Pq-Formel - Quadratische Gleichungen lösen (Nullstellen) | Mathematik | Lehrerschmidt

Lehrerschmidt

25 Nov 201707:40

Summary

TLDRIn diesem Video erklärt Lehrer Schmidt die PQ-Formeln für gemischte quadratische Gleichungen. Er betont, dass diese nur angewendet werden können, wenn die Gleichung in der Normalform vorliegt, d.h. das x^2 allein steht und die Gleichung 0 ergibt. Er führt das Beispiel 2x^2 + 4x = 4, das nicht direkt mit PQ-Formeln gelöst werden kann, aber nach Umformung zu 2x^2 + 2x - 2 = 0 gelöst werden kann. Die PQ-Formeln, die man auswendig lernen muss, sind x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, und er erklärt, wie man die Werte für p und q bestimmt. Das Video zeigt dann, wie man die Formeln anwendet, um die Lösungen x1 und x2 zu finden.

Takeaways

📚 Die PQ-Formel ist ein mathematisches Verfahren, das verwendet wird, um die Lösungen von gemischten quadratischen Gleichungen zu finden.
🔍 Die Anwendung der PQ-Formel ist auf Gleichungen beschränkt, die in der Normalform vorliegen, also wenn das x^2 allein steht und die Gleichung Null ergibt.
📝 Um die PQ-Formel anzuwenden, muss man zuerst sicherstellen, dass die Gleichung in der richtigen Form vorliegt, andernfalls ist eine Umformung erforderlich.
🔢 Die Normalform einer gemischten quadratischen Gleichung sieht so aus: ax^2 + bx + c = 0, wobei a, b und c ganze Zahlen sind.
✅ Die PQ-Formel lautet: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), wobei man sich die Werte von p und q aus der Gleichung ablesen kann (p = b, q = 4ac).
📐 Die Werte von x1 und x2, die durch die PQ-Formel erhalten werden, stellen die beiden möglichen Lösungen der Gleichung dar.
🧮 Die Berechnung der Wurzel ist ein wichtiger Schritt in der Anwendung der PQ-Formel, da sie zur Bestimmung der Lösungen notwendig ist.
📉 Die Berechnung der Lösungen x1 und x2 erfolgt durch Einsetzen der Werte in die Formel und Ausführen der entsprechenden mathematischen Operationen.
🔄 Die PQ-Formel liefert zwei mögliche Lösungen, eine mit dem Plus- und eine mit dem Minuszeichen, was auf die Natur der quadratischen Gleichungen zurückzuführen ist.
🎓 Die Anwendung der PQ-Formel ist ein grundlegendes mathematisches Verfahren, das in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften Anwendung findet.

Q & A

Was ist die PQ-Formel?
-Die PQ-Formel ist eine Methode, um die Lösungen von gemischten quadratischen Gleichungen zu finden, wenn sie in der Normalform vorliegen.
Wann kann man die PQ-Formel anwenden?
-Man kann die PQ-Formel anwenden, wenn die gemischte quadratische Gleichung in der Normalform auftritt, d.h. das x^2 allein steht und die Gleichung 0 gleich ist.
Was ist die Normalform einer gemischten quadratischen Gleichung?
-Die Normalform einer gemischten quadratischen Gleichung sieht so aus: ax^2 + bx + c = 0, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0.
Wie erkennt man, dass eine Gleichung die Normalform hat?
-Eine Gleichung hat die Normalform, wenn das x^2 allein steht und am Ende eine 0 steht, z.B. ax^2 + bx + c = 0.
Was passiert, wenn die Gleichung nicht in der Normalform ist?
-Wenn die Gleichung nicht in der Normalform ist, muss man sie umformen, bis sie so aussieht, dass man die PQ-Formel anwenden kann.
Was bedeuten die Buchstaben p und q in der PQ-Formel?
-In der PQ-Formel bedeuten p und q die Koeffizienten der x-Terme in der umgeformten Gleichung, also -b/2a für p und c/a für q.
Wie lautet die PQ-Formel für x1 und x2?
-Die PQ-Formel lautet für x1 und x2: x1,2 = -p/2 ± √(P^2 - Q) / 2a, wobei P und Q die Koeffizienten p und q sind.
Was bedeuten die x1 und x2 in der PQ-Formel?
-x1 und x2 sind die beiden möglichen Lösungen der Gleichung, die durch die PQ-Formel berechnet werden.
Wie wird die Wurzel in der PQ-Formel berechnet?
-Die Wurzel in der PQ-Formel wird als √(P^2 - Q) berechnet, wobei P und Q aus der umgeformten Gleichung entnommen werden.
Was ist der Trick, um x2 schnell zu berechnen, wenn man x1 bereits kennt?
-Der Trick besteht darin, dass man die Berechnung der Wurzel aus P^2 - Q nur einmal durchführt und dann für x2 einfach das Vorzeichen wechselt, da die Wurzel不变.
Wie lautet das Beispiel, das im Skript behandelt wird?
-Das Beispiel im Skript ist die Gleichung 2x^2 + 4x = 4, die nach Umformung 2x^2 + 2x - 2 = 0 wird und dann mit der PQ-Formel gelöst wird.

Outlines

00:00

📘 Einführung in die PQ-Formeln

In diesem Paragraphen wird die PQ-Formel für gemischte quadratische Gleichungen eingeführt. Der Lehrer Schmidt erklärt, dass diese Formel nur für Gleichungen in der Normalform angewendet werden kann, bei der das x^2 allein steht und am Ende eine 0 steht. Er gibt ein Beispiel einer solchen Gleichung an und zeigt, wie man sie in die Normalform bringt, um die PQ-Formel anwenden zu können. Die PQ-Formel selbst wird nicht vollständig aufgeführt, aber es wird erläutert, dass sie auswendig gelernt werden muss und dass es zwei Varianten gibt, eine mit dem Plus-Zeichen und eine mit dem Minus-Zeichen.

05:06

🔢 Anwendung der PQ-Formel

In diesem Absatz wird die Anwendung der PQ-Formel auf ein konkretes Beispiel gezeigt. Der Lehrer führt die Schritte zur Lösung der Gleichung 2x^2 + 4x = 4 durch, indem er die PQ-Formel anwendet. Er erklärt, wie man die Werte für p und q bestimmt und wie man die Formel aufschreibt. Anschließend führt er die Berechnungen durch, um die Werte für x1 und x2 zu erhalten. Dabei wird auch ein Trick gezeigt, um die Berechnung für x2 zu erleichtern, indem man die bereits berechneten Werte aus x1 wiederverwendet. Am Ende des Absatzes werden die beiden Lösungen für x1 und x2 präsentiert.

Mindmap

Keywords

💡PQ-Formeln

Die PQ-Formeln sind eine Methode zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Im Kontext des Videos bezieht sich dies auf die Verwendung der PQ-Formel, um gemischte quadratische Gleichungen zu lösen, die in der Normalform vorliegen. Die PQ-Formel ermöglicht es, die Lösungen für x direkt aus der Gleichung zu extrahieren, was im Video durch das Beispiel der Gleichung \( -2x^2 + 2x - 2 = 0 \) veranschaulicht wird.

💡Gemischte quadratische Gleichungen

Gemischte quadratische Gleichungen sind Gleichungen, die sowohl den x-Term als auch den x^2-Term enthalten. Im Video wird erklärt, dass die PQ-Formeln speziell für solche Gleichungen verwendet werden können, wenn sie in der Normalform vorliegen, also wenn das x^2 allein steht und die Gleichung auf 0 aufgelöst wird.

💡Normalform

Die Normalform ist eine spezielle Darstellungsweise einer gemischten quadratischen Gleichung, die für die Anwendung der PQ-Formeln erforderlich ist. Im Video wird die Normalform als eine Gleichung definiert, bei der das x^2 allein steht und die Gleichung auf 0 aufgelöst wird, wie in \( ax^2 + bx + c = 0 \).

💡p und q

Im Video werden p und q als die Koeffizienten der x- und der konstanten Term in einer gemischten quadratischen Gleichung bezeichnet. Sie sind entscheidend für die Anwendung der PQ-Formeln, da sie in der Formel zur Berechnung der Lösungen für x verwendet werden. Beispielsweise wird im Video gezeigt, wie p und q aus der Gleichung \( -2x^2 + 2x - 2 = 0 \) extrahiert werden.

💡Wurzel

Die Wurzel ist ein mathematischer Begriff, der in der PQ-Formel verwendet wird, um die Lösungen für x zu berechnen. Im Video wird gezeigt, wie die Wurzel aus dem Ausdruck \( (p/2)^2 - (p*q) \) berechnet wird, um die Lösungen für x zu finden. Dies ist ein zentraler Schritt in der Anwendung der PQ-Formeln.

💡Plus-Minus

Das Plus-Minus-Zeichen (±) wird in der PQ-Formel verwendet, um anzuzeigen, dass es zwei mögliche Werte für x gibt, die beide in der Lösung der Gleichung auftreten können. Im Video wird dies durch die Berechnung von x1 und x2 veranschaulicht, wobei x1 das Plus und x2 das Minus-Ergebnis darstellt.

💡Lösungen für x

Die Lösungen für x sind die Werte, die man erhält, wenn man eine Gleichung auflöst. Im Video wird gezeigt, wie die PQ-Formeln verwendet werden, um die Lösungen für x aus einer gemischten quadratischen Gleichung zu berechnen. Dies wird durch die Berechnung von x1 und x2 demonstriert, wobei x1 und x2 die beiden möglichen Lösungen für x sind.

💡Umformen

Umformen ist der Prozess, bei dem eine Gleichung in eine andere Form gebracht wird, um sie leichter lösen zu können. Im Video wird erklärt, dass man eine Gleichung manchmal umformen muss, um sie in die Normalform zu bringen, bevor man die PQ-Formeln anwenden kann.

💡Auswendig lernen

Das Auswendiglernen ist das Memorieren von Informationen, wie sie im Video für die PQ-Formeln empfohlen wird. Die PQ-Formel muss auswendig gelernt werden, um sie effizient anwenden zu können, was im Video durch das Schreiben der Formel und das Berechnen der Lösungen verdeutlicht wird.

💡Beispiel

Ein Beispiel ist ein konkretes Anwendungsbeispiel, das verwendet wird, um ein Konzept zu veranschaulichen. Im Video wird ein Beispiel der Gleichung \( -2x^2 + 2x - 2 = 0 \) verwendet, um die Anwendung der PQ-Formeln zu demonstrieren und die Schritte zur Lösung der Gleichung zu erklären.

Highlights

Erklärung der pq-Formeln und deren Anwendung

pq-Formeln sind nur anwendbar bei gemischten quadratischen Gleichungen in Normalform

Normalform einer gemischten quadratischen Gleichung: ax^2 + bx + c = 0

Beispiel einer Gleichung, die nicht in Normalform ist und wie man sie umformt

Die pq-Formel muss auswendig gelernt werden

Die Bedeutung von p und q in der pq-Formel

Die pq-Formel für x1 und x2

Die pq-Formel ist eine Zusammenfassung für zwei Formen (+ und -)

Anwendung der pq-Formel auf ein Beispiel

Bestimmung der Werte für p und q aus der Gleichung

Die Berechnung von x1 mit der pq-Formel

Die Berechnung von x2 mit der pq-Formel

Die pq-Formel liefert zwei Ergebnisse für x

Die praktische Anwendung der pq-Formel in einem Beispiel

Die Bedeutung der Wurzelberechnung in der pq-Formel

Die endgültige Lösung der Gleichung mit den Werten für x1 und x2

Die pq-Formel kann zwei verschiedene Ergebnisse liefern