DÉMONTRER qu'un quadrilatère est un PARALLÉLOGRAMME - Cinquième

Summary

Dans cette vidéo, l'objectif est de prouver que le quadrilatère ABCD construit à partir de deux cercles et de leurs diamètres est en réalité un parallélogramme. Cela est démontré en utilisant la propriété des parallélogrammes où les diagonales se croisent à leur milieu. La preuve repose sur le fait que les points d'intersection des diagonales coïncident avec le centre commun des deux cercles, prouvant ainsi que les diagonales se croisent effectivement à leur milieu, conformément à la définition d'un parallélogramme.

Takeaways

• 📐 Un quadrilatère est une figure avec quatre côtés ou quatre sommets.
• 🥳 Un parallélogramme est un quadrilatère ayant les côtés opposés parallèles.
• 📌 La vidéo montre comment construire un parallélogramme à l'aide de cercles et de leur intersection.
• 🔍 La preuve d'un parallélogramme repose sur des propriétés mathématiques étudiées dans le cours.
• 🎯 Les diagonales d'un parallélogramme jouent un rôle clé dans la preuve de sa structure.
• 💡 Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
• 📐 Les diamètres des cercles utilisés dans la construction sont également les diagonales du parallélogramme.
• 🔗 Le centre des cercles est le point d'intersection des diagonales du parallélogramme.
• 📝 La preuve repose sur la démonstration que les diagonales se coupent bien en leur milieu.
• 🤔 La construction de départ et la compréhension des propriétés des cercles sont essentielles pour établir la preuve.
• 🎓 La démonstration mathématique suit une structure précise : identification de la propriété à utiliser, démonstration de la condition, et conclusion.

Q & A

Qu'est-ce qu'un quadrilatère?

Un quadrilatère est une figure géométrique qui possède quatre côtés ou quatre sommets.

Que définissez-vous comme un parallélogramme?

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Comment la vidéo montre-t-elle la construction d'un parallélogramme?

La vidéo montre la construction d'un parallélogramme en utilisant deux cercles et en prenant des points d'intersection pour relier les points et former le quadrilatère.

Quels sont les deux segments pointillés mentionnés dans le script?

Les deux segments pointillés mentionnés sont AC et BD, qui sont respectivement les diamètres des deux cercles.

Pourquoi les diagonales d'un parallélogramme jouent-elles un rôle important dans la preuve?

Les diagonales d'un parallélogramme sont importantes car leur intersection au milieu prouve que la figure est un parallélogramme.

Qu'est-ce que le centre d'un cercle a en commun avec les diamètres?

Le centre d'un cercle est le milieu de n'importe quel diamètre.

Comment le point O devient-il crucial pour la preuve du parallélogramme?

Le point O est crucial car il est le centre commun des deux cercles, et donc le milieu des deux diagonales du quadrilatère, ce qui prouve que les diagonales se croisent en leur milieu.

Quelle est la propriété du parallélogramme utilisée pour la preuve dans le script?

La propriété utilisée est que « Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme ».

Comment la preuve mathématique fonctionne-t-elle?

La preuve mathématique fonctionne en identifiant une propriété connue, en montrant que cette propriété s'applique au cas donné, et en concluant que la proposition est vraie en utilisant cette propriété.

Comment la construction de départ aide-t-elle à prouver que ABCD est un parallélogramme?

La construction de départ montre que les diagonales du quadrilatère ABCD se croisent en leur milieu, ce qui est une condition suffisante pour affirmer que ABCD est un parallélogramme selon la propriété établie.

En résumé, quel est le point clé de la démonstration présentée dans le script?

Le point clé de la démonstration est que les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu, ce qui, selon la propriété du parallélogramme, prouve que ABCD est bien un parallélogramme.

Outlines

00:00

📐 Construction et définition du parallélogramme

Dans ce paragraphe, l'objectif est d'expliquer comment prouver que quelqu'un est un parallélogramme. On commence par définir un quadrilatère et on passe à la construction d'un parallélogramme à partir de cercles et de diamètres. On présente le quadrilatère ABCD et on explique comment les cercles et les diamètres (AC et BD) sont utilisés pour construire ce quadrilatère. L'explication porte sur le fait que les diamètres AC et BD, qui sont les diagonales du parallélogramme, se croisent au point O, qui est le centre commun des deux cercles. Cela permet de démontrer que le quadrilatère ABCD est bien un parallélogramme en se basant sur la propriété des diagonales d'un parallélogramme.

05:05

📐 Démonstration de la propriété des diagonales du parallélogramme

Ce paragraphe se concentre sur la démonstration de la propriété des diagonales d'un parallélogramme. On explique comment les diagonales d'un parallélogramme qui se croisent en leur milieu caractérisent ce type de quadrilatère. On utilise la construction précédente pour montrer que les diagonales AC et BD du parallélogramme ABCD se croisent en leur milieu, au point O. Cela permet de conclure que ABCD est effectivement un parallélogramme en vertu de cette propriété. La démonstration suit un raisonnement logique, en commençant par établir que les diagonales se croisent en leur milieu, en appliquant ensuite la propriété du parallélogramme, et en concluant que ABCD est un parallélogramme. On souligne également l'importance de la compréhension des propriétés mathématiques pour établir des démonstrations solides.

Keywords

💡quadrilatère

Un quadrilatère est une figure géométrique ayant quatre côtés ou quatre sommets. Dans le contexte de cette vidéo, le quadrilatère est le sujet principal et l'objectif est de prouver qu'il s'agit d'un parallélogramme. C'est un concept clé pour comprendre la démonstration qui va suivre.

💡parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère particulier dont les côtés opposés sont parallèles. C'est la propriété qui permet de caractériser un parallélogramme et qui est à la base de la démonstration présentée dans la vidéo. Le but ultime est de prouver que le quadrilatère ABCD est effectivement un parallélogramme.

💡cercle

Un cercle est une figure géométrique formée par tous les points d'un plan qui sont à une distance égale d'un point fixe, appelé centre. Dans cette vidéo, les cercles sont utilisés dans la construction du quadrilatère ABCD, en utilisant leur centre commun pour établir les propriétés du parallélogramme.

💡diagonales

Les diagonales d'un quadrilatère sont les segments qui relient les sommets opposés. La propriété des diagonales d'un parallélogramme est cruciale dans la démonstration : elles se coupent en leur milieu. Cette caractéristique est utilisée pour prouver que le quadrilatère ABCD est bien un parallélogramme.

💡diamètre

Le diamètre d'un cercle est le segment qui joint deux points sur le cercle en passant par le centre. Dans le script, les segments AC et BD sont des diamètres des cercles respectifs et sont utilisés pour établir que le point O est le centre commun des deux cercles, ce qui est essentiel pour la démonstration.

💡centre des cercles

Le centre d'un cercle est le point qui est à égale distance de tous les points du cercle. Dans le contexte de la vidéo, le point O est le centre commun des deux cercles et est le point de croisement des diagonales du quadrilatère ABCD, ce qui permet de prouver que ce dernier est un parallélogramme.

💡preuve

Une preuve en mathématiques est un raisonnement formel qui établit la véracité d'une proposition à partir d'axiomes, de définitions et de propriétés connues. Dans cette vidéo, la preuve consiste à démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme en utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu.

💡construction

La construction dans le contexte de cette vidéo est le processus de création d'un quadrilatère ABCD à l'aide de cercles et de diamètres. Elle sert de base pour la démonstration qui suit, car elle établit les conditions nécessaires pour prouver que le quadrilatère est un parallélogramme.

💡propriétés

Les propriétés en mathématiques sont des caractéristiques ou des résultats qui sont vrais pour un certain type de figures ou de situations. Dans cette vidéo, l'accent est mis sur la propriété des diagonales d'un parallélogramme, qui est utilisée pour prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

💡démonstration

Une démonstration est un raisonnement mathématique qui établit la véracité d'une affirmation en utilisant des propriétés et des règles de raisonnement. Dans cette vidéo, la démonstration est la méthode utilisée pour prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme en se basant sur la propriété des diagonales.

💡segment

Un segment est une partie d'un trait de ligne qui est limitée par deux points. Dans le script, les segments sont utilisés pour construire le quadrilatère ABCD et pour établir les propriétés des cercles et des diagonales.

Highlights

Apprendre à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Un quadrilatère est une figure à quatre côtés ou sommets.

Un parallélogramme est défini par des côtés opposés parallèles.

La construction d'un parallélogramme peut être réalisée à l'aide de cercles.

Le parallélogramme ABCD est formé à partir de points d'intersection de cercles.

Pour prouver que ABCD est un parallélogramme, on peut s'appuyer sur des propriétés de ce type de figure.

Les diagonales d'un parallélogramme jouent un rôle clé dans la preuve.

Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

Les diamètres AC et BD des cercles sont utiles pour prouver que ABCD est un parallélogramme.

Le point O est le centre commun des deux cercles et le milieu des diagonales AC et BD.

La preuve repose sur la construction initiale et la propriété des diagonales.

La démonstration en mathématiques repose sur l'utilisation de propriétés connues.

La propriété des diagonales est utilisée pour conclure que ABCD est un parallélogramme.

La méthode de démonstration utilisée est une démonstration en mathématiques.

La preuve consiste à montrer que les diagonales se coupent en leur milieu.

Le point O est le milieu de AC et de BD, ce qui prouve que ABCD est un parallélogramme.

La preuve est structurée en trois parties: explication, application de la propriété et conclusion.

Transcripts

[Musique]

bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir

apprendre à prouver qu'un quadrilatère

est un parallélogramme alors un

quadrilatère c'est une figure qui a

quatre côtés ou quatre sommets un

parallélogramme on l'a défini comme un

quadrilatère qui a les côtés opposé

parallèle ici là on voit on reconnaît un

parallélogramme dans cet exercice on a

réalisé une figure et on retrouve au

final quelque chose qui ressemble à un

parallélogramme mais on n' pas construit

au départ une figure qui a des côtés

opposés parallèles on la construit

autrement on la construit à l'aide de

cercle et on arrive à la fin sur un

parallélogramme mais la question est

mais pourquoi c'est un parallélogramme

pourquoi finalement en construisant ces

deux cercles on va détailler hein tout

de suite pourquoi en construisant ces

deux cercles et en prenant quelques

points d'intersection et je relie tous

ces points et je trouve au final un

parallélogramme et bien c'est l'objet de

cette vidéo on va expliquer pourquoi le

quadrilatère A B C D est un

parallélogramme alors notre énoncé nous

dit que sur la figure o le point O est

le centre des deux cercles donc ça

signifie que les deux cercles qui sont

tracés ici ont le même centre et c'est

le point ha on voit euh deux segments

qui sont tracés en pointillé et en fait

chacun de ces segments est un diamètre

d'un desserc

le segment AC donc qui a pour extrémité

les points A et C est un diamètre du

petit cercle on le voit il passe par le

centre du cercle point O il en est de

même pour l'autre segment tracé en

pointillé le segment BD qui lui est un

diamètre du grand cercle il passe

également par le point O à partir de là

donc on a ces quatre points A B C D qui

forme un quadrilatère et la question

comme on l'a dit avant c'est de prouver

que ce quadrilatère ABCD est bien

parallélogramme alors pour établir une

preuve pour démontrer quelque chose en

mathématique pour expliquer pourquoi

quelque chose est vrai en mathématique

très souvent on s'appuie sur des

propriétés des propriétés qu'on a dans

notre cours et que l'on connaît bien si

possible enfin en tous les cas ces

propriétés on est sûr qu'elles sont

vraies alors si je regarde comment a été

construit ce quadrilatè ABCD il a été

construit on l'a dit tout à l'heure à

l'aide des deux segments ointillés mais

ces deux segments ointillés portent un

nom pour le quadrilatère ce sont ces

diagonales il faudrait donc s'appuyer

sur une propriété du cours qui parle des

diagonales d'un parallélogramme et à

partir de cette propriété on va sans

doute pouvoir expliquer pourquoi ce

quadrilatère est bien un parallélogramme

alors regardons dans notre cours et on

va faire ressortir une propriétés sur

les diagonales du parallélogramme

celle-ci qui nous dit alors elle peut

elle peut être exprimée de différentes

façons ça va un peu dépendre de ton

cours de ton livre j'en propose une ici

en tout cas elle nous dit ici que un

quadrilatère dont les diagonales se

coupent en leur milieu est un

parallélogramme ça c'est très important

parce que cela signifie que si j'arrive

à expliquer que les diagonales de mon

quadrilatère ici se coupe en leur milieu

et bien je pourrais directement conclure

que ce quadrilatère est un

parallélogramme pourquoi parce que c'est

la propriété qui nous le dit dès que tu

as un quadrilatère où les diagonales se

coupent en leur milieu et bien c'est un

paralléologogramme regardons si on a

moyen d'expliquer pourquoi les

diagonales se coupent en leur milieu

alors pour cela il faut en revenir à la

construction la construction de départ

on rappelle que au départ on a parlé de

diamètre on a dit que AC est un diamètre

du petit cercle or qu'est-ce que je sais

d'un diamètre et bien je sais que le

centre d'un cercle c'est le milieu de

n'importe quel diamètre ce qui veut dire

que ici vu que AC est un diamètre du

petit cercle que le petit cercle a pour

centre O et bien ça signifie que o est

le milieu du segment AC on peut le coder

et on peut déjà le noter on sait que o

est le milieu du diamètre AC du petit

ser

regardons maintenant ce qui se passe

avec l'autre diamètre et bien BD est un

diamètre du Grand Cercle on rappelle que

le centre d'un cercle est le milieu d'un

diamètre ce qui signifie que o lui est

le milieu du diamètre BD du Grand Cercle

on peut le

noter donc finalement on a o qui est le

milieu du diamètre AC donc O est le

milieu de AC et on a o qui est le milieu

du diamètre BD donc O est le milieu de B

O est donc le milieu de AC et de BD mais

c'était exactement ce qu'on avait besoin

parce que AC et BD ce sont quoi pour mon

quadrilatère ce sont ces diagonales donc

finalement si O est le milieu de AC et O

est le milieu de BD j'ai le même point O

qui est le milieu des deux diagonales

donc cela signifie que o est le milieu

des deux diagonales de mon quadrilatère

mes deux diagonales se coupent bien en

leur milieu

o les diagonales de ABCD se coupent en

leur milieu qui est le point O et bien à

partir de là je vais pouvoir appliquer

ma propriété du cours qui me dit on le

rappelle qu'un quadrilatère dont les

diagonales se coupe en leur milieu est

un parallélogramme et bien si un

quadrilatère dont les diagonales se

coupent en leur milieu est un

parallélogramme et que ABCD a des

diagonales qui se coupent en leur milieu

nécessairement aBCD est un un

parallélogramme on peut conclure on en

déduit que aBCD est un parallélogramme

voilà notre preuve je rappelle

rapidement le principe d'une

démonstration une preuve comme celle-là

ça s'appelle une démonstration en

mathématiques déjà il faut repérer

quelle propriété on va utiliser alors

ici c'est encore assez simple parce

qu'il y avait qu'une seule propriété

mais on peut faire des démonstration qui

utilise plusieurs propriétés alors en

tous les cas c'est cette propriété que

je veux utiliser vu que cette propriété

elle a besoin de savoir que les

diagonales se coupent en leur milieu

pour pouvoir prouver que c'est

effectivement un parallélogramme comme

ça nous est demander et bien il faut

arriver à expliquer pourquoi j'ai

effectivement cette condition pourquoi

je sais que les diagonales se coupent en

leur milieu je rentre plus dans les

détails mais on le voit ici on avait

réussi à l'aide de la construction à

l'aide des données de l'énoncé

d'expliquer que finalement oui mes deux

diagonales ont le même milieu on avait

vu que c'était le point ha après tout ce

raisonnement on remet ça dans l'ordre on

commence par expliquer que les

diagonales se coupent en leur milieu on

applique la propriété on peut même la

donner he dans la rédaction de de la

démonstration et ensuite on conclut

cette séquence est

terminée