Eksempel 1

Summary

The script explores the concept of decision-making under uncertainty using a lottery scenario involving Jens, who has a utility function U(x) = √x. Jens is given a choice to participate in a lottery with a 50% chance of winning 125 DKK or losing 100 DKK. The script calculates the expected value and expected utility of the lottery, determining Jens' willingness to participate based on the difference between the expected value and his security equivalent. The concept of risk premium is introduced, illustrating Jens' aversion to risk and how it influences his decision.

Takeaways

• 🎰 The script discusses a lottery scenario involving a person named Jens, who has a 50% chance of winning 125 DKK and a 50% chance of losing 100 DKK.
• 💼 Jens starts with 100 DKK, which is used as a baseline to calculate potential outcomes of the lottery.
• 📈 Jens has a utility function, U(x) = √x, which translates monetary amounts into utility or satisfaction.
• 🔢 The expected utility of the lottery is calculated by multiplying the utility of each outcome by its probability and summing them up, resulting in 7.5.
• 📉 The expected monetary value of the lottery is 112.5 DKK, which is the average outcome if the lottery were played many times.
• 💡 The script introduces the concept of 'security equivalent', which is the amount of money that provides the same utility as the lottery, calculated to be 56.25 DKK for Jens.
• 🚫 Jens would not prefer to participate in the lottery as his expected utility after participating is less than his current utility.
• ✅ The 'security equivalent' is the amount Jens would be indifferent to receiving instead of participating in the lottery.
• 💰 The 'risk premium' is the difference between the expected value of the lottery and the security equivalent, calculated as 56.25 DKK in this case.
• 📊 The script uses a graphical representation to illustrate Jens's utility function and how it compares to the expected utility of the lottery and the security equivalent.

Q & A

What is the lottery game Jens is participating in?

Jens is participating in a lottery where there are two possible outcomes: a 50% chance of winning 125 DKK and a 50% chance of losing 100 DKK.

What is Jens' initial amount of money before participating in the lottery?

Jens initially has 100 DKK in his pocket.

What is the utility function Jens uses to evaluate monetary outcomes?

Jens uses a utility function U(x) = √x, where x represents the amount of money in DKK.

What is the expected utility of Jens before participating in the lottery?

Before participating in the lottery, Jens' expected utility is 10, which is calculated as the square root of his initial 100 DKK.

What are the possible utility outcomes after Jens participates in the lottery?

After participating in the lottery, Jens could either have a utility of 15 (if he wins 225 DKK) or 0 (if he loses and has 0 DKK).

What is Jens' expected utility after participating in the lottery?

Jens' expected utility after participating in the lottery is 7.5, calculated by taking the weighted average of the utility outcomes (0.5 * 15 + 0.5 * 0).

Why might Jens not want to participate in the lottery?

Jens might not want to participate in the lottery because his expected utility after participating (7.5) is less than his current utility (10), indicating a decrease in expected satisfaction.

What is the concept of 'security equivalent' in the context of Jens' decision?

The security equivalent is the amount of money that would provide Jens with the same utility as his expected utility after participating in the lottery. In this case, it is 56.25 DKK.

How is the 'risk premium' calculated in Jens' lottery scenario?

The risk premium is calculated as the difference between the expected value of the lottery (112.5 DKK) and the security equivalent (56.25 DKK), which in this case is also 56.25 DKK.

What does the risk premium represent in Jens' decision-making?

The risk premium represents the amount Jens would be willing to pay to avoid the risk of participating in the lottery, indicating his risk aversion.

How does the concept of utility function help in understanding Jens' preference for risk?

The utility function helps in understanding Jens' preference for risk by quantifying his satisfaction from different monetary outcomes. A concave utility function, like Jens' √x, indicates risk aversion, as he prefers a sure amount of money to a gamble with the same expected value.

Outlines

00:00

🎰 Lottery Participation and Utility Calculation

The script introduces a hypothetical scenario where a person named Jens has the opportunity to participate in a lottery. The lottery has two possible outcomes: a 50% chance of winning 125 DKK or a 50% chance of losing 100 DKK. Jens starts with 100 DKK. The concept of utility function is introduced to evaluate Jens' satisfaction or utility from different monetary outcomes. His utility function is defined as the square root of the amount of money. The expected utility of participating in the lottery is calculated by taking the utility of each outcome, multiplying it by its probability, and summing these products. The expected utility is found to be 7.5, which is less than Jens' current utility of 10 (with 100 DKK). This suggests that Jens would not prefer to participate in the lottery.

05:01

📈 Understanding Utility Functions and Expected Utility

This paragraph delves deeper into the concept of utility functions, explaining that they are always increasing, meaning more money always provides more utility. The script uses a graphical representation to illustrate Jens' utility function, U(x) = √x, which is always growing and never decreases. It discusses how the utility of a certain amount of money can be represented on a graph, with money on the x-axis and utility on the y-axis. The expected utility of the lottery is then compared to the utility of certain amounts of money, showing that the expected utility (7.5) is less than the current utility (10), reinforcing the idea that Jens would not want to participate in the lottery.

10:03

💰 Calculating the Expected Value and Expected Utility of a Lottery

The script explains how to calculate the expected value of the lottery, which is the sum of each outcome multiplied by its probability. In this case, it's 0 * 0.5 + 225 * 0.5 = 112.5 DKK. It then discusses how to translate this expected value into expected utility for Jens, who has a utility function of U(x) = √x. The expected utility is found by taking the utility of each outcome, multiplying by its probability, and summing these products, resulting in an expected utility of 7.5. The concept of 'security equivalent' is introduced, which is the certain amount of money that provides the same utility as the expected utility of the lottery. The security equivalent is calculated to be 56.25 DKK, meaning Jens is indifferent between participating in the lottery with 100 DKK or having 56.25 DKK without participating.

15:04

🔍 Risk Premium and Decision Making Under Uncertainty

The final paragraph introduces the concept of 'risk premium,' which is the difference between the expected value of the lottery and the security equivalent. The risk premium represents the additional amount a risk-averse individual like Jens would be willing to pay to avoid the risk of the lottery. The script calculates the risk premium as 112.5 - 66.25, which equals 56.25 DKK. This amount indicates how much Jens would be willing to pay to avoid the lottery's risk, and it's also the amount he would accept to take on the lottery's risk. The paragraph concludes by discussing how different individuals might have different risk preferences, affecting the market price of the lottery, but for Jens, the risk premium is a key factor in his decision-making under uncertainty.

Keywords

💡Lottery

A lottery is a game of chance where participants buy tickets with the hope of winning a prize. In the video, the lottery serves as a central theme to explore concepts of risk and decision-making under uncertainty. The script mentions a specific lottery where the person, Jens, has a 50% chance of winning 125 kr and a 50% chance of losing 100 kr, illustrating the lottery's probabilistic nature.

💡Probability

Probability is a measure of the likelihood that a particular event will occur. In the video, probability is used to quantify the chances of winning or losing in the lottery. The script specifies a 50% probability for both outcomes, which is a fundamental aspect of understanding the risk involved in Jens's decision to participate in the lottery.

💡Expected Value

Expected value is a statistical measure that calculates the average outcome of an event over a large number of trials. The video uses the concept of expected value to determine the average monetary outcome of participating in the lottery. It's calculated as (0.5 * 125 kr) + (0.5 * -100 kr), which helps to assess whether the lottery is a fair game or not.

💡Utility Function

A utility function is a mathematical representation of a person's preferences, mapping outcomes to a numerical value that reflects the desirability or satisfaction associated with each outcome. In the script, Jens's utility function is defined as the square root of his money, which is used to transform monetary amounts into a measure of utility or satisfaction.

💡Risk Aversion

Risk aversion is a behavior where individuals prefer a guaranteed payoff over a probabilistic one with the same expected value. The video explores this concept through Jens's decision-making process. Even though the lottery has a positive expected value, Jens may be risk-averse and prefer a certain outcome to the uncertainty of the lottery.

💡Expected Utility

Expected utility is the average utility of an uncertain outcome, calculated by multiplying the utility of each outcome by its probability and summing these products. The video uses expected utility to determine whether Jens would prefer participating in the lottery or not. It's calculated as (0.5 * utility of winning) + (0.5 * utility of losing), which helps to understand his preference.

💡Risk Premium

Risk premium is the additional amount of expected return an investor requires for taking on increased risk. In the context of the video, it's the difference between the expected value of the lottery and the certainty equivalent, which represents how much Jens would be willing to pay to avoid the risk of the lottery. The script calculates the risk premium as (112.5 kr - 56.25 kr), showing Jens's aversion to risk.

💡Certainty Equivalent

Certainty equivalent is the amount of money that would make an individual indifferent between a risky prospect and a guaranteed amount. The video calculates the certainty equivalent for Jens by finding the amount that, when plugged into his utility function, gives the same utility as his expected utility from the lottery. It's found to be 56.25 kr, indicating Jens's preference for a sure outcome over the lottery.

💡Decision Under Uncertainty

Decision under uncertainty refers to the process of making choices when outcomes are not known with certainty. The video script uses the lottery scenario to illustrate how Jens makes a decision under uncertainty, weighing the potential outcomes and their probabilities, and considering his personal utility function to determine his preference.

💡Indifference Curve

An indifference curve on a utility graph shows combinations of goods or, in this case, money and utility, that provide the same level of satisfaction to the individual. The video likely discusses how Jens's indifference curve, based on his utility function, can be used to determine his preferences and decisions. The curve's upward slope indicates increasing utility with more money, reflecting the general preference for higher monetary amounts.

Highlights

Introduction of a hypothetical person named Jens participating in a lottery with specific monetary outcomes and probabilities.

Description of two possible outcomes in the lottery: winning 125 DKK with a probability of 1/2 and losing 100 DKK with a probability of 1/2.

Jens starts with 100 DKK in his pocket, and the potential monetary outcomes after the lottery are either 225 DKK or 0 DKK.

Introduction of Jens' utility function, U(x) = sqrt(x), to evaluate the desirability of different monetary outcomes.

Calculation of Jens' utility for the potential lottery outcomes: 15 for winning 225 DKK and 0 for losing 100 DKK.

Evaluation of Jens' current utility with 100 DKK, which is the square root of 100, equating to 10.

Explanation of expected utility after participating in the lottery, calculated as the sum of individual utilities multiplied by their respective probabilities.

Determination that Jens' expected utility after the lottery is 7.5, indicating a decrease from his current utility of 10.

Illustration of Jens' utility function U(x) = sqrt(x) on a graph, showing it as an always-increasing function.

Graphical representation of Jens' current utility at 10, and the expected utility outcomes of the lottery on the graph.

Introduction of the concept of risk premium as the difference between the expected value of the lottery and the certainty equivalent.

Calculation of the lottery's expected value as 112.5 DKK, which is the average of the possible outcomes weighted by their probabilities.

Determination of the certainty equivalent, which is the amount of money that provides the same utility as participating in the lottery, calculated to be 56.25 DKK.

Discussion on how much Jens would be willing to pay for insurance to avoid the lottery, with the risk premium being the difference between his current wealth and the certainty equivalent.

Conclusion that Jens would prefer not to participate in the lottery as his expected utility decreases, and he would be indifferent between receiving 56.25 DKK or participating in the lottery.

Transcripts

godt Lad os prøve at antage Vi har en

bestemt person Lad os sige personen

hedder Jens og denne person får så

mulighed for at deltage et bestemt

Lotteri hvor man med sandsynlighed en

halv ø får 125

kr og med sandsynlighed en fal for minus

100

kr

øh Så det vil sige som Lotteri så har vi

ligesom to mulige udfald og vi har den

ene heroppe hvor man får plus 100 25 og

vi har en hernede hvor man får minus 100

kr og de tilhørende sandsynligheder som

er en halv og ø som er en halv og en

halv Så lad os nu sige at denne person

har 100 kr 100 kr i lommen øh Så det vil

sige Vi kan kalde det her loder for

eksempel for l og så i stedet for at

sige at der så plus 125 og minus 100 kr

Så kan vi indsætte øh indsætte Jenses øh

initial beløb lad os nu sige Jens Har de

øh Lige præcis 100 kr i lommen han Han

har ikke mere så vi kan lave det om til

at vi har at her bliver ligesom tallet

225 kr og her blev den

nul Så Her har vi 225 kr Her har vi nul

Så Jens skal deltage et Lotteri hvis han

kommer her op så får Har han 225 kr i

lommen hvis han kommer herned Så har han

ul Kron i ul Kron i i lommen

øhm lad os nu sige Jens har en

nyttefunktion lad os nu sige Jens

nyttefunktion U og x lig med kvadratrod

x så hvis det vil sige det er den new

funktion som transformerer sikre

pengebeløb om til øh om til disse her

øh om til Newton Så det vil sige det

heroppe Hvad har vi så øh en 225 Så det

vil sige vi kan så sige

svarende til en

nytte på

øh kvadratrod x Det vil sige kvadrat

225 lig med 15 og så hernede Kan vi så

sige

svarende til

en nte på

kvadratrod nul det er så lig med

Nul okay og spørgsmålet er så øhm hvor

godt bliver så p øh eller undskyld Jens

bliver stillet ved dette eksempel Så kan

han godt lide at han deltager i det

Lotteri eller kan han ikke så godt lide

at han deltager i øh i dette Lotteri så

hvis hvis Jens har 100 kroner lige nu så

Hvad er så kan vi spørge hvad er nytten

lige nu så lad os prøve at skrive det

herop Så det vil sige nytte lige

nu nytte lige nu så han har 100 kroner

Det vil sige det vil være kvadratrod 100

Det er så lig med 10 Hvad bliver så

Newton e efter at deltage i lotteriet så

vi kan så sige okay hvis vi kommer lige

nu har jeg n på 10 hvis han vinder så

eller hvis det går godt Så bliver Newton

15 hvis han taber så bliver Newton nul

Så det vil sige han går fra 10 op til 15

eller fra 10 ned til øh fra 10 n til ned

til

nul Så kan vi sige hvad er ligesom hans

nytte efter at have deltaget i i dette i

dette Lotteri Og her kan vi lige præcis

bruge den for Nøj

morgenstern new funktion Det vil sige Vi

tager det enkelte så Newton her og så

Newton her og så gange med de tilhørende

sandsynligheder og så tager vi summen så

får vi Newton for hele for hele logit

det vil sige vi kunne skrive hvis det

her er logit l så vi kan så skrive stort

U af l lig med øh en halv gange med 15

som er lige præcis det her kvadratrod to

225 plus en hal gange med kvadrat nul

Det er lig med 1 hal gange 15 og plus en

hal gange 0 det giver ligesom

7,5 så lige nu er hans nytte den er li

med 10 efter at k deltaget lotteriet

Hans forventede nytte er 7,5 Det vil

sige Vi ser vi siger så at Jens vil ikke

have lyst til at deltage det Lotteri

fordi efter at har deltaget i det

Lotteri Så er h forventet n den fal

i forhold til hvad nten er Hvad nten er

lige nu så lad os prøve at illustrere

det hvad en øh simpel simpel tegning

Så hvis vi her har vores vores graf Her

har vi x hvor x det er sikre penge og

Her har vi vores U af X Det vil sige

vores nytte efter de så sikre penge Øh

vi har sagt at Jenses nyttefunktion

hedder U af x lig med med kvadratrod x

Det vil sige den vil se sådan her

ud så vi kan lige prøve at gøre den lidt

lidt længere så læg mærke til den er

altid voksende så selvom den aftager

stille og roligt den er altid den er

altid voksende den går aldrig nedad så

hvis man sig eksamen tegner sådan en new

funktion der hedder u x lig med kvadrat

u x hvor den går nedad så bliver det

minuspoint fordi Den må ikke fal den må

den er altid voksende Det vil sige flere

penge betyder altid mere betyder altid

mere nte og lad os nu sige lige nu så

står vi her det er så de penge som Jens

har eller lad os sige det er ikke her

men for eksempel lidt længere ned til

venstre her har vi de 100

kr

og det vil sige

nytten lige nu er det at få lige medet

10

10 det har vi fra den tidligere den

tidligere slide så Newton lige nu Den er

kvadrat 100 den er så lig med 10 så lige

nu står Jens her med en et sikkert

pengebeløb på 100 kr det svarer til en

nytte på 10 lige pludselig Er der nogen

der siger Jam du skal deltage i et i et

Lotteri i dette Lotteri så falder du

enten ned på

nul hvor nytten den tilhørende nytte så

også vil være U af nul vil så være lig

med nul Så hvor det nytte vil være nul

eller du kommer så op på de her

25 og det vil sige hvis vi har her det

her 100 Så det vil sige Her har vi 100

100 ekstra Så det vil sige lidt ekstra

så omkring heroppe så har vi disse

225 og hvad bliver Newton så så igen går

vi op til vores nyttefunktion

Så går vi til venstre her og siger vi så

heroppe der har vi så får vi en nytte på

15 Det vil sige kvadratrod 225 den

bliver lig med den bliver så lig med

15 l vi gøre det lidt højre sådan

her sådan og

sådan så bliver Newton øh så bliver

Newton lig med lig med

15 godt det næste som vi også kan tage

ind på den graf Det er hvad bliver den

forventede n lorit og som vi godt kan se

så bliver den forventede n lit lig med 7

en hal så hvor har vi 7 en halv så hvis

herovre så har vi nul herovre har vi 15

10 Det vil sige 7 en hal den er cirka øh

Den vil så være cirka her og lad mig

bruge en ny farve så for eksempel Det

bliver så cirka

der så har man U af l u af hele

lotteriet den er li med

7,5 og så tænker i nok Okay men det kan

godt være den er 7,5 kan vi virkelig

ikke forbinde den til noget andet på på

den her graf ø her Altså står den

virkelig bare for sig selv eller kan vi

aflæse grafisk Det vil sige kan vi på en

eller anden måde komme fra den her akse

over til den her akse og så ramme

punktet 7,5 og det kan vi faktisk godt

øh den måde som vi gør det vi det som vi

skal gøre det er vi skal først udregne

den forventede værdi i lotteriet så den

forvent vdi i lotteriet Den vil jo være

0 gange en halv plus 225 gange en halv

Så kan jeg lige prøve at skrive det her

så

øhm

lotteriets

øh

forventede

øh

værdi Den giver så en halv gange med 0

plus en halv gange med 225 lig med 100

12,5

Øh det tjener den her lige skulle være

der sådan

112,5 og det vil sige Hvordan kommer jeg

så fra de her 112,5 ned til de her 7,5

Jamen det som jeg så kan gøre det er jeg

kan sige jeg har et punkt

der Jeg har et punkt der dem forbinder

jeg så med en ret linje

sådan og så finder jeg punktet det punkt

som hedder

112 en hal og det vil faktisk Lad sige

det er her 112,5 somit forventet af

forventede værdi og sådan Hvis jeg nu

kører op til den her rette linje der så

hvis min tegning passede det det gør den

ikke helt lige nu Men altså hvis man

tegning passed så ville jeg faktisk

ramme Lige præcis de her de her 7,5 så

jeg tager de to punkter Øh det vil sige

det første punkt det andet punkt øh Tegn

en ret linje mellem dem finder

middelværdien af lotteriet eller

lotteriets forventet værdi her og hvis

jeg går op til den rette linje Og så

kører henad øh så vil jeg faktisk lige

præcis ramm pun punktet ramm punktet 7v

en halv Så på den måde kan jeg komme fra

lotteriets forventede værdi Det vil sige

værdi hvor man ikke tænker over Hvilken

Agent Det er om altså om det er Anders

Peter eller Anne Det vil sige det er

bare penge rene penge hvor vej forventer

jeg at få hvis jeg nu delt LR uendelig

mange uendelig mange gange Øh Og så

herover ned til

øh lotteriets forventede nytte for den

her bestemte agent som som hedder Jens i

det der eller som vi kaldte I til det

tilfælde godt Så det vil sige på den

måde kan vi også indtagne lotteriets

forventede værdi og Lotteri forventede

nytte og øh i sidste video har jeg også

fortalt det om hvad

er man deltager i lotteriet Hvad er ens

forventede nytte Jamen ens forventede

nytte er 7,5 Hvor meget svarer det til i

sikre penge Hvor meget svarer det til i

kroner og for at gøre det for at udregne

det så skal jeg tage 7,5 komme ned til

nytte funktionen og så komme herned

dette beløb Det vil være sikkerheds

ekvivalent Det vil sige det beløb i øh

et beløb I sikre kroner det det det

beløb sikr Kron vil svare til en nytte

på 7,5 og efter man har deltaget

lotteriet der er ens forventet nytte

også 7,5 Så det vil sige Agenten er

indifferent om det vi bruger lotteriet

eller om han har de 100 kroner og deltag

i lotteriet eller om han har dette beløb

i i loven og det er lige præcis det som

er definitionen på vores på vores

sikkerheds ekvivalent at ø vi skal

udregne det beløb i kroner som gør at

vores nytte bliver den samme nytte som

efter vi har deltaget i i lotteriet godt

Hvordan regner vi Det tal ud så det vil

sige Vi har en eller andet beløb Lad os

kalde den x øhm sikkerheds ekvivalent

for eksempel x s øh e x sikkerheds

equivalent

Øh det beløb Det vil sige den har vi den

har vi herovre den transformerer vi ved

hjælp af n funktionen der hedder U af x

lig med kvadrat x Det vil sige vi

Transformer den Vi tager kvadratrod Og

hvad skal giver det os Det giver os 7,5

Okay så den her funktion den hedder U af

x lig med kvadrat u x Jeg tager et

bestemt kronebeløb tager kvadratrod af

det og så får jeg 7,5 fino Hvad bliver

så øh hvad bliver så vores det her

kronebeløb Jamen det svarer til 7,5 i

anden Det giver Så

56,25 det vil sige det det Tal her vores

sikkerheds kviv valent det er

56,25 lig med X sikkerheds ekvivalent

så det betyder så om Mar genten har de

100 kr og deltag i lotteriet eller om

Agenten bare har 56 kr 56 kr kom 25 det

er så øh Det er så fuldstændig lige

meget så Agenten er indifferent mellem

det beløb Det vil sige en beløb som

hedder 56,25 her og eller at deltage i i

lotteriet og have de 100 kroner som som

han har i loven så sikkerheds klent er

56,25 så på den måde ville vi godt kunne

regne ud Hvor meget er personen så

villig til at øh til at betale i i

forsikring Jamen lige nu har han 100 kr

Han er altså han står der og har de 100

kroner Han er glad efter hvis han bliver

tvunget til at deltage i lotet så svarer

det til at han faktisk kan helt nede på

56,25 så det vil sig forskellen øhm

altså forskellen her er så det højeste

beløb som han er villig til at betale

for for Forsikring øh hvis den hvis vi

bed ham om at betale mere Jamen så siger

han Ah Jeg vil hellere deltage i i

lotteriet og Tag chancen hvis vi beder

ham om at betale mindre Jamen så vil han

så sige ja tak sådan som det er

konstrueret sådan som det er konstrueret

her Så vil jeg til sidst introducere et

øh et begreb som hedder risk Premium og

det er ikke noget som de gør særlig

meget ud af i bogen men det er i hvert

fald et begreb som og man ofte snakker

om når man snakker beslutning under

usikkerhed Det vil sige risk Premium Det

er forskellen mellem lotteriets

forventede værdi Det vil sige hvor er

det lotteriet forventer med at ende

Øh og sikkerhedsv valent det vil sige

det er forskellen mellem de her to

tal Det vil sige det er så risk Premium

så vores vi kan så skrive her risk

Premium det er så lig med

112,5 minus

66,25 Og hvad er det så det giver Jamen

det giver faktisk Nå Det giver bare de

56,25 Det er ikke fordi det skal give

præcis det samme

Det er ikke fordi det skal give præcis

det samme men det gør det bare i vores i

vores eksempel at equivalent risk

Premium er er ens så Hvordan skal det

Det tal ligesom forstås man kunne så

sige altså den forventede værdi er er

112 en halv Det vil sige hvis nu at Jens

var helt ligeglad med risiko så vil

altså prisen ligesom være så en fair

pris ville ligesom være 112 i 112 en

halv men for Jens der er hele Altså han

synes efter delse lri at han er faktisk

helt her nu Det vil sige det er det

svarer til at han kun har 56,25 mens for

man kan så tænke markedsprisen det vil

sige hvis man nu skulle sælge dette

Lotteri til nogle andre som også har de

som også har 100 kr i lommen ligesom

Jens så vil ligesom markedsprisen blive

112,5 Hvis man nu samler på alle mulige

forskellige forskellige agenter Det vil

sige både øh dem der jeg godt kan lide

risiko så dem der ikke kan lide kan

risiko så vil ligesom prisen være 112,5

fordi det er ligesom der at man

forventer at at lande men øh for Jens så

er den kun 56,25 og så forskellen mellem

de her tal det Kald Det kalder man så

for for risk

Premium