante al
menos 1 secante inversa secante inversa
es la forma correcta de decirlo de un
sobre a cuánto vale vale que kubica
cuidado aquí dice es la función
en el cuadrado entonces
sobre 3
más
no me olvido de mi constante de
integración y ahí tienes todo ahí tienes
que te toca el desarrollo de la
actividad 5 ya te hice una esta última
es decir vas a integrar muchos ejemplos
estaban y son tantos 1 2 3 4 5 de qué se
trata
que reconozcas qué tipo de función
tenías vimos 3 la integral que me da
como resultado el seno inverso la
segunda es la tangente inversa y la
tercera es lacerante inversa y ahí
tienes tres ejemplos que debo de
reconocer el patrón del denominador eso
me va a dar la clave para saber cuál
fórmula de integración utilizó
muy sencilla que estés muy bien nos
vemos el día de mañana
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